中學(xué)幾何輔助線專項突破（下）

幾何輔助線專項突破幾何輔助線專項突破（下）（下）初中數(shù)學(xué)幾何輔助線專項突破（下）加輔助線又是決定初中幾何成敗的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)圈中流傳著“得輔助線者得幾何，得幾何者得初中數(shù)學(xué)”的說法。，由此可以看出幾何輔助線的重要性和廣泛的運用新。為了引起同學(xué)們的重視，爭取搞定幾何輔助線專項，因此可以將常見的幾何輔助線分門別類的整理出來，專項突破。第六章旋轉(zhuǎn)律的開放探究題及與二次函數(shù)相結(jié)合的綜合題，是今后中考的重點題型。練習(xí)一、材料題（共9題，22小題；共0分）1.解答下列各題：（1）是等邊內(nèi)一點，又、、的大小之比是，則以、、為邊的三角形的三個內(nèi)角的大小之比是（）（從小到大）．A.B.中，C.D.不能確定為邊組成的新三角（2在等邊為邊上一點，設(shè)以、、形的最大內(nèi)角為，則（）．2A.B.C.D.2.回答下列問題：（1如圖所示，在四邊形中，，，，證明：．（2）如圖所示，在四邊形中，，，為四邊形內(nèi)部一點，，證明：．3.如圖所示，為正方形內(nèi)一點，若，，．3（1求2求正方形的面積．中，點直線于點的度數(shù)．（4.，在為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，若點直線于點，連接，．在直線的異側(cè)，．，（1延長交于點（如圖①②求證：求證：≌．．（2若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3若直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形還成立嗎？不必說明理由．的形狀及此時45.如圖，等邊，其邊長為，是中點，點，分別位于，邊上，且．（1直接寫出2若與，的數(shù)量關(guān)系．能圍成一個三角形，求出這個三角形最大內(nèi)角的度數(shù)．（要（，求：寫出思路，畫出圖形，直接給出結(jié)果即可）3思考：的長是否為定值？如果是，請求出該值，如果不是，請說明理由．（6.如圖所示，在中，，將，，點、分別是邊、的中點，連接繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1問題發(fā)現(xiàn)：①②當(dāng)當(dāng)時，時，．．5（2拓展探究：試判斷：當(dāng)時，的大小有無變化？請僅就圖中的情形給出證明．（3問題解決：當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，，三點在一條直線上線時，直接寫出線段的長（用含的代數(shù)式表示）．7.在中，為邊作正方形，，點在射線，使點與點在直線上（與、兩點不與射重合），以的異側(cè)，射線線相交于點．（1若點在線段上，如圖．①②依題意補全圖．的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明．與（2若點在線段的延長線上，且為中點，連接長的思路．，，則的長為</u>，并簡述求8.如圖，點是正方形兩對角線的交點，分別延長到點，到點，使，，然后以為鄰邊作正方形、，連接，．6（1求證：2正方形．（固定，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到正方形，如圖．①②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)是直角時，求的度數(shù)．若正方形的邊長為，在旋轉(zhuǎn)過程中，求長的最大值和此時的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．9.如圖①，四邊形和都是正方形，它們的邊長分別為，（），且點在上（以下問題的結(jié)果均可用，的代數(shù)式表示）．（1求2把正方形．（繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得圖②，求圖②中的．7（3把正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．二、解答題（共4題，共0分）10.為等邊內(nèi)一點，，，求證：以、、為邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．11.如圖，以的斜邊，如果為一邊在，同側(cè)作正方形，求的長．，設(shè)正方形的中心為，連接12.、是等腰斜邊所在直線上的兩點，滿足．求證：．13.如圖，五邊形中，，．求．8第七章特殊四邊形點撥：隨著人教版教材的改版，“梯形”這個詞逐漸被淡化，但是利用“梯形”的性質(zhì)和它多種見題型，預(yù)計與“梯形”有關(guān)的各種計算與證明，以及動態(tài)幾何題和探究題是今后中考的重點．在本節(jié)中我們不回避用“梯形”這個名詞代表這類特殊四邊形。練習(xí)一、解答題（共120分）1.