《大學(xué)物理》第七章 功和能

功和能第七章本章內(nèi)容

7-1恒力做功

7-2兩個(gè)矢量的標(biāo)量積

7-3變力做功

7-4動(dòng)能和動(dòng)能定理棒球運(yùn)動(dòng)員對(duì)棒球做功對(duì)物體做功---實(shí)例人通過(guò)打氣筒對(duì)氣體做功你用力地推一個(gè)很重的書(shū)桌，試圖移動(dòng)它。哪種情況你會(huì)對(duì)它做功？(a)不管它動(dòng)不動(dòng)，只要你施加了力.(b)只有當(dāng)它開(kāi)始移動(dòng)(c)只有當(dāng)它不動(dòng)(d)從不——它對(duì)你做了功(e)以上都不對(duì)開(kāi)篇問(wèn)題----請(qǐng)猜一猜那個(gè)人做功了？怎樣才算做功?1、物體要受力的作用2、物體要在力的方向上通過(guò)一定的距離當(dāng)一個(gè)力作用在物體上，物體在這個(gè)力作用下通過(guò)了一段距離，這個(gè)力的作用就有了成效，力學(xué)里說(shuō)這個(gè)力做了功。有力無(wú)距離不做功沒(méi)有力對(duì)它做功有力無(wú)距離不做功力和物體運(yùn)動(dòng)方向垂直時(shí)力不做功冰柱在光滑的冰面上滑動(dòng)等于恒力在位移上的投影與位移的乘積。（1）功是標(biāo)量，有正負(fù)之分（2）作功與參照系有關(guān)一、功的概念1.恒力的功明確幾點(diǎn)§7-1恒力做功恒力：力的大小和方向不隨時(shí)間變化其中F是恒力的大小，d是物體的位移量，θ則表示力與位移方向之間的夾角恒力對(duì)物體做功：在SI單位制中用牛頓·米（N·m）作為功的單位，這個(gè)單位稱(chēng)為焦耳（J）：1J=1N·m。功是標(biāo)量哪個(gè)人做了功？？例7-1對(duì)箱子做的功。如圖7-3所示，一個(gè)人用恒力F=100N與水平夾角37°的力水平拉動(dòng)一個(gè)50kg的箱子在水平地面上移動(dòng)了40米，地面光滑無(wú)摩擦力。求（a）作用在箱子上的每個(gè)力所做的功（b）對(duì)箱子做的凈功。解：（a）重力和支持力所做的功為0，因?yàn)樗麄兇怪庇谖灰品较騲外力F所做的功為（b）凈功可以通過(guò)兩種等效的方法計(jì)算其中計(jì)算外力做功的一般步驟受力分析建立坐標(biāo)系求解未知力計(jì)算每個(gè)恒力做的功計(jì)算所有外力的凈功例7-2對(duì)背包做的功（a）計(jì)算登山者背著一個(gè)15kg的背包登上h=10m高的山丘所做的功，如圖7-4a所示。（b）計(jì)算重力對(duì)背包做的功。（c）合力對(duì)背包做的功。簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)地面光滑且人的速度是恒定（加速度為零）。1.畫(huà)一幅自由體受力圖解：2.選擇坐標(biāo)系

我們要研究的是背包豎直方向上的運(yùn)動(dòng)，所以選擇y軸坐標(biāo)正方向豎直向上。3.運(yùn)用牛頓定理4.求解力所做的功登山者所做的功為：重力對(duì)背包所做的功：5.計(jì)算所有力的凈功：概念理解例7-3地球?qū)υ虑蜃龉幔吭虑蛞源笾潞愣ǖ木€速度在繞地球近似圓周的軌道上運(yùn)動(dòng)，這通過(guò)地球?qū)ζ涫┘拥囊?lái)維持（圖7-5）。引力對(duì)月球（a）做正功，（b）做負(fù)功，或（c）不做功？解：月球所受的萬(wàn)有引力指向地球并提供月球的向心力，沿月球軌道向內(nèi)。任意時(shí)刻月球的位移方向與圓周相切，與速度方向一致，垂直于半徑和引力方向。萬(wàn)有引力的方向與瞬時(shí)位移方向的夾角為90度，因此萬(wàn)有引力做功為零?！?-2兩個(gè)矢量的標(biāo)量積（a）標(biāo)量和矢量相乘=矢量

