中學(xué)幾何輔助線專項(xiàng)突破（下）

幾何輔助線專項(xiàng)突破幾何輔助線專項(xiàng)突破（下）（下）初中數(shù)學(xué)幾何輔助線專項(xiàng)突破（下）加輔助線又是決定初中幾何成敗的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)圈中流傳著“得輔助線者得幾何，得幾何者得初中數(shù)學(xué)”的說(shuō)法。，由此可以看出幾何輔助線的重要性和廣泛的運(yùn)用新。為了引起同學(xué)們的重視，爭(zhēng)取搞定幾何輔助線專項(xiàng)，因此可以將常見(jiàn)的幾何輔助線分門(mén)別類的整理出來(lái)，專項(xiàng)突破。第六章旋轉(zhuǎn)律的開(kāi)放探究題及與二次函數(shù)相結(jié)合的綜合題，是今后中考的重點(diǎn)題型。練習(xí)一、材料題（共9題，22小題；共0分）1.解答下列各題：（1）是等邊內(nèi)一點(diǎn)，又、、的大小之比是，則以、、為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比是（）（從小到大）．A.B.中，C.D.不能確定為邊組成的新三角（2在等邊為邊上一點(diǎn)，設(shè)以、、形的最大內(nèi)角為，則（）．2A.B.C.D.2.回答下列問(wèn)題：（1如圖所示，在四邊形中，，，，證明：．（2）如圖所示，在四邊形中，，，為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，，證明：．3.如圖所示，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若，，．3（1求2求正方形的面積．中，點(diǎn)直線于點(diǎn)的度數(shù)．（4.，在為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)直線于點(diǎn)，連接，．在直線的異側(cè)，．，（1延長(zhǎng)交于點(diǎn)（如圖①②求證：求證：≌．．（2若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接判斷四邊形還成立嗎？不必說(shuō)明理由．的形狀及此時(shí)45.如圖，等邊，其邊長(zhǎng)為，是中點(diǎn)，點(diǎn)，分別位于，邊上，且．（1直接寫(xiě)出2若與，的數(shù)量關(guān)系．能?chē)梢粋€(gè)三角形，求出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的度數(shù)．（要（，求：寫(xiě)出思路，畫(huà)出圖形，直接給出結(jié)果即可）3思考：的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（6.如圖所示，在中，，將，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：①②當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，．．5（2拓展探究：試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖中的情形給出證明．（3問(wèn)題解決：當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)在一條直線上線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．7.在中，為邊作正方形，，點(diǎn)在射線，使點(diǎn)與點(diǎn)在直線上（與、兩點(diǎn)不與射重合），以的異側(cè)，射線線相交于點(diǎn)．（1若點(diǎn)在線段上，如圖．①②依題意補(bǔ)全圖．的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明．與（2若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且為中點(diǎn)，連接長(zhǎng)的思路．，，則的長(zhǎng)為</u>，并簡(jiǎn)述求8.如圖，點(diǎn)是正方形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)到點(diǎn)，到點(diǎn)，使，，然后以為鄰邊作正方形、，連接，．6（1求證：2正方形．（固定，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到正方形，如圖．①②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)是直角時(shí)，求的度數(shù)．若正方形的邊長(zhǎng)為，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由．9.如圖①，四邊形和都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為，（），且點(diǎn)在上（以下問(wèn)題的結(jié)果均可用，的代數(shù)式表示）．（1求2把正方形．（繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得圖②，求圖②中的．7（3把正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫(xiě)出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、解答題（共4題，共0分）10.為等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，求證：以、、為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．11.如圖，以的斜邊，如果為一邊在，同側(cè)作正方形，求的長(zhǎng)．，設(shè)正方形的中心為，連接12.、是等腰斜邊所在直線上的兩點(diǎn)，滿足．求證：．13.如圖，五邊形中，，．求．8第七章特殊四邊形點(diǎn)撥：隨著人教版教材的改版，“梯形”這個(gè)詞逐漸被淡化，但是利用“梯形”的性質(zhì)和它多種見(jiàn)題型，預(yù)計(jì)與“梯形”有關(guān)的各種計(jì)算與證明，以及動(dòng)態(tài)幾何題和探究題是今后中考的重點(diǎn)．在本節(jié)中我們不回避用“梯形”這個(gè)名詞代表這類特殊四邊形。練習(xí)一、解答題（共120分）1.如圖，在四邊形中，，，，，．求的長(zhǎng)．2.如圖，四邊形中，，，（），，，求四邊形的面積．93.中，，，．求的長(zhǎng).4.如圖，在四邊形中，．求，平分，若，，的長(zhǎng).5.如圖，在四邊形中，，，分別為，的中點(diǎn)，且．求證：．6.如圖，在梯形中，，若，，，是上一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．7.如圖所示，等腰梯形的下底，兩對(duì)角線相互垂直且長(zhǎng)均為．