如圖，在四邊形中，，，，，．求的長．2.如圖，四邊形中，，，（），，，求四邊形的面積．93.中，，，．求的長.4.如圖，在四邊形中，．求，平分，若，，的長.5.如圖，在四邊形中，，，分別為，的中點，且．求證：．6.如圖，在梯形中，，若，，，是上一點，且，，求的長．7.如圖所示，等腰梯形的下底，兩對角線相互垂直且長均為．試求上底的長及梯形的面積，并討論問題有解時，與之間的關(guān)系．108.如圖，在梯形中，，對角線，，．求該梯形的面積．9.如圖，在等腰梯形中，，對角線，且．求梯形的面積．10.如圖所示，在梯形中，，，是的中點，試比較、的大?。?1.如圖，在梯形中，，，是的中點．求證：．1112.如圖，在梯形中，，點，分別是，和的中點，我們把有怎樣的線段稱為梯形的中位線，通過觀察、測量，猜想，位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．二、材料題（共2題，4小題；共0分）13.如圖，在四邊形中，，，，，．（1求2求的度數(shù)．的長．（14.如圖，等腰梯形中，，，，是的中點．12（1求證：2將是等邊三角形．繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)（（即，）與交于一點，（即）同時與交于一點時，點和點構(gòu)成．試探究的周周長的最小長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出值．三、填空題（共2題，共0分）15.如圖，等腰梯形中，，，，，則．16.如圖所示，在等腰梯形中，，則的度數(shù)是．四、選擇題（共1題，共0分）1317.如圖，已知四邊形為等腰梯形，，，，為于中點，，則連接，且）．，，作交（A.B.C.D.第八章解直角三角形點撥：一．解直角三角形就是利用銳角三角函數(shù)或勾股定理，由直角三角形的已知邊、角等元素，求出未知的邊、角等元素。練習(xí)一、解答題（共6題，共0分）1.公交總站（點）與、兩個站點的位置如圖所示，已知，，，求站點離公交總站的距離即的長（結(jié)果保留根號）．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的正半軸交于點，與軸交于點，過三點．求證：．143.如圖所示，定義：在中，，銳角的鄰邊與對邊的比叫做角的余切，記作值．，即，請根據(jù)上述角的余切定義，求的4.已知：如圖，在中，，，，垂足為，，求的長．5正好住在商貿(mào)大廈對面的家屬樓上．小明在四樓點測得條幅端點的仰角為條幅端點的俯角為；小雯在三樓點測得條幅端點的仰角為，測得條幅端點的俯角為．若設(shè)樓層高度為米，請你根據(jù)小明和小雯測得的數(shù)據(jù)求出條幅的長．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù).如圖，“五一”期間在某商貿(mào)大廈上從點到點懸掛了一條宣傳條幅，小明和小雯的家，測得）156.如圖，已知：是等腰直角三角形，，求，過的中點作，垂足為，連接的值．二、填空題（共3題，共0分）7.如圖，在中，，，，則的長為．8.如圖，在四邊形中，的面積為，，，，求四邊形．9測得小船的俯角是平行于所在的直線，迎水坡在同一平面內(nèi)，則此時小船到岸邊的距離.如圖，小華站在河岸上的點，看見河里有一小船沿垂直于岸邊的方向劃過來．此時，，若小華的眼睛與地面的距離是米，米，，坡長米，點的長為、、、、、米．（結(jié)果保留根號）16三、選擇題（共9題，共0分）10.如圖，在中，，，，則的長為（A.B.B.C.C.D.11.中，，，，則的值是（A.D.12.如圖，在四邊形中，，，，，則對角線的長為（A.B.C.D.，從辦公樓頂端測得，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離米，梯坎坡米，13.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是米的旗桿旗桿頂端的俯角是是長是米，梯坎坡度，，則大樓，的高度約為（）．（精確到）參考數(shù)據(jù)：17A.4.如圖，已知頂點分別在這三條平行直線上，則B.，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角的值是（C.D.1的三個A.B.C.D.15.如圖，在中，，為上一點，且，于，連接，則等于（A.B.C.D.16.如圖，在中，將沿直線平移得到，為的中點，連接，則的值為（18A.B.C.D.17.如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，分別以點、為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，，則的余弦值是（A.B.C.的中點，D.18.如圖，在正方形中，是是上異于的點，且，則的值為（）．A.B.C.D.第九章相似點撥：識點，以便在解題時能準(zhǔn)確和靈活地運用，更好地幫助我們正確解答問題。練習(xí)一、材料題（共4題，11小題；共0分）1.已知：中，為的中點，為上一點，且．為上一點，且，交于．