2020高中數(shù)學 第章 空間向量與立體幾何 .1.5 空間向量運算的坐標表示學案 2-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.5空間向量運算的坐標表示學習目標核心素養(yǎng)1．掌握空間向量運算的坐標表示，并會判斷兩個向量是否共線或垂直．（重點)2．掌握空間向量的模，夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題．（重點、難點）1．通過空間向量的坐標運算及空間向量夾角及長度的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)．2．借助利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直問題,提升學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。1．空間向量運算的坐標表示設a＝(a1,a2，a3），b＝(b1,b2,b3）,空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）減法a－b＝(a1－b1，a2－b2,a3－b3）數(shù)乘λa＝（λa1,λa2,λa3),λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3），則平行(a∥b）a∥b（b≠0）?a＝λb?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a1＝λb1，，a2＝λb2，（λ∈R)，a3＝λb3)）eq\a\vs4\al(,,,）垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量）模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al（2,2）＋aeq\o\al（2，3)）夾角公式cos<a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r（aeq\o\al（2,1）＋aeq\o\al(2，2）＋aeq\o\al（2，3)）\r(beq\o\al(2,1）＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)）)思考：若a＝（a1，a2，a3），b＝(b1，b2，b3)，則a∥b一定有eq\f(a1，b1)＝eq\f(a2，b2)＝eq\f（a3,b3）成立嗎？［提示］當b1，b2，b3均不為0時，eq\f(a1,b1）＝eq\f(a2,b2）＝eq\f(a3，b3）成立．3．向量的坐標及兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設A(a1，b1,c1），B（a2，b2，c2），則(1)eq\o（AB，\s\up8(→））＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；（2）dAB＝｜eq\o(AB,\s\up8（→））|＝eq\r(（a2－a1)2＋（b2－b1)2＋（c2－c1)2)．1．已知向量a＝(3,－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2bA．(16，0,4) B．(8，－16,4）C．(8,16，4） D．(8,0，4）D[4a＝(12，－8，4）,2b＝（－4,8，0)∴4a＋2b＝(8，0，42．已知向量a＝（1，1，0)，b＝(－1，0，2），且ka＋b與2a－b互相垂直，則kA．1B.eq\f（1，5)C.eq\f(3，5）D。eq\f(7，5)D［ka＋b＝(k－1，k，2）,2a－b＝(3，2，－2)，且(ka＋b（2a－b）＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq\f（7，5)。]3．若A(－1，2,3)，B(2，1,4)，C（m，n，1)三點共線，則m＋n＝________．－3［eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，－1，1），eq\o(AC，\s\up8（→））＝（m＋1，n－2,－2)．∵A,B,C三點共線，∴存在實數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up8（→））＝λeq\o(AB,\s\up8（→）)。即(m＋1，n－2，－2）＝λ(3,－1，1）＝（3λ,－λ,λ），∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m＋1＝3λ，，n－2＝－λ，,－2＝λ，））解得λ＝－2，m＝－7，n＝4?！鄊＋n＝－3。]4．若點A(0，1，2），B(1，0，1),則eq\o(AB，\s\up8（→))＝__________，eq\o（｜AB|，\s\up8（→））＝__________________．（1，－1，－1）eq\r(3)［eq\o（AB，\s\up8（→）)＝(1，－1,－1），|eq\o(AB，\s\up8（→））|＝eq\r(12＋(－1）2＋（－1)2)＝eq\r(3）。]空間向量的坐標運算【例1】(1)若向量a＝(1,1,x），b＝(1，2，1)，c＝（1，1,1）滿足條件（c－a）·2b＝－2,則x＝________．（2）已知O是坐標原點,且A,B，C三點的坐標分別是(2,－1，2），(4，5，－1)，（－2，2,3)，求適合下列條件的點P的坐標；①eq\o(OP,\s\up8（→)）＝eq\f（1,2）(eq\o(AB,\s\up8(→)）－eq\o（AC，\s\up8（→)））;②eq\o（AP,\s\up8（→））＝eq\f(1，2)(eq\o(AB，\s\up8（→）)－eq\o(AC,\s\up8(→）))．(1)2[c－a＝（0，0，1－x),2b＝（2，4，2），由(c－a)·2b＝－2得2（1－x)＝－2,解得x＝2.](2）解：eq\o(AB,\s\up8(→）)＝（2,6，－3),eq\o（AC,\s\up8(→))＝(－4，3,1）．