試求上底的長(zhǎng)及梯形的面積，并討論問(wèn)題有解時(shí)，與之間的關(guān)系．108.如圖，在梯形中，，對(duì)角線，，．求該梯形的面積．9.如圖，在等腰梯形中，，對(duì)角線，且．求梯形的面積．10.如圖所示，在梯形中，，，是的中點(diǎn)，試比較、的大小．11.如圖，在梯形中，，，是的中點(diǎn)．求證：．1112.如圖，在梯形中，，點(diǎn)，分別是，和的中點(diǎn)，我們把有怎樣的線段稱為梯形的中位線，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想，位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．二、材料題（共2題，4小題；共0分）13.如圖，在四邊形中，，，，，．（1求2求的度數(shù)．的長(zhǎng)．（14.如圖，等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn)．12（1求證：2將是等邊三角形．繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)（（即，）與交于一點(diǎn)，（即）同時(shí)與交于一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)構(gòu)成．試探究的周周長(zhǎng)的最小長(zhǎng)是否存在最小值．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出值．三、填空題（共2題，共0分）15.如圖，等腰梯形中，，，，，則．16.如圖所示，在等腰梯形中，，則的度數(shù)是．四、選擇題（共1題，共0分）1317.如圖，已知四邊形為等腰梯形，，，，為于中點(diǎn)，，則連接，且）．，，作交（A.B.C.D.第八章解直角三角形點(diǎn)撥：一．解直角三角形就是利用銳角三角函數(shù)或勾股定理，由直角三角形的已知邊、角等元素，求出未知的邊、角等元素。練習(xí)一、解答題（共6題，共0分）1.公交總站（點(diǎn)）與、兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖所示，已知，，，求站點(diǎn)離公交總站的距離即的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)．求證：．143.如圖所示，定義：在中，，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切，記作值．，即，請(qǐng)根據(jù)上述角的余切定義，求的4.已知：如圖，在中，，，，垂足為，，求的長(zhǎng)．5正好住在商貿(mào)大廈對(duì)面的家屬樓上．小明在四樓點(diǎn)測(cè)得條幅端點(diǎn)的仰角為條幅端點(diǎn)的俯角為；小雯在三樓點(diǎn)測(cè)得條幅端點(diǎn)的仰角為，測(cè)得條幅端點(diǎn)的俯角為．若設(shè)樓層高度為米，請(qǐng)你根據(jù)小明和小雯測(cè)得的數(shù)據(jù)求出條幅的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù).如圖，“五一”期間在某商貿(mào)大廈上從點(diǎn)到點(diǎn)懸掛了一條宣傳條幅，小明和小雯的家，測(cè)得）156.如圖，已知：是等腰直角三角形，，求，過(guò)的中點(diǎn)作，垂足為，連接的值．二、填空題（共3題，共0分）7.如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為．8.如圖，在四邊形中，的面積為，，，，求四邊形．9測(cè)得小船的俯角是平行于所在的直線，迎水坡在同一平面內(nèi)，則此時(shí)小船到岸邊的距離.如圖，小華站在河岸上的點(diǎn)，看見(jiàn)河里有一小船沿垂直于岸邊的方向劃過(guò)來(lái)．此時(shí)，，若小華的眼睛與地面的距離是米，米，，坡長(zhǎng)米，點(diǎn)的長(zhǎng)為、、、、、米．（結(jié)果保留根號(hào)）16三、選擇題（共9題，共0分）10.如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為（A.B.B.C.C.D.11.中，，，，則的值是（A.D.12.如圖，在四邊形中，，，，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（A.B.C.D.，從辦公樓頂端測(cè)得，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離米，梯坎坡米，13.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是米的旗桿旗桿頂端的俯角是是長(zhǎng)是米，梯坎坡度，，則大樓，的高度約為（）．（精確到）參考數(shù)據(jù)：17A.4.如圖，已知頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則B.，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角的值是（C.D.1的三個(gè)A.B.C.D.15.如圖，在中，，為上一點(diǎn)，且，于，連接，則等于（A.B.C.D.16.如圖，在中，將沿直線平移得到，為的中點(diǎn)，連接，則的值為（18A.B.C.D.17.如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，，則的余弦值是（A.B.C.的中點(diǎn)，D.18.如圖，在正方形中，是是上異于的點(diǎn)，且，則的值為（）．A.B.C.D.第九章相似點(diǎn)撥：識(shí)點(diǎn)，以便在解題時(shí)能準(zhǔn)確和靈活地運(yùn)用，更好地幫助我們正確解答問(wèn)題。練習(xí)一、材料題（共4題，11小題；共0分）1.已知：中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．為上一點(diǎn)，且，交于．19（1求2求的值．的值．（2.如圖，四邊形中，，，，，于，交于．（1求2若的值．，求（的值．（3若，過(guò)點(diǎn)作中，交的延長(zhǎng)線于，求的值．3.已知：在1如圖，若寫(xiě)出的度數(shù)．．（，點(diǎn)在內(nèi)，且，，，直接（2如圖，若，點(diǎn)在外，且，，，求的度數(shù)．20（3如圖，若，點(diǎn)在內(nèi)，且，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．4.點(diǎn)、、在同一直線上，點(diǎn)直線、在直線交于點(diǎn)，并求同側(cè)，，，，、．（1如圖，求證：的度數(shù)．（2若圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，得圖，求的度數(shù)．21（3拓展：如圖，矩形和矩形中，，，，直線、交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．