一堂充滿文化氣息的探索課

一堂充滿文化氣息的探索課——球的體積的案例冷水江市第七中學(xué)（417500）李繼龍最新年獲湖南省一等獎教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：掌握球的體積公式，并能應(yīng)用其解決有關(guān)問題；能力目標(biāo)：提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法；情感目標(biāo)：通過滲透數(shù)學(xué)文化知識，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)愛國主義精神教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：球的體積公式的探索與應(yīng)用難點(diǎn)：球的體積公式的探索教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)熱情（課前準(zhǔn)備）教師在講臺上放一個乒乓球、一個籃球和一個鋼球教師：你們有什么辦法求出它們的體積嗎（學(xué)生討論）學(xué)生1：由于乒乓球和籃球是空心的，將它們注滿水，水的體積可以近似地等于它們的體積學(xué)生2：將鋼球放入盛滿水的容器中，測出鋼球排出水的體積，即為鋼球的體積教師：這兩種方法都能求出它們的體積的近似值但學(xué)生1的方法具有破壞性不可?。粚W(xué)生2的方法與阿基米德測量皇冠的思想方法是相同的，但要是有一非常大的球，比如地球、月亮、上海電視塔上的球體等，這些方法都無法解決能探索一種解決“球的體積”的一般計算方法嗎（板書課題）交流討論，推測模型教師：圓的面積是，它可以看成是底邊是底邊等于圓的周長，高為半徑的三角形的面積那么能根據(jù)這種關(guān)系，推測球的體積公式的大致形式嗎（學(xué)生分組討論，然后請不同觀點(diǎn)的學(xué)生代表闡明自己的看法）學(xué)生1：圓的面積，那么球的體積一定與有關(guān)，應(yīng)該是的函數(shù)學(xué)生2：球是旋轉(zhuǎn)體，球體積公式就是的倍數(shù)學(xué)生3：因?yàn)閳A可以看成是底邊等于圓的周長，高為半徑的三角形的面積那么球的體積可看成是底面等于球的大圓面積，高為球的半徑的圓錐的體積的兩倍學(xué)生4：學(xué)生3的說法肯定不準(zhǔn)確，球的體積應(yīng)該比這樣的圓錐的體積的兩倍要大學(xué)生5：球的體積可看成底面等于球的表面積，高為球半徑的三棱錐的體積……教師：大家的討論中體現(xiàn)了球的體積公式的探索基本思想方法，即分割法，如學(xué)生5的說法，截面法，如學(xué)生3的說法同時，都認(rèn)為球的體積公式中一定含有，那么怎樣確定公式中的系數(shù)呢觀察類比，猜想模型在上面的討論后教師投影展示下列三幅圖RRRRRRR圖1圖2圖3教師：這三幅圖分別是什么幾何體它的體積的大小關(guān)系如何你能求出哪些幾何體的體積（學(xué)生討論）學(xué)生異口同聲說：圓柱、半球和圓錐，它們的體積大小是：教師：因?yàn)?，那么上述關(guān)系為，同學(xué)們大膽猜想一下球體積的公式學(xué)生：半球的體積位于之間，由前面學(xué)習(xí)的二分法思想可以猜想，它的體積可能是它們的平均數(shù)，即，因此球的體積公式是教師：這位同學(xué)猜想的結(jié)果是正確的愛因斯坦曾說過：猜想比知識更重要因此，我們在學(xué)習(xí)中要敢于猜想，其實(shí)社會的進(jìn)步是在人們的猜想中前進(jìn)的回顧歷史，再現(xiàn)探索教師：球體積公式的推導(dǎo)主要有兩種方法：分割法阿基米德、開普勒和松永良弼和截面法祖暅、卡瓦列利和徐有壬公元前3世紀(jì)，歐幾里德在《幾何原本》里提出，“球的體積V與它的直徑D的立方成正比”稍后歐幾里德和數(shù)學(xué)家阿基米德通過力學(xué)方法發(fā)現(xiàn)：球的體積是以其大圓為底，半徑為高的圓錐體積的四倍在我國，對球體積公式探索也很早，漢以前以一寸的黃金立方體和直徑為一寸的黃金球的立方得球的近似公式數(shù)學(xué)家祖暅在劉徽的基礎(chǔ)上解決了球的體積問題下面我們一起探索祖暅?zhǔn)窃鯓幼C明球的體積公式的教師：如圖4，設(shè)平行于大圓且與大圓的距離為的平面截半球所得圓的半徑為r，你能用表示截面圓的面積嗎學(xué)生討論學(xué)生：因?yàn)?，所以截面積教師：，使你想到了什么圖形的面積公式學(xué)生：可以看成是在半徑為R的圓面上挖去一個半徑為的同心圓，所得圓環(huán)的面積RR圖4圖5OrO＇O1A教師：如圖5，根據(jù)上面的分析，我們構(gòu)造一個底面半徑和高都是R的圓柱與一個圓錐的體積的差的幾何體，將半球的體積轉(zhuǎn)化為一個圓柱與一個圓錐的體積之差這就是利用祖暅原理求球的體積公式的基本方法（介紹祖暅的基本情況）教師：哪位同學(xué)能到黑板上板書推導(dǎo)過程嗎學(xué)生：，所以從而=，故教師：上述探索過程說明，猜想是知識進(jìn)步的原動力，證明是實(shí)現(xiàn)知識進(jìn)步的手段，因此，我們在學(xué)習(xí)中要敢于大膽的猜想，放飛我們思想的翅膀，在知識的海洋中翱翔共同探討，靈活運(yùn)用例長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接于球O，過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別是3cm、6cm和9cm教師：要求球的體積，必須求出它的半徑，那么它的內(nèi)接長方體與球的半徑有怎樣的關(guān)系呢（學(xué)生討論）學(xué)生1：感覺長方體的對角線就是球的直徑，但我不知道理由學(xué)生2：由對稱性可以得到這個結(jié)論學(xué)生3：球的直徑的平方就等于已知的三條棱長的平方和，這樣就可以求出它的半徑，從而可求出球的體積教師：這三位同學(xué)的分析很正確，哪位同學(xué)到黑板上板書過程學(xué)生：設(shè)球的半徑為R，則有，所以，所以教師：由上題可知，若長方體的過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別是,那么它的外接球的半徑自我總結(jié)，加深理解教師：大家用1分鐘的時間總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，然后請幾位同學(xué)來總結(jié)學(xué)生1：我們了解了球的體積公式的發(fā)展過程，及基本推導(dǎo)方法學(xué)生2：學(xué)會了運(yùn)用祖暅原理證明了球的體積公式學(xué)生3:知道了平面幾何知識與立體幾何知識之間存在著相似的基本關(guān)系學(xué)生