①eq\o（OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB，\s\up8(→))－eq\o(AC，\s\up8（→）)）＝eq\f(1，2）（6，3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，\f（3，2）,－2)），則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3,\f(3，2），－2）).②設P(x，y，z）,則eq\o(AP，\s\up8(→））＝(x－2，y＋1，z－2）．∵eq\o(AP,\s\up8（→))＝eq\f（1，2）（eq\o（AB，\s\up8(→)）－eq\o(AC，\s\up8（→）））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3,\f(3,2），－2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2，））解得x＝5，y＝eq\f(1，2),z＝0，則點P的坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（5，\f（1,2)，0）)。1．一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．2．在確定了向量的坐標后，使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標運算公式進行計算就可以了，但要熟練應用下列有關乘法公式：（1)(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·（a－b）＝a2－b21．已知a＝（2，－1,－2），b＝（0，－1，4)．求：（1）a＋b；(2)a－b；(3）a·b；(4）2a·（－b)；（5）（a＋b)·(a－b[解](1）a＋b＝(2，－1,－2）＋（0,－1，4）＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝（2，－2，2)．（2）a－b＝(2，－1，－2）－(0,－1,4)＝（2－0,－1－（－1），－2－4）＝(2，0，－6)．(3）a·b＝（2,－1,－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×（－1)＋（－2）×4＝－7。(4）∵2a＝(4,－2，－4)∴2a·（－b）＝（4，－2，－4)·（0，1，＝4×0＋（－2)×1＋（－4)×(－4）＝14。(5)(a＋b）·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16）＝－8.利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題【例2】已知空間三點A(－2，0，2)，B（－1，1，2)，C(－3,0，4)．設a＝eq\o（AB,\s\up8（→)),b＝eq\o（AC，\s\up8(→)）.（1）若｜c｜＝3,c∥eq\o（BC,\s\up8（→））,求c；(2）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k。思路探究：(1)根據(jù)c∥eq\o(BC，\s\up8(→））,設c＝λeq\o（BC，\s\up8(→))，則向量c的坐標可用λ表示，再利用｜c|＝3求λ值；(2）把ka＋b與ka－2b用坐標表示出來，再根據(jù)數(shù)量積為0求解．[解](1)∵eq\o(BC,\s\up8(→））＝(－2,－1,2)且c∥eq\o(BC,\s\up8（→)),∴設c＝λeq\o（BC,\s\up8（→）)＝（－2λ，－λ，2λ）（λ∈R）．∴｜c|＝eq\r(（－2λ）2＋(－λ）2＋（2λ)2）＝3｜λ|＝3。解得λ＝±1。∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）．（2)∵a＝eq\o（AB，\s\up8(→）)＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC，\s\up8（→）)＝(－1,0，2)，∴ka＋b＝（k－1，k，2),ka－2b＝(k＋2，k，－4）．∵（ka＋b)⊥(ka－2b),∴(ka＋b）·(ka－2b)＝0,即(k－1，k,2）·（k＋2,k，－4）＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq\f（5，2）。向量平行與垂直問題主要有兩種題型：(1）平行與垂直的判斷;（2）利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題，即平行與垂直的應用．解題時要注意：①適當引入?yún)?shù)（比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的．2．已知a＝(λ＋1，1，2λ),b＝(6，2m－1，2（1)若a∥b，分別求λ與m的值;（2）若｜a｜＝eq\r（5),且與c＝（2,－2λ，－λ）垂直,求a.［解］（1)由a∥b，得（λ＋1,1,2λ)＝k(6，2m－1，2）∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k(2m－1），，2λ＝2k，)）解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5），，m＝3.）)∴實數(shù)λ＝eq\f（1，5），m＝3.（2）∵|a|＝eq\r(5）,且a⊥c,∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（(λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5,,(λ＋1,1，2λ）·（2,－2λ，－λ）＝0，))化簡，得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，，2－2λ2＝0,））解得λ＝－1。因此,a＝（0，1，－2)．空間向量夾角與長度的計算［探究問題]1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2,z2),則線段AB的中點P的坐標是多少?