2020高中數(shù)學(xué) 第章 概率 .2.1 古典概型 .2.2 概率的一般加法公式（選學(xué)）學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。1古典概型3。2.2概率的一般加法公式（選學(xué)）學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解古典概型及其概率計算公式，會判斷古典概型．(難點(diǎn)）2．會用列舉法求古典概型的概率．（重點(diǎn)）3．應(yīng)用古典概型的概率計算公式求復(fù)雜事件的概率．（難點(diǎn)）1。通過古典概型及其特征的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．通過古典概型概率的求解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。1．古典概型(1）古典概型的概念：同時具有以下兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型：①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件；②等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．（2）概率的古典定義：在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，①每個基本事件發(fā)生的概率為eq\f（1，n）；②如果隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝eq\f(m，n),所以在古典概型中P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù),試驗(yàn)的基本事件總數(shù)），這一定義稱為概率的古典定義．思考：從所有整數(shù)中任取一個數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個整數(shù)"是古典概型嗎？[提示]不是．因?yàn)橛袩o數(shù)個基本事件．2．概率的一般加法公式（選學(xué))(1)事件A與B的交（或積)：由事件A和B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交(或積)，記作D＝A∩B(或D＝AB）．（2)設(shè)A，B是Ω的兩個事件,則有P(A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(A∩B），這就是概率的一般加法公式．1．下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是(）①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；④基本事件的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個基本事件，則P（A）＝eq\f(k，n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④B［根據(jù)古典概型的特征與計算公式進(jìn)行判斷，①③④正確,②不正確．]2．隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則（)A．p1〈p2<p3 B．p2〈p1〈p3C．p1<p3<p2 D．p3<p1〈p2C［本題考查簡單的概率運(yùn)算．在表格中表示出兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)的所有可能情況如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112則p1＝eq\f(10,36），p2＝eq\f(26,36），p3＝eq\f（18，36）.故p1<p3<p2.]3．從甲、乙、丙三人中任選兩人參加某項(xiàng)活動，其中“甲被選中"這一事件所含的基本事件有________個．2［（甲,乙)，（甲，丙)，共2個．］4．已知A，B是兩個事件,且P(A∪B）＝0.2，P(A）＝P(B)＝0.3，則P(AB)＝________。0.4［由概率的一般加法公式P(AB）＝－P(A∪B）＋P(A）＋P(B）＝0。3＋0.3－0。2＝0。4.]基本事件的列舉問題【例1】有兩個正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,下面做投擲這兩個正四面體玩具的試驗(yàn):用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第1個正四面體玩具朝下的點(diǎn)數(shù),y表示第2個正四面體玩具朝下的點(diǎn)數(shù)．試寫出下列事件所包含的全部基本事件：（1)試驗(yàn)的基本事件;（2）事件“朝下點(diǎn)數(shù)之和大于3”；(3）事件“朝下點(diǎn)數(shù)相等”；(4）事件“朝下點(diǎn)數(shù)之差的絕對值小于2”．［思路探究］根據(jù)事件的定義，按照一定的規(guī)則找到試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的結(jié)果,列舉出來即可．[解］(1)這個試驗(yàn)的基本事件為：（1，1），(1,2)，(1，3）,（1,4）,(2,1），(2,2)，(2，3），(2,4），(3，1）,(3,2),（3，3)，（3，4），(4，1)，（4，2）,(4，3)，（4，4)．（2)事件“朝下點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個基本事件：(1，3)，(1，4)，(2，2）,(2,3），（2，4），（3,1)，（3,2),(3,3），(3，4），（4,1），（4，2)，（4,3），(4,4)．（3）事件“朝下點(diǎn)數(shù)相等”包含以下4個基本事件:（1，1)，（2，2），(3，3）,(4,4）．