1、一個(gè)正標(biāo)量乘以一個(gè)矢量，只改變其大小不改變其方向。2、如果一個(gè)負(fù)標(biāo)量乘以一個(gè)矢量，大小依然是，但方向和相反（b）矢量和矢量點(diǎn)乘=標(biāo)量

比如：力和位移的標(biāo)量積的形式—功例7-4使用點(diǎn)積。如圖7-7中所示力的大小為F=20N，與地面成30°角。使用式7-4計(jì)算這個(gè)力在地上被拖行貨車(chē)100米所做的功。解：建立坐標(biāo)系：選擇x軸向?yàn)樗较蛴?。y軸向?yàn)榇怪毕蛏?。ba

物體在變力的作用下從a運(yùn)動(dòng)到b。

怎樣計(jì)算這個(gè)力的功呢？采用微元分割法§7-3變力做功把路徑分成很多小段總功等于每一個(gè)區(qū)間上做功之和：分得段數(shù)越多，結(jié)果越接近真實(shí)值，結(jié)果越精確當(dāng)每一段都趨于零（這樣我們會(huì)得到無(wú)限多個(gè)區(qū)間），于是可以得到功的精確值：在直角坐標(biāo)系中，任意的力都能寫(xiě)成同樣，位移可以寫(xiě)成：那么功就能寫(xiě)成：直角坐標(biāo)系：總功元功受力元位移自然坐標(biāo)系：（1）平均功率（2）功率恒力的功率：合力的功功率彈力做功----胡克定律彈簧方程或胡克定律：其中k是常數(shù)，稱(chēng)為彈簧的勁度常數(shù)；x是彈簧偏離平衡位置的位移；負(fù)號(hào)表示“恢復(fù)力”的方向計(jì)算一下：把一個(gè)彈簧從它的原長(zhǎng)拉伸到x的伸長(zhǎng)量，外界對(duì)彈簧做了多少功？假設(shè)拉伸的過(guò)程是緩慢的。解：將彈簧伸長(zhǎng)的方向規(guī)定為x軸的正方向方法一：方法二：把一個(gè)彈簧拉長(zhǎng)x，外界做的功等于曲線F=kx下面三角形的面積：簡(jiǎn)單??！例7-5對(duì)彈簧做功（a）一個(gè)人拉伸彈簧如圖7-10，拉長(zhǎng)了3.0cm，需要最大的力為75N，人做了多少功？（b）如果相反，這個(gè)人壓縮彈簧3.0cm，人做了多少功？解：（a）首先需要計(jì)算彈簧常量k：因此人對(duì)彈簧做的功為：（b）人對(duì)彈簧施加的力仍為F=kx，盡管現(xiàn)在x和F都是負(fù)的（x向右為正）。做功為例7-6（一個(gè)更復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)——機(jī)械臂）力是x的函數(shù)。在自動(dòng)化監(jiān)控系統(tǒng)中攝像機(jī)的狀態(tài)由機(jī)械臂控制（如圖7-12），通過(guò)電動(dòng)機(jī)施加在臂上的力來(lái)操縱，這個(gè)力設(shè)為：其中，x為機(jī)械臂末端的位置。如果臂從0.010m移動(dòng)到0.050m，電動(dòng)機(jī)做了多少功？解：曲線F(x)下面區(qū)域的面積就是F(x)所做的功我們把數(shù)值代入可得§7-4動(dòng)能和動(dòng)能定理一、日常生活中的能量能量在轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化的過(guò)程中是“守恒的”

