二次根式講義

教學(xué)情況記錄表課程類(lèi)別□同步□串講□其他（請(qǐng)注明類(lèi)別）1、了解二次根式和最簡(jiǎn)二次根式的概念本次課授課目2、理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)標(biāo)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算3、會(huì)確定二次根式有意義的條件二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)教學(xué)重點(diǎn)單四則運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)、錯(cuò)題回顧、知識(shí)總結(jié)1、二次根式的概念（例1）一般地，我們把形如二I的式子叫做二次根式.在二次根式中，舊可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式，但不管是什么形式，作為被開(kāi)方數(shù)的.必須滿(mǎn)足曰，當(dāng)口時(shí)，二次根式無(wú)意義.教學(xué)步驟及內(nèi)也就是說(shuō)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)|叫時(shí)，二次根式才有意義.容注意：二次根式的兩個(gè)基本特征：一是根指數(shù)為2,二是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).比如—I等均是二次根式，而像L^J等均不是二次根式.2、二次根式的性質(zhì)（例2）（1）二次根式的非負(fù)性，即I—I,這一性質(zhì)也是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.（2）一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方是它本身，即r^i把公式II反過(guò)來(lái)就得到了式子I_】,也就是說(shuō)，逆用這一性質(zhì)，可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式.（3）任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值，即曰.3、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)（例3）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即注意：（1）在這個(gè)性質(zhì)中，|回|可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式，但不管是實(shí)數(shù)，還是代數(shù)式，都必須使二次根式有意義，即1xI.要防止出現(xiàn)■—■這樣的錯(cuò)誤.（2）另外該性質(zhì)并非局限于被開(kāi)方數(shù)為兩個(gè)因數(shù)，它可以推廣到更多個(gè)，如—~i.⑶如果一個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)比較大，可以運(yùn)用該性質(zhì)將其分解為若干個(gè)，再分別運(yùn)用曰化簡(jiǎn)二次根式.4、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（例4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，即■==~=■可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商.注意：（1）在運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確把握性質(zhì)成立的條件，即被開(kāi)方數(shù)的分子為非負(fù)數(shù)，而分母大于0.(2)如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)，如可必須先化成目，注意匚三|；如果被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)，應(yīng)先化成分?jǐn)?shù)，如凹必須先化成可5、最簡(jiǎn)二次根式(例5)定義：一般地，如果一個(gè)二次根式滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件，那么，我們把這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式如X[都是最簡(jiǎn)二次根式.要注意分母中不能含有根號(hào)，如目不是最簡(jiǎn)二次根式.把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式時(shí)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為小數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，可運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)變形，使被開(kāi)方數(shù)化為整數(shù)；當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為整數(shù)時(shí)，可以把它分解因數(shù)，再運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)變形，化為最簡(jiǎn)二次根式.6、二次根式的乘法和除法(例6)(1)把積的算術(shù)平方根的性質(zhì)—■反過(guò)來(lái)寫(xiě)為「,則為二次根式的乘法法則，即二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.二次根式的乘法法則可推廣到多個(gè)二次根式進(jìn)行相乘的運(yùn)算，如.=~=■.二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即系數(shù)之積作為積的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù).（2）把商的算術(shù)平方根的性質(zhì)|=—=I反過(guò)來(lái)寫(xiě)為，=="=■,則為二次根式的除法法則，即二次根式相除，就是把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變.注意：二次根式的乘、除法法則和積的算術(shù)平方根、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)互為逆運(yùn)算，在計(jì)算和化簡(jiǎn)二次根式時(shí)可結(jié)合題目靈活運(yùn)用，但始終要注意法則與性質(zhì)成立的條件.7、分母有理化（例7）定義：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如注意：（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.⑵分母有理化的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)^⑶分母有理化的方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.⑷分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜，如MJ的有理化因式是凹「.8、二次根式的合并（例8）合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變.方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似，例如■.二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)的形式.9、二次根式的加減法（例9）二次根式的加減法法則：二次根式的加減運(yùn)算，就是將被開(kāi)方數(shù)相同的項(xiàng)進(jìn)行合并。為此，首先應(yīng)將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后將被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)進(jìn)行合并.可簡(jiǎn)單地概括為：先化簡(jiǎn)，后合并.注息：二次根式的加減實(shí)際上就是合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，因此在進(jìn)行二次根式加減時(shí)，能否準(zhǔn)確化簡(jiǎn)二次根式是關(guān)鍵.化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式不能合并，如回就是最簡(jiǎn)結(jié)果，不能再合并.二次根式的加法也滿(mǎn)足加法交換律和結(jié)合律^10、二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序：與數(shù)、整式和分式的混合運(yùn)算一樣，二次根式的混合運(yùn)算，也應(yīng)先算乘除，后算加減；有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的.二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫(xiě)為最簡(jiǎn)形式，這個(gè)形式可以是最簡(jiǎn)二次根式，也可以是幾個(gè)非同類(lèi)最簡(jiǎn)二次根式的和或差.在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)二次根式都可以看成是一個(gè)“單項(xiàng)式”，因此實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律(結(jié)合律、交換律、分配律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.三、例題講解1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?(1)E；(2)M;(3)凹(4)Lrl2、化簡(jiǎn)：(1)30;(2)住J;(3)M;(4)Ml3、化簡(jiǎn)：（i）m；（2）m4、化簡(jiǎn)：（1）目；（2）S5、化簡(jiǎn)S6、計(jì)算：(1)仁I;(2);(3)；(4)07、把下列各式分母有理化:（1）岡；（2）回.8、合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式:TOC\o"1-5"\h\z（1）;（2）9(1)IX]；(2)[X|10、(1)((2)-^-1四、中考鏈接1、若實(shí)數(shù)|回滿(mǎn)足1—1,則回2、計(jì)算二I3、計(jì)算I—I4、計(jì)算L—I5、計(jì)算：巨0x|II8、先化簡(jiǎn)，再求值：曰，其中■—■9、計(jì)算：(1)■—](2)I—】10、計(jì)算：⑴一■(2)L^J五、鞏固提高1、化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A.10B.2凹C.時(shí)D.20TOC\o"1-5"\h\z2、計(jì)算M|3、計(jì)算|=|4、計(jì)算I上三I5、計(jì)算：[—I6、計(jì)算：I—I7、計(jì)算I—I

8、計(jì)算：（1）[I（2）|—|9、（岳陽(yáng)）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（A.回B.凹C.目D.10、如果，—■,那么（A.x>0B.x>6C.0<x<6）D.x為一切實(shí)數(shù)E=J0D.）D.x為