（4）事件“朝下點(diǎn)數(shù)之差的絕對值小于2”包含以下10個基本事件:（1，1），(1,2)，（2，1），（2,2)，(2,3），(3,2）,(3，3)，(3，4)，(4,3），（4，4)．1．根據(jù)基本事件的定義,按照一定的規(guī)則找到試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的結(jié)果,就得到基本事件．2．求基本事件個數(shù)常用列舉法、列表法、樹狀圖法來解決，并且注意以下幾個方面:（1)用列舉法時要注意不重不漏；（2)用列表法時注意順序問題；(3）用樹狀圖法時若是有順序問題，只作一個樹狀圖然后乘以元素個數(shù)．1．連續(xù)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察落地后這三枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面．（1）寫出這個試驗(yàn)的基本事件；（2)求這個試驗(yàn)的基本事件總數(shù);(3)“恰有兩枚硬幣正面向上”這一事件包含了哪幾個基本事件？［解］(1）這個試驗(yàn)的基本事件為:（正，正,正），（正,正，反），（正，反，正),（正，反，反)，（反,正，正)，（反,正，反），（反，反，正），（反，反,反)．(2）基本事件總數(shù)是8。(3)事件“恰有兩枚硬幣正面向上”包含以下3個基本事件：（正，正,反)，(正，反，正),（反，正,正）．古典概型的判斷及其概率計算［探究問題]1．基本事件有何特征？[提示]基本事件是試驗(yàn)的最基本的結(jié)果,在一次試驗(yàn)中，基本事件不可能同時發(fā)生,故基本事件都是互斥的,其他試驗(yàn)的結(jié)果都可以用基本事件來表示．2．若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)為有限個，則該試驗(yàn)符合古典概型嗎？為什么？［提示]不一定符合,因?yàn)橐粋€試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個試驗(yàn)是否具備古典概型的兩個特點(diǎn)：有限性與等可能性．上述試驗(yàn)還必須滿足每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等才符合古典概型．3．古典概型的概率計算的基本步驟有哪些?[提示］首先，閱讀題目,收集題目中的各種信息；其次，判斷基本事件是否為等可能事件，并用字母A表示所求事件;再次，求出試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)n及事件A包含的基本事件數(shù)m；最后，利用公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù),試驗(yàn)的基本事件總數(shù)）＝eq\f（m,n），求出事件A的概率．【例2】(1）下列試驗(yàn)是古典概型的為________．①從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小相等；②同時擲兩顆骰子,點(diǎn)數(shù)和為6的概率;③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．(2)袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的2個黑球和編號為c，d，e的3個紅球，從中任意摸出2個球．寫出所有不同的結(jié)果,判斷是否為古典概型并求至少摸到1個黑球的概率．[思路探究］(1）緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進(jìn)行判斷．(2)寫試驗(yàn)的不同結(jié)果時可用樹狀圖,判斷古典概型時要緊扣其定義與特征，寫出至少摸到1個黑球的基本事件，用古典概型概率公式可得概率．(1）①②④[①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．③不是古典概型,因?yàn)椴环系瓤赡苄?降雨受多方面因素影響．］(2）解：用樹狀圖表示所有的結(jié)果為：所以所有不同的結(jié)果是ab,ac，ad，ae,bc，bd，be，cd，ce，de，共10種,且在一次試驗(yàn)中，每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，是古典概型問題．記“至少摸出1個黑球”為事件A，則事件A包含的基本事件為ab，ac，ad,ae,bc,bd，be，共7個基本事件，所以P（A）＝eq\f(7，10）＝0。7，即至少摸出1個黑球的概率為0。7。1．判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個特征—-有限性和等可能性，二者缺一不可．2．解決古典概型問題的基本方法是列舉法，但對于較復(fù)雜的古典概型問題，可采用轉(zhuǎn)化的方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和；二是先求對立事件的概率，再求所求事件的概率．2．袋中有紅、白色球各一個,每次任取一個，有放回地摸三次，求基本事件的個數(shù)，寫出所有基本事件的全集,并計算下列事件的概率：(1）三次顏色恰有兩次同色;(2)三次顏色全相同;(3）三次摸到的紅球多于白球．［解］所有的基本事件個數(shù)n＝8個．全集I＝{(紅，紅，紅),（紅,紅，白)，（紅,白，紅),（白，紅，紅），（紅，白，白），（白,紅，白），（白，白，紅），(白，白，白)｝．(1)記事件A為“三次顏色恰有兩次同色"．∵A中含有基本事件個數(shù)為m＝6，∴P（A)＝eq\f(m,n）＝eq\f(6,8）＝0.75。（2）記事件B為“三次顏色全相同"．∵B中含有基本事件個數(shù)為m＝2，∴P(B)＝eq\f（m，n）＝eq\f(2,8)＝0.25。（3)記事件C為“三次摸到的紅球多于白球”．