能量是各種運(yùn)動(dòng)形式的一般量度，是物體狀態(tài)的單值函數(shù)，反映物體做功的本領(lǐng)。二、能量三、動(dòng)能定理根據(jù)功的積分形式定義質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：移動(dòng)中的物體有做功的能力所以可以說(shuō)它具有能量-----動(dòng)能三、動(dòng)能定理實(shí)例我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的剛體，它的質(zhì)量為m（看作一個(gè)粒子），以初速度

作直線運(yùn)動(dòng)。為了把它均勻的加速到

，將一個(gè)恒力

平行于其運(yùn)動(dòng)方向作用在上面通過(guò)位移d可以將上式化簡(jiǎn)為：動(dòng)能定理：外力對(duì)物體做的凈功等于物體動(dòng)能的改變量（末動(dòng)能減去初動(dòng)能）

a.合力做正功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增大；反之，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能減小。

b.動(dòng)能的量值與參考系有關(guān)。c.動(dòng)能定理只適用于慣性系。幾點(diǎn)注意：

d.功是一個(gè)過(guò)程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量，它們之間僅僅是一個(gè)等量關(guān)系。如果對(duì)物體做的凈功W為正，則物體動(dòng)能的增加量等于W。如果對(duì)物體做的凈功為負(fù)，則物體動(dòng)能的減小量等于W如圖所示：釘子作用在錘子上的合力向左，錘子的位移方向向右，所以釘子對(duì)錘子上做的凈功為所以錘子的動(dòng)能減少（通常減小到零)當(dāng)錘子敲下去的時(shí)候，對(duì)釘子做正功：錘子將動(dòng)能通過(guò)作用力傳遞給釘子例7-8估計(jì)汽車(chē)做功，增加它的動(dòng)能。一輛重量為1000kg的汽車(chē)速度從20m/s加速到30m/s需要做多少凈功？（圖7-16）解：凈功等于汽車(chē)動(dòng)能的增量：猜猜看：例7-8中的汽車(chē)從靜止開(kāi)始加速到20m/s所需做的功比已經(jīng)算出的從20m/s加速到30m/s所需做的功是多，還是少，或者相等。（b）寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。例7-9做功使汽車(chē)停車(chē)。一輛車(chē)以60km/h的速度行駛，能夠以小于20m的距離d制動(dòng)（圖7-17a）如果這輛車(chē)以?xún)杀兜乃俣燃?20km/h行駛，那么它的制動(dòng)距離是多少（圖7-17b）？假設(shè)最大的制動(dòng)力與車(chē)速無(wú)關(guān)。解：因?yàn)橹苿?dòng)合力F近似的看成常數(shù)，那么使車(chē)停下所需做的功為F×d，與制動(dòng)距離成正比。運(yùn)用動(dòng)能定理，注意到F與d的方向相反，而且最后的車(chē)速為零：例7-10壓縮的彈簧。一個(gè)螺旋彈簧的勁度系數(shù)是k=360N/m將它從原長(zhǎng)（x=0）壓縮到x=11.0cm需要對(duì)它做多少功？假如一個(gè)1.85kg的木塊放在彈簧旁邊，然后彈簧被釋放，那么當(dāng)彈簧回復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，不計(jì)摩擦，在x=0處木塊的速度是多少？與（b）相同，但假設(shè)木塊在桌面上運(yùn)動(dòng)如圖7-18，并有某種大小為的F=0.7N恒定阻力作用在木塊上如摩擦力（或手指的推力）。解：（a）將彈簧壓縮0.110m所需的功為：（b）當(dāng)彈簧恢復(fù)到它原長(zhǎng)時(shí)，彈簧對(duì)木塊做的功為2.18J.根據(jù)動(dòng)能定理，木塊獲得了2.18J的動(dòng)能（c）木塊上有兩個(gè)力：彈簧對(duì)木塊彈力和木塊受到的阻力,阻力或摩擦力對(duì)木塊做功的方向是x負(fù)方向：對(duì)木塊做的凈功為動(dòng)能定理的普遍性推導(dǎo)本章小結(jié)對(duì)物體做功，即力作用在物體上使物體移動(dòng)了距離d。由恒力F作用