二、解答題（共5題，共0分）5.如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的值．6.如圖，為半圓直徑，為作上一點(diǎn)，分別在半圓上取點(diǎn)的垂線，交半圓于．求證：、，使平分，，過(guò)．7.如圖，，分別是的長(zhǎng)．的中線和角平分線，于點(diǎn)，，求228.如圖，在四邊形中，，，相交于點(diǎn)，，是，．的中點(diǎn)，分別交，于，且．求證：9.如圖，梯形中，，，、分別是腰、上的點(diǎn)，已知．求證：．三、填空題（共2題，共0分）10.如圖，在中，之間距離是．且，，，直線，與之間距離是，長(zhǎng)為與．，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則邊的11.如圖所示，在中，，點(diǎn)，，分別是平分，的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線，上，交于在上且，設(shè)．當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式是（為不小于的常數(shù)）時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式是．23四、選擇題（共3題，共0分）12.如圖，，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論，①，④，其中正確，②，③的是（A.①②③④B.①②③，C.①②④D.②③④13.如圖，已知矩形，，，分別是，的中點(diǎn)，與相交于，與相交于，則四邊形的面積為（）．A.B.C.D.14.如圖，已知在矩形以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)，過(guò)點(diǎn)足為，連結(jié)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．給出下列結(jié)論：①中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向每秒個(gè)單位的速度運(yùn)、作，垂24．②．③．④的值為定值．⑤若，則．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（A.B.C.D.第十章圓點(diǎn)撥：“圓”是歷年北京及全國(guó)各省市中考必考的重點(diǎn)內(nèi)容，圓的概念和性質(zhì)的考查主要以熱點(diǎn)。練習(xí)一、選擇題（共4題，共0分）1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙的圓心坐標(biāo)是，半徑為，函數(shù)的圖象被⊙截得的弦的長(zhǎng)為，則的值是（25A.B.C.D.2.如圖，在半徑為的圓中，、互相垂直的兩條弦，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（）．A.B.C.D.，垂足為點(diǎn)，則3.如圖，在半徑為的⊙中，弦，的長(zhǎng)為（A.B.中，C.D.，以點(diǎn)為圓心，4.如圖，在，，為半徑的圓與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）．26A.B.C.D.二、解答題（共3題，共0分）5.如圖，⊙的半徑為，弦和的距離．，，，圓心位于，的上方，求6.如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑的與直線的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．7.如圖，是連接的外接圓，，連接是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為，，交于．若，，求的值．27三、填空題（共2題，共0分）8.如圖，半徑為的⊙中，、為直徑，連接的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、分別在兩側(cè)的半圓上，、，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積為．9.如圖，在中，，以于點(diǎn)，且為直徑的⊙與交于點(diǎn)，與．交于點(diǎn)，連交，則長(zhǎng)為四、材料題（共1021小題；共0分）10.如圖，以的一邊為直徑的半圓與其它兩邊，的交點(diǎn)分別為，，且．（1試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．28（2已知半圓的半徑為，，求的值．為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線11.如圖，為⊙的直徑，點(diǎn)在⊙上，于，連接、．（1試判斷直線2若與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．，求的長(zhǎng)．，點(diǎn)于點(diǎn)，交（，12.如圖，在中，在上，以為半徑的⊙．交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接（1判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．，求線段的長(zhǎng)．是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持（2若，，13.延長(zhǎng)線上的動(dòng)．（1當(dāng)直線與半圓相切時(shí)（如圖①），求的度數(shù)．（2當(dāng)直線與半圓相交時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為，連接，若，29①②與的大小有什么關(guān)系？為什么？的度數(shù)．求14.已知：，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，交射線（于點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)．1如圖，當(dāng)為何值時(shí)，與相切？并求出切線長(zhǎng)；結(jié)果保留根號(hào)．（2如圖，當(dāng)為何值時(shí)，與相交于，兩點(diǎn)，且．15.如圖，，，為上一點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1判斷2若與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．，求的長(zhǎng)．（，3016.如圖，半徑不等的兩圓相交于兩點(diǎn)，連接，設(shè)的中點(diǎn)．求證：，兩點(diǎn)，線段分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且分別交兩圓于，，，，，，的中點(diǎn)，，分別是，（1）2）．（．都經(jīng)過(guò)交于點(diǎn)，