∵C中含有基本事件個數(shù)為m＝4，∴P（C）＝eq\f（4,8）＝0.5.3．若從甲、乙、丙、丁中任取2人參加某項(xiàng)活動，在列舉基本事件時，有人列舉為(甲，乙）、(甲,丙）、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，?。?、（丙，丁)共6個，還有人列舉為(甲,乙）、(乙，甲)、（甲，丙)、(丙，甲）、（甲,?。?、(丁，甲）、（乙，丙）、(丙，乙）、（乙，丁)、（丁，乙）、（丙，丁)、（丁,丙)共12個．既然基本事件總數(shù)都不相同,他們求某一事件的概率一定不相同,對嗎？[解]不對，如要求A事件：甲入選的概率時．第一種情況下A包含3個基本事件，P（A)＝eq\f(3，6)＝eq\f（1,2）；第二種情況下，A包含6個基本事件，P（A)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2），概率相同．求概率時,其大小與模型的選擇無關(guān)，但對于此問題，我們傾向于選擇第一種情況．概率的一般加法公式(選學(xué))【例3】甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．［思路探究］由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此試驗(yàn)是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解．［解]設(shè)事件A為“甲跑第一棒"，事件B為“乙跑第四棒”，則P（A）＝eq\f(1，4），P(B)＝eq\f(1，4).記甲跑第x棒，乙跑第y棒，則結(jié)果可記為(x，y），共有12種等可能結(jié)果：（1,2)，(1,3），(1，4),（2,1),(2，3)，（2,4），（3,1)，（3,2），（3,4),（4，1）,（4,2),（4,3)．而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能：（1,4)，故P(A∩B)＝eq\f(1，12)。所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P（A∪B)＝P(A)＋P（B）－P（A∩B）＝eq\f（1，4)＋eq\f（1,4)－eq\f（1,12）＝eq\f(5，12）。概率的一般加法公式與概率的加法公式在限制條件上的區(qū)別為：1在公式PA∪B＝PA＋PB中，事件A、B是互斥事件;2在公式PA∪B＝PA＋PB－PA∩B中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件。可借助Venn圖直觀理解.4．在對200家公司的最新調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，40%的公司在大力研究廣告效果，50%的公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測，而30％的公司在從事這兩項(xiàng)研究．假設(shè)從這200家公司中任選一家，記事件A為“該公司在研究廣告效果”，記事件B為“該公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測”,求P（A)，P（B)，P(A∪B）．[解]P(A）＝40%＝0。4,P（B）＝50%＝0。5，又已知P（A∩B）＝30％＝0。3，∴P（A∪B）＝P(A）＋P（B)－P（A∩B)＝0。4＋0.5－0.3＝0。6.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解基本事件的特點(diǎn),能寫出一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的基本事件,會用列舉法求古典概型的概率．難點(diǎn)是理解古典概型及其概率計算公式,會判斷古典概型．2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題：（1)基本事件的兩種探求方法．（2）求古典概型的步驟及使用古典概型概率公式的注意點(diǎn)．(3)利用事件的關(guān)系結(jié)合古典概型求概率．3．本節(jié)課的易錯點(diǎn)有兩個：(1）列舉基本事件時易漏掉或重復(fù),如講1；（2)判斷一個事件是否是古典概型易出錯．1．思考辨析(1)若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本事件的個數(shù)為有限個，則該試驗(yàn)符合古典概型．（）(2）“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是基本事件．(）（3)從裝有三個大球、一個小球的袋中,取出一球的試驗(yàn)是古典概型．()(4)一個古典概型的基本事件數(shù)為n，則每一個基本事件出現(xiàn)的概率都是eq\f（1，n）。(）[答案］(1）×（2）×（3)×（4）√2．（2019·全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A。eq\f（1,6)B.eq\f(1，4)C.eq\f(1,3)D．eq\f（1，2)［答案]D3．100張卡片上分別寫有1、2、3、…、100，計算下列事件的概率．(1）任取其中1張,這張卡片上寫的是偶數(shù)的概率為________;(2）任取其中1張,這張卡片上寫的數(shù)是5的倍數(shù)的概率為________;(3）任取其中1張,這張卡片上寫的數(shù)是偶數(shù)且是5的倍數(shù)的概率為________；（4)任取其中1張,這張卡片上寫的數(shù)是偶數(shù)或是5的倍數(shù)的概率為________．（1）eq\f(1,2）（2)eq\f(1,5)（3)eq\f(1，10）(4)eq\f（3，5）［從100張卡片中任取一張，共有100種取法．(1)其中偶數(shù)有50個,故取得偶數(shù)的概率為eq\f（1,2).（2)其中是5的倍數(shù)的有20個，故是5的倍數(shù)的概率是eq\