2020高中數學 第一章 推理與證明章末檢測 2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學必求其心得，業(yè)必貴于專精章末檢測時間：90分鐘滿分:100分第Ⅰ卷(選擇題，共40分）一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．數列{an}中前四項分別為2，eq\f（2,7）,eq\f（2，13)，eq\f(2,19），則an與an＋1之間的關系為（)A．an＋1＝an＋6 B。eq\f（1，an＋1）＝eq\f（1，an）＋3C．an＋1＝eq\f（1，1＋3an) D．an＋1＝eq\f(1,an）解析：可一一驗證選項判斷．答案:B2．下列推理正確的是(）A．將a(b＋c)與loga（x＋y）類比有l(wèi)oga(x＋y）＝logax＋logayB．將a(b＋c)與sin（x＋y）類比有sin(x＋y）＝sinx＋sinyC．把（ab)n與(a＋b）n類比有(x＋y）n＝xn＋ynD．把（a＋b）＋c與(xy）z類比有(xy)z＝x（yz)解析：D中類比為結合律．答案:D3．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2,ai∈{0，1｝(i＝0，1，2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為：0A．11010 B．01100C．10111 D．00011解析：C選項傳輸信息011,h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，應該接收信息10110.答案：C4．否定“自然數a、b、c恰有一個偶數”時正確假設為（)A．a、b、c都是奇數B．a、b、c都是偶數C．a、b、c中至少有兩個偶數D．a、b、c中或都是奇數或至少有兩個偶數解析：自然數a、b、c中奇數、偶數的可能情況有：全為奇數,恰有一個偶數，恰有兩個偶數，全為偶數．答案：D5．已知c＞1，a＝eq\r（c＋1）－eq\r（c），b＝eq\r(c）－eq\r（c－1），則正確的結論是(）A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定解析：∵a＝eq\r(c＋1）－eq\r(c)＝eq\f（1,\r(c＋1)＋\r（c)),b＝eq\r(c)－eq\r(c－1）＝eq\f(1,\r(c)＋\r（c－1）)，而eq\r（c＋1）＋eq\r（c)＞eq\r（c）＋eq\r(c－1），∴a＜b.答案：B6．在數列1，2，2,3，3,3，4，4，4,4,…中,第25項為()A．25 B．6C．7 D．8解析：將數列分組得(1)，（2,2），（3，3,3），（4,4,4，4）,…，這樣每一組的個數為1,2,3，4，…；其和為eq\f(nn＋1,2)，令n＝6，則有eq\f（6×7，2)＝21，所以第25項在第7組,因此第25項是7.答案：C7．k棱柱有f(k）個對角面，則k＋1棱柱有對角面的個數為()A．2f(k） B．k－1＋f（kC．f（k)＋k D．f(k)＋2解析：新增加的第k＋1條棱與其不相鄰的k－2條棱構成k－2個對角面，與其相鄰的兩條棱構成一個對角面，這樣共增加k－1個對角面．答案:B8．已知f（x）＝eq\f(a2x＋1－2,2x＋1)是奇函數，那么實數a的值等于（）A．1 B．－1C．0 D．±1解析：法一：函數的定義域為R，函數為奇函數,則x＝0時f（0)＝0，即eq\f（2a－2,2)＝0，∴a＝1.法二：根據奇函數的定義,f(－x）＝－f（x)恒成立，即eq\f（a2－x＋1－2,2－x＋1）＝－eq\f（a2x＋1－2，2x＋1）恒成立,即eq\f（a1＋2x－21＋x，2x＋1）＝－eq\f（a2x＋1－2,2x＋1）恒成立,即2a＋a·2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1。答案：A9．設f（x)＝eq\f(1＋x，1－x），又記f1（x)＝f（x)，fk＋1（x）＝f［fk（x)]，k＝1，2，…，則f2017(x）等于（）A．－eq\f(1，x) B．xC.eq\f（x－1,x＋1) D.eq\f（1＋x,1－x)解析：計算f2(x)＝f(eq\f（1＋x，1－x)）＝eq\f（1＋\f(1＋x,1－x),1－\f（1＋x，1－x））＝－eq\f（1，x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x）)＝eq\f（1－\f(1,x),1＋\f(1,x)）＝eq\f（x－1,x＋1)，f4（x)＝eq\f（1＋\f(x－1，x＋1)，1－\f(x－1,x＋1））＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x），歸納得f4k＋1(x）＝eq\f(1＋x，1－x），k∈N＋,從而f2017(x)＝eq\f（1＋x,1－x).答案：D10．觀察下列的圖形中小正方形的個數，則第6個圖中有________個小正方形，第n個圖中有________個小正方形（)A．28,eq\f（n＋1n＋2,2) B．14，eq\f(n＋1n＋2,2)C．28,eq\f（n，2） D．12,eq\f(n2＋n，2）解析:根據規(guī)律知第6個圖形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。第n個圖形中有1＋2＋…＋(n＋1）＝eq\f(n＋1n＋2，2）.答案：A第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分,把答案填在題中橫線上）11．若數列{an｝中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…,則a10＝________.解析：前10項共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55個奇數，a10為由第46個到第55個奇數的和,即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1）＋…＋（2×55－1）＝eq\f（1091＋109，2）＝1000。答案：100012．根據前面的推理,在下表的空白處添加相應的結論。