[提示］Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x1＋x2，2）,\f（y1＋y2，2),\f（z1＋z2，2）)）.2．設異面直線AB，CD所成的角為θ，則cosθ＝cos〈eq\o(AB，\s\up8(→)）,eq\o(CD,\s\up8(→）)〉一定成立嗎？[提示]當cos<eq\o（AB,\s\up8（→）)，eq\o(CD,\s\up8(→)）〉≥0時，cosθ＝cos〈eq\o（AB，\s\up8（→）),eq\o(CD,\s\up8(→））>,當cos〈eq\o（AB，\s\up8（→）），eq\o（CD,\s\up8（→)）><0時，cosθ＝－cos〈eq\o(AB,\s\up8(→)），eq\o(CD，\s\up8(→）)〉．【例3】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1,∠BCA＝90°,棱AA1＝2，M，N分別為A1B1,A1（1)求BN的長；（2)求A1B與B1C（3)求證：BN⊥平面C1MN。思路探究:eq\x(建系C。xyz)→eq\x（得各點的坐標)→eq\x(數(shù)量積運算)→eq\x(夾角、長度公式)→eq\x（幾何結論）［解](1）如圖所示，建立空間直角坐標系C。xyz。依題意得B（0，1，0),N（1，0，1)，∴｜eq\o（BN，\s\up8（→））｜＝eq\r（（1－0）2＋（0－1）2＋(1－0）2）＝eq\r(3),∴線段BN的長為eq\r(3).(2)依題意得A1(1,0，2）,C(0，0，0）,B1（0，1，2），∴eq\o（BA1，\s\up8（→）)＝（1,－1，2），eq\o（CB1，\s\up8(→））＝(0，1,2），∴eq\o（BA1，\s\up8（→)）·eq\o(CB1，\s\up8(→））＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又｜eq\o(BA1，\s\up8(→））｜＝eq\r(6),｜eq\o（CB1，\s\up8(→））|＝eq\r(5）。∴cos〈eq\o(BA1，\s\up8(→)）,eq\o(CB1，\s\up8(→）)〉＝eq\f(\o（BA1，\s\up8（→)）·\o（CB1，\s\up8（→）)，｜\o（BA1,\s\up8(→））｜|\o（CB1，\s\up8（→)）｜)＝eq\f（\r（30）,10).故A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f（\r(30），10）。（3)證明:依題意得A1（1,0，2),C1(0，0，2），B（0，1，0),N(1，0，1),Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，\f（1,2)，2）)，∴eq\o（C1M,\s\up8(→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，\f(1,2),0）），eq\o(C1N，\s\up8(→））＝(1,0，－1），eq\o(BN,\s\up8(→））＝（1,－1，1），∴eq\o(C1M，\s\up8(→)）·eq\o（BN,\s\up8(→）)＝eq\f（1，2）×1＋eq\f(1，2)×(－1）＋0×1＝0，eq\o(C1N，\s\up8（→））·eq\o(BN,\s\up8（→)）＝1×1＋0×(－1）＋(－1）×1＝0。∴eq\o（C1M,\s\up8（→)）⊥eq\o(BN,\s\up8(→）)，eq\o（C1N，\s\up8(→）)⊥eq\o（BN，\s\up8（→)），∴BN⊥C1M，BN⊥C1N又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1∴BN⊥平面C1MN.向量夾角的計算步驟（1）建系：結合圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系，建系原則是讓盡可能多的點落到坐標軸上．（2）求方向向量：依據(jù)點的坐標求出方向向量的坐標．(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標代入求出夾角．3．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a,點M，N分別是AB,CD的中點．(1）求證：MN⊥AB,MN⊥CD；(2）求異面直線AN與CM所成角的余弦值．［解](1）證明：設eq\o(AB,\s\up8（→））＝p,eq\o(AC，\s\up8(→)）＝q,eq\o（AD,\s\up8（→)）＝r。由題意可知，｜p|＝｜q｜＝｜r｜＝a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60°。eq\o(MN，\s\up8（→)）＝eq\o（AN,\s\up8(→））－eq\o（AM，\s\up8（→))＝eq\f（1,2）（eq\o(AC，\s\up8(→))＋eq\o（AD，\s\up8（→)）)－eq\f（1，2）eq\o（AB，\s\up8(→))＝eq\f(1，2)(q＋r－p)，∴eq\o(MN,\s\up8（→）)·eq\o(AB,\s\up8(→））＝eq\f（1，2）(q＋r－p)·p＝eq\f（1，2）（q·p＋r·p－p2）＝eq\f（1，2)（a2cos60°＋a2cos60°－a2）＝0.∴eq\o(MN,\s\up8(→）)⊥eq\o(AB，\s\up8（→）），即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD。(2)設向量eq\o(AN,\s\up8（→））與eq\o(MC,\s\up8(→））的夾角為θ.