19（1求2求的值．的值．（2.如圖，四邊形中，，，，，于，交于．（1求2若的值．，求（的值．（3若，過點作中，交的延長線于，求的值．3.已知：在1如圖，若寫出的度數(shù)．．（，點在內(nèi)，且，，，直接（2如圖，若，點在外，且，，，求的度數(shù)．20（3如圖，若，點在內(nèi)，且，，，直接寫出的長．4.點、、在同一直線上，點直線、在直線交于點，并求同側(cè)，，，，、．（1如圖，求證：的度數(shù)．（2若圖中的繞點旋轉(zhuǎn)一定角度，得圖，求的度數(shù)．21（3拓展：如圖，矩形和矩形中，，，，直線、交于點，請直接寫出的度數(shù)．二、解答題（共5題，共0分）5.如圖所示，在中，是的中點，是上一點，且，連接并延長，交的延長線于點，求的值．6.如圖，為半圓直徑，為作上一點，分別在半圓上取點的垂線，交半圓于．求證：、，使平分，，過．7.如圖，，分別是的長．的中線和角平分線，于點，，求228.如圖，在四邊形中，，，相交于點，，是，．的中點，分別交，于，且．求證：9.如圖，梯形中，，，、分別是腰、上的點，已知．求證：．三、填空題（共2題，共0分）10.如圖，在中，之間距離是．且，，，直線，與之間距離是，長為與．，分別經(jīng)過點，，，則邊的11.如圖所示，在中，，點，，分別是平分，的中點，點在射線，上，交于在上且，設(shè)．當(dāng)時，與之間的函數(shù)關(guān)系式是（為不小于的常數(shù)）時，與之間的函數(shù)關(guān)系式是．23四、選擇題（共3題，共0分）12.如圖，，，分別是，的中點，則下列結(jié)論，①，④，其中正確，②，③的是（A.①②③④B.①②③，C.①②④D.②③④13.如圖，已知矩形，，，分別是，的中點，與相交于，與相交于，則四邊形的面積為（）．A.B.C.D.14.如圖，已知在矩形以每秒個單位的速度向點運動，點從點出發(fā)，沿射線動，當(dāng)點運動到點時，兩點停止運動．連結(jié)，過點足為，連結(jié)，交于點，交于點，連結(jié)．給出下列結(jié)論：①中，，，點從點出發(fā)，沿方向每秒個單位的速度運、作，垂24．②．③．④的值為定值．⑤若，則．上述結(jié)論中正確的個數(shù)為（A.B.C.D.第十章圓點撥：“圓”是歷年北京及全國各省市中考必考的重點內(nèi)容，圓的概念和性質(zhì)的考查主要以熱點。練習(xí)一、選擇題（共4題，共0分）1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙的圓心坐標(biāo)是，半徑為，函數(shù)的圖象被⊙截得的弦的長為，則的值是（25A.B.C.D.2.如圖，在半徑為的圓中，、互相垂直的兩條弦，垂足為，且，則的長為（）．A.B.C.D.，垂足為點，則3.如圖，在半徑為的⊙中，弦，的長為（A.B.中，C.D.，以點為圓心，4.如圖，在，，為半徑的圓與交于點，則的長為（）．26A.B.C.D.二、解答題（共3題，共0分）5.如圖，⊙的半徑為，弦和的距離．，，，圓心位于，的上方，求6.如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑的與直線的位置關(guān)系如何？請說明理由．7.如圖，是連接的外接圓，，連接是的直徑，是的切線，切點為，，交于．若，，求的值．27三、填空題（共2題，共0分）8.如圖，半徑為的⊙中，、為直徑，連接的三等分點，點、分別在兩側(cè)的半圓上，、，則圖中兩個陰影部分的面積為．9.如圖，在中，，以于點，且為直徑的⊙與交于點，與．交于點，連交，則長為四、材料題（共1021小題；共0分）10.如圖，以的一邊為直徑的半圓與其它兩邊，的交點分別為，，且．（1試判斷的形狀，并說明理由．28（2已知半圓的半徑為，，求的值．為的中點，過點作直線11.如圖，為⊙的直徑，點在⊙上，于，連接、．（1試判斷直線2若與⊙的位置關(guān)系，并說明理由．，求的長．，點于點，交（，12.如圖，在中，在上，以為半徑的⊙．交于點，的垂直平分線交于點，連接（1判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由．，求線段的長．是半圓的直徑，點是半圓上的動點，點是線段點，在運動過程中，保持（2若，，13.延長線上的動．（1當(dāng)直線與半圓相切時（如圖①），求的度數(shù)．（2當(dāng)直線與半圓相交時（如圖②），設(shè)另一交點為，連接，若，29①②與的大小有什么關(guān)系？為什么？的度數(shù)．求14.已知：，為邊上一動點，以為圓心，為半徑作，交射線（于點和點，設(shè)．1如圖，當(dāng)為何值時，與相切？并求出切線長；結(jié)果保留根號．（2如圖，當(dāng)為何值時，與相交于，兩點，且．15.如圖，，，為上一點，以為直徑的交于點，連接交于點，交于點，連接，．（1判斷2若與的位置關(guān)系，并說明理由．，求的長．（，3016.如圖，半徑不等的兩圓相交于兩點，連接，設(shè)的中點．求證：，兩點，線段分別是經(jīng)過點，且分別交兩圓于，，，，，，的中點，，分別是，（1）2）．（．都經(jīng)過交于點，