三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于底乘高的eq\f（1，2）三棱錐的體積等于底面積乘高的eq\f(1,3）三角形的面積等于三角形的周長與內切圓半徑的積的eq\f（1，2)解析：設△ABC的內切圓的半徑為r，圓心為O,三邊長分別為a、b、c，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面積和為S△ABC＝eq\f(1,2）（a＋b＋c)r.類似地，設三棱錐S。ABC的內切球半徑為R，球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將三棱錐分割為四個小三棱錐O.SAB,O。SAC,O。SBC，O。ABC，其體積和為三棱錐S。ABC的體積，則V＝eq\f(1，3）S1R＋eq\f（1,3)S2R＋eq\f（1,3)S3R＋eq\f(1,3）S4R＝eq\f（1,3）（S1＋S2＋S3＋S4）R＝eq\f（1，3)S表R.答案：三棱錐的體積等于三棱錐的表面積與內切球半徑的積的eq\f(1，3）13．設a≥0，b≥0,a2＋eq\f（b2，2)＝1，則aeq\r（1＋b2）的最大值為______．解析：∵a≥0，b≥0,∴aeq\r(1＋b2）＝eq\f（\r（2）,2)·eq\r(2a2）·eq\r（1＋b2)≤eq\f（\r(2),2)·eq\f(2a2＋1＋b2，2)＝eq\f（\r（2），2）×eq\f（3，2）＝eq\f(3\r(2)，4）.答案：eq\f(3\r（2）,4)14．研究問題：“已知關于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集為（1,2),解關于x的不等式cx2－bx＋a>0”，有如下解法：解：由ax2－bx＋c〉0?a－b(eq\f(1，x)）＋c（eq\f（1，x))2〉0,令y＝eq\f(1,x),則y∈(eq\f（1,2),1）,所以不等式cx2－bx＋a〉0的解集為(eq\f（1,2)，1）．參考上述解法，已知關于x的不等式eq\f(k，x＋a）＋eq\f（x＋b，x＋c)<0的解集為（－2，－1）∪(2,3)，則關于x的不等式eq\f（kx，ax－1)＋eq\f(bx－1，cx－1)〈0的解集為________．解析：eq\f(kx，ax－1)＋eq\f（bx－1,cx－1）〈0?eq\f（k,a－\f(1，x）)＋eq\f（b－\f（1，x)，c－\f（1，x))<0，令y＝－eq\f（1，x），則y∈（－2，－1）∪(2,3),所以x∈（－eq\f(1，2），－eq\f（1，3)）∪(eq\f（1，2）,1)．答案：(－eq\f(1，2），－eq\f（1,3)）∪(eq\f(1,2），1)三、解答題(本大題共4小題，共44分,解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（10分）已知f（x）＝x2＋px＋q.求證：（1）f(1)－2f(2）＋f（3)＝2；（2)|f（1)｜，｜f（2）|，｜f（3)｜至少有一個不小于eq\f(1,2).證明：（1)f（1)－2f(2)＋f(3）＝1＋p＋q－2（4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2。(2)假設｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3)｜都小于eq\f（1，2)，則有｜f(1）|〈eq\f(1，2)且｜f（2）｜<eq\f(1，2）,|f（3)|<eq\f（1,2），∴－eq\f(1，2）<f(1)〈eq\f（1，2），－eq\f（1,2）<f(2）<eq\f（1，2)，－eq\f（1,2)<f(3）<eq\f(1，2)?！啵?<－2f（2)<1.∴－2〈f（1)－2f（2)＋f(3)<2，這與f（1)－2f(2）＋f(3)＝2矛盾．∴假設不成立，從而原命題成立,即|f（1）｜，|f（2）｜，|f(3)｜中至少有一個不小于eq\f(1，2）。16．(10分）已知x＋y＝u＋v且x2＋y2＝u2＋v2,求證:xn＋yn＝un＋vn.證明：∵x＋y＝u＋v且x2＋y2＝u2＋v2，∴(x＋y)2－（x2＋y2）＝(u＋v）2－(u2＋v2）,即xy＝uv。由x＋y＝u＋v且xy＝uv可知，x，y是一元二次方程z2－（u＋v）z＋uv＝0的兩個根,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝u，y＝v))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝v,，y＝u.）)∴xn＋yn＝un＋vn.17．(12分）畫出f（x)＝eq\r(x）的圖像，借助圖像確定f（eq\f(a＋b，2))與eq\f(fa＋fb,2）的大小,其中a，b∈（0，＋∞),且a≠b，并給出證明．解析:圖像如圖．猜想f(eq\f(a＋b,2))>eq\f(fa＋fb,2）.要證明eq\r（\f（a＋b，2）)〉eq\f（\r(a）＋\r(b),2），只需證2eq\r(\f(a＋b,2)）〉eq\r（a）＋eq\r(b）,只需證明2（a＋b）>a＋b＋2eq\r（ab)，只需證a＋b>2eq\r（ab），∵a〉0，b>0,a≠b，∴a＋b>2eq\r（ab）成立．∴f（eq\f（a＋b,2））>eq\f（fa＋fb,2)成立．18．(12分)蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f（n)表示第n個圖的蜂巢總數（n∈N＋）．（1）試給出f（4)，f(5）的值，并求f(n)的表達式(不要求證明);(2)證明：eq\f(1，f1）＋eq\f(1，f2)＋eq\f(1，f3）＋…＋eq\f(1，fn）〈eq\f（4,3).解析：(1)f（4)＝37，f(5）＝61.由于f(2）－f(1）＝7－1＝6,f(3)－f(2）＝19－7＝2×6，所以f(4)－f(3）＝37－19＝3×6，f（5）－f(4）＝61－37＝4×6,……因此，當n≥2時,有f（n)－f(n－1）＝6(n－1)，所以f(n)＝［f（n）－f(n－1）]＋［f（n－1）－f(n－2）]＋…＋［f(2)－f(1)］＋f(1)＝6［(n－1)＋（n－2)＋…＋2＋1］＋1＝3n2－3n＋1。又因為f（1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n）＝3n2－3n＋1（n∈N＋)．（2）證明：設k∈N＋，