∵eq\o(AN,\s\up8(→））＝eq\f（1，2)（eq\o(AC,\s\up8(→））＋eq\o(AD，\s\up8(→）））＝eq\f（1，2）（q＋r），eq\o（MC，\s\up8(→)）＝eq\o（AC，\s\up8(→)）－eq\o（AM，\s\up8(→))＝q－eq\f（1,2）p，∴eq\o(AN，\s\up8(→))·eq\o（MC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2）（q＋r）·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（q－\f(1，2)p））＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（q2－\f（1,2）q·p＋r·q－\f（1，2)r·p））＝eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a2－\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－\f（1，2）a2cos60°))＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a2－\f（a2，4）＋\f（a2，2)－\f(a2,4))）＝eq\f（a2,2）。又∵｜eq\o(AN，\s\up8（→））|＝｜eq\o(MC，\s\up8（→））|＝eq\f(\r(3)，2）a，∴eq\o（AN，\s\up8(→))·eq\o（MC,\s\up8(→)）＝｜eq\o（AN,\s\up8（→))||eq\o(MC，\s\up8(→))｜cosθ＝eq\f(\r（3),2）a×eq\f（\r（3）,2）a×cosθ＝eq\f(a2,2）.∴cosθ＝eq\f(2,3)。∴向量eq\o(AN,\s\up8（→)）與eq\o（MC,\s\up8(→）)的夾角的余弦值為eq\f（2，3），從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為eq\f（2，3).1．在空間直角坐標系中，已知點A（x1，y1，z1）,B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up8（→））＝(x2－x1,y2－y1,z2－z1）．一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標．2．兩點間的距離公式：若A(x1，y1，z1），B（x2，y2，z2)，則｜AB|＝｜eq\o(AB，\s\up8（→))｜＝eq\r(\a\vs4\al（｜\o（AB，\s\up8(→）)|2))＝eq\r（（x2－x1)2＋（y2－y1)2＋（z2－z1）2）。3．空間向量的數(shù)量積和夾角有關,經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具,解決立體幾何中與夾角相關的問題,把空間兩條直線所成的角問題轉化為兩條直線對應向量的夾角問題,但要注意空間兩條直線所成的角與對應向量的夾角的取值范圍．1．已知A(3，3，3）,B(6，6，6)，O為原點，則eq\o（OA,\s\up8（→）)與eq\o(BO，\s\up8（→))的夾角是（)A．0 B．πC。eq\f(3,2）π D．2πB[eq\o(OA,\s\up8（→)）＝（3，3,3),eq\o(BO,\s\up8（→)）＝(－6,－6，－6)則eq\o（OA,\s\up8(→)）·BO＝3×(－6)＋3×(－6）＋3×(－6）＝－54，｜eq\o(OA，\s\up8(→））｜＝3eq\r（3）,|eq\o（BO，\s\up8（→）)|＝6eq\r（3)所以cos〈eq\o(OA，\s\up8（→）），eq\o（BO，\s\up8（→))〉＝eq\f（\o（OA，\s\up8(→））·\o（BO,\s\up8（→）），|\o(OA，\s\up8(→))｜｜\o(BO,\s\up8（→））｜）＝eq\f（－54，3\r(3）×6\r（3））＝－1，所以〈eq\o（OA，\s\up8（→）），eq\o（BO，\s\up8（→）)〉＝π。］2．已知a＝(1，x,3)，b＝（－2，4,y)，若a∥b，則x－y＝________．4［∵a∥b，∴b＝λa.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（λ＝－2,，xλ＝4,,3λ＝y(tǒng)，))∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（λ＝－2，,x＝－2，，y＝－6.）)∴x－y＝4。]3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1，3),則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________．6eq\r(5)［a·b＝2×(－2)＋3×1＋（－1）×3＝－4，|a|＝eq\r（14）,|b｜＝eq\r（14），∴cos〈a,b〉＝eq\f（－4，\r(14)×\r（14）)＝－eq\f(2，7）.∴sin〈a，b〉＝eq\r(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2，7))）\s\up20(2)）＝eq\f（3\r(5)，7).因此以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a｜|b|sin〈a，b〉＝eq\r（14）×eq\r(14)×eq\f（3\r(5），7)＝6eq\r（5）.］4．在棱長為1的正方體ABCD。A1B1C1D1中,E，F(xiàn)分別是D1D,BD的中點,G在棱CD上，且CG＝eq\f(1，4）CD，H是C1G的中點．利用空間向量解決下列問題:（1）求EF與B1C（2）求EF與C1G(3)求F，H兩點間的距離．[解]如圖所示,以DA,DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標系D.xyz,則D(0,0，0)，Eeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，0,\f(1,2)）)，F(xiàn)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），\f（1,2），0））,C（0，1,0)，C1(0，1，1),B1(1，1,1），Geq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f(3,4),0）).（1)eq\o(EF，\s\up8（→)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\