2020高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.21 直線與平面垂直練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時(shí)直線與平面垂直對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P33知識(shí)點(diǎn)一線面垂直的概念1．判斷題:正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，不正確的打“×”．(1)一條直線和一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線平行．()(2）如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．（）（3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．（）（4)過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．(）（5）如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．()答案(1)×（2）×(3）√（4）√(5)√解析(1)直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系有兩種：①平行，②異面，∴該命題應(yīng)打“×”．（2）該命題的關(guān)鍵是這無數(shù)條直線具有怎樣的位置關(guān)系．若為平行，則該命題應(yīng)打“×”；若為相交，則該命題應(yīng)打“√",正是因?yàn)檫@兩種情況可能同時(shí)具備，因此，不能說明面內(nèi)這無數(shù)條線的位置關(guān)系,∴該命題應(yīng)打“×”．（3)垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義的逆用，則該直線必垂直于三角形的第三邊，∴該命題應(yīng)打“√”．(4）前面介紹了兩個(gè)命題，①過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，根據(jù)第一個(gè)命題知：過點(diǎn)A垂直于直線a的平面唯一，因此，過點(diǎn)A且與直線a垂直的直線都在過點(diǎn)A且與直線a垂直的平面內(nèi),∴該命題應(yīng)打“√”．（5)三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，設(shè)為a，b,c且a，b，c共點(diǎn)于O,∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c確定一平面，設(shè)為α，則a⊥α,同理可知b垂直于由a，c確定的平面，c垂直于由a，b確定的平面．∴該命題應(yīng)打“√”．2．若直線l不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)(）A．不存在與l垂直的直線B．只存在一條與l垂直的直線C．存在無數(shù)條直線與l垂直D．以上都不對(duì)答案C解析直線與平面不垂直也可以垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，不過它們都是平行直線,不能是相交直線．知識(shí)點(diǎn)二線面垂直的判定3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，求證：B1O⊥平面PAC．證明如圖所示，連接AB1,CB1，B1D1，PB1，PO．設(shè)AB＝a，則AB1＝CB1＝B1D1＝eq\r(2）a,AO＝OC＝eq\f（\r(2)，2)a，在正方形中，AC⊥平面DBB1D1，B1O?平面DBB1D1,所以B1O⊥AC．因?yàn)锽1O2＝OB2＋BBeq\o\al(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),2）a)）2＋a2＝eq\f(3，2)a2,PBeq\o\al（2，1）＝PDeq\o\al(2，1）＋B1Deq\o\al（2,1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)a)）2＋(eq\r(2）a)2＝eq\f（9,4)a2．OP2＝PD2＋DO2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)a））2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,2）a）)2＝eq\f(3，4）a2，所以B1O2＋OP2＝PBeq\o\al（2,1）,所以B1O⊥OP．又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC．知識(shí)點(diǎn)三線面垂直的性質(zhì)4．已知直線l垂直于△ABC的邊AB和AC，直線m垂直于△ABC的邊BC和AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(）A．平行B．異面C．相交D．垂直答案A解析因?yàn)橹本€l垂直于△ABC的邊AB和AC,所以l垂直于平面ABC，同理可證，m垂直于平面ABC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得l∥m．5．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)P與AB,AC，BC的距離相等，且點(diǎn)P在△ABC上的正投影O在△ABC內(nèi)，則點(diǎn)O一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心答案A解析如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB,PE⊥AC，PF⊥BC,分別交AB，AC，BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，連接OD,OE,OF．因?yàn)辄c(diǎn)P到AB,AC，BC的距離相等，且PO⊥平面ABC,所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO,∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以O(shè)D＝OE＝OF．因?yàn)镻O⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因?yàn)镺D＝OE＝OF，所以點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等,故點(diǎn)O為三角形ABC的內(nèi)心．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P33一、選擇題1．三條直線兩兩垂直，下列四個(gè)命題：①這三條直線必共點(diǎn);②其中必有兩條直線不同在任一平面內(nèi);③三條直線不可能在同一平面內(nèi)；④其中必有兩條直線在同一平面內(nèi)．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案B解析三條直線兩兩垂直的情況共有三種:(1)三條直線都不相交,此時(shí)任意兩條都不在同一平面內(nèi)；（2)三條直線中只有兩條相交，此時(shí)這兩條在同一平面內(nèi)；（3)三條直線過同一點(diǎn)，此時(shí)這三條直線中任意兩條都在同一平面內(nèi),但這三條直線不在同一平面內(nèi)．只有命題③是真命題．故正確答案是B．2．如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E,F分別是G1G2及G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折起，使點(diǎn)G1,G2，G3重合,重合后的點(diǎn)記為G，那么下列結(jié)論成立的是（）A．SD⊥平面EFGB．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF答案B解析折起后，SG⊥GE,SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三條不同的直線,γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b,b∥c，則a∥c；②若a⊥b,b⊥c,則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ,則a∥b．其中真命題的序號(hào)是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案C解析由平行公理可知①正確;②不正確，若三條直線在同一平面內(nèi)，則a∥c；③不正確，a與b有可能平行，也有可能異面或相交；由線面垂直的性質(zhì)可知④正確．4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且是保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(）A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連線的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連線的線段答案A解析由BD1⊥AC，BD1⊥AB1,得BD1⊥平面AB1C，又AP⊥BD1，得P∈面AB1C∩面BB1C1C＝B1C．5．P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題，其中正確的個(gè)數(shù)是(）①PA⊥BC；②AB⊥BC；③P在平面ABC上的射影為△ABC的垂心；④P在平面ABC上的射影為△ABC的內(nèi)心．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案B解析PA⊥PB,PA⊥PC?PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，即①為真；同理PC⊥AB，若AB⊥BC,則AB⊥平面PBC,PA∥AB,矛盾，即②為假命題；設(shè)P在平面ABC上的射影為H，易證AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，即③為真，④為假．二、填空題6．如圖，PC⊥平面ABC，PC＝12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，則P到直線AB的距離是________．答案eq\f（12\r（29),5）解析過C作CD⊥AB于D，連接PD．∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB,又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴PD⊥AB．∴PD的長(zhǎng)即為P到直線AB的距離．在Rt△PCD中，CD＝eq\f(6×8，\r(62＋82））＝eq\f（24,5)，∴PD＝eq\r（PC2＋CD2)＝eq\r（122＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（24，5）））2）＝eq\f（12\r(29)，5)．7．如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．答案2解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD,即Q在以AD為直徑的圓上，當(dāng)圓與BC相切時(shí)，點(diǎn)Q只有一個(gè)，故BC＝2AB＝2．8．如圖所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上異于A,B的點(diǎn)，則△PAB，△PAC，△PBC，△ABC中，直角三角形的個(gè)數(shù)是________．答案4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△PAB,△PAC為直角三角形．又AB為圓的直徑，C在圓周上，∴AC⊥BC，∴△ABC為直角三角形．∵PA⊥BC,AC⊥BC，AC∩PA＝A,∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC,∴△PBC為直角三角形．三、解答題9．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC．證明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD?平面SAC,∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn)，AB＝a．（1）求證：A1D⊥B1C1；(2)判斷A1B與平面ADC1的