2019-2020高考數學(理科) 壓軸大題突破練(一)

--壓軸大題突破練壓軸大題突破練(一)直線與圓錐曲線⑴1.在平面直角坐標系中，已知點A(l,0),點B在直線l：x=-1上運動，過點B與l垂直的直線和線段AB的垂直平分線相交于點M.求動點M的軌跡E的方程；過(1)中軌跡E上的點P(1，2)作兩條直線分別與軌跡E相交于C(x1，y1)，D(x，y)兩點?試探究：當直線PC，PD的斜率存在且傾斜角互補時，直線CD的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.解(1)依題意，得MA|=|MBI.???動點M的軌跡E是以A(1,0)為焦點，直線I：x=-1為準線的拋物線，???動點M的軌跡E的方程為y2=4x.(2)VP(1,2)，C(x1，y1)，D(x2,y2)在拋物線y2=4x上,?y2=4x1，①:y2=4x2，②由①一②得，(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，???直線CD的斜率為kCD^E"二③CDx1-x2丁1+丁2設直線PC的斜率為k,則PD的斜率為一k,則直線PC方程為y—2=k(x-1),fy2=4x,由＜得ky2—4y—4k+8=0.y=kx—k+2,44由2+兒=2，求得y1=k-2，4同理可求得y2=-[-2.???直線CD的斜率為定值一1.2?如圖所示，橢圓=1(a>b>0)的上、下頂點分別為A,B,已知點B在直線l：y=T上,且橢圓的離心率e=￥.

求橢圓的標準方程；⑵設P是橢圓上異于A，B的任意一點，PQ丄y軸，Q為垂足，M為線段PQ的中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM丄MN.(1)解依題意，得b=1.c\[3因為e=_=~2，又a2—c2=b2，所以a2=4.a2x2所以橢圓的標準方程為才+y2=1.⑵證明設點P的坐標為(x0,y0),x0MO,x2因為p是橢圓上異于A,B的任意一點，所以了+y0=1?因為PQ丄y軸，Q為垂足，所以點Q坐標為(0,y0).因為M為線段PQ的中點，所以M(x0,yj.又點A的坐標為(0,1)又點A的坐標為(0,1),可得直線AM的方程為y=’因為x0M0,所以丁0工1，令y=—1，得因為點B的坐標為(0,—1)，點N為線段BC的中點,所以“2?七，-1)所以向量NM=(寺—2(1—y。)，兒十1)又0M=fl0，y。)，所以0而=專為—2(1—5」+yo(yo+D===1—(l+y0)+y0=O.所以OM丄MN.3.橢圓E：養(yǎng)+b2=1(a>b>0)的左焦點為耳，右焦點為F2，離心率e=￥.設動直線l：y=kx+

m與橢圓E相切于點P且交直線x=2于點N,APF]F2的周長為2(邁+1).求橢圓E的方程；求兩焦點F「F2到切線l的距離之積；求證：以PN為直徑的圓恒過點F2.⑴解設F1(-c,0),F2(c,0),C=邁貝『a2'解得a=Q2,c=1.、2a+2c=2(^/2+1),(2)解、y=kx+m.°.b2=a2—c2=1,橢圓E的方程為專(2)解、y=kx+m(1+2k2)x2+4kmx+2(m2—1)=0.設直線l與橢圓E相切于點P(x0,y0),則A=0,化簡2k2+1=m2,焦點F1焦點F1，F2到直線l的距離d1，d2分別為d1=—k+mlk2+1Ik+ml"2=寸k2+17則則d?d=m2^=k2±l=1則d1d2k2±1k2±1(3)證明(3)證明2km2kx01±2k2m'.,2k2,m2—2k2丄??y0=kx0+m=—m+m=m=m，.z2k1??P(—m，m).又聯立y=kx±m(xù)與x=2,得到N(2,2k±m(xù)),PF2=(1+2k，—m)，F2N=(1，2k±m(xù)).——2k1.P"F2N=(1+2■，—m>(1，2k±m(xù))=1+S—m(2k+m)=1+3-1=o.mm.?.PF丄F—N，22??.以PN為直徑的圓恒過點F2.過點M(2,0)的直線過點M(2,0)的直線l與橢圓C4.已知橢圓C：O2+b2=1(a>b>0)的短軸長為2,

相交于A,B兩點，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；⑵求O1OB的取值范圍；若B點關于x軸的對稱點是N,證明：直線AN恒過一定點.c⑴解由題意知b=1,e=a=2,a厶得a2=2c2=2a2—2b2,故a2=2.x2故所求橢圓C的方程為廳+y2=i.(2)解設l：y=k(x-2)，與橢圓C的方程聯立，消去y得(1+2k2)x2—8k2x+8k2—2=0.由A>0得0Wk2<2?設A(x1，y1),B(x2，y2),8k28k2—2則x1+x2=1+2k2,x1x2=1+2k2,?：OA?OB=X]X2+y1y2=x1x2+k2(x1—2)(x2—2)—2k2(x—2k2(x1+x?)+4k2=10k2—2—1+2k2=5—71+2k2.V0<k2<|,???2是W7,3故所求范圍是［—2,2).⑶證明由對稱性可知N(x2，—y2)，定點在x軸上,直線AN：y—y1=X1—X2(x—x1).令y=0得：x=x1y^X]—x2)—X/z