《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2018屆中考數(shù)學(xué)提升練習(xí)：專題(十) 等腰或直角三角形為背景的計算與證明

專題提升(十)以等腰或直角三角形為背景的計算與證明類型之一以等腰三角形為背景的計算與證明【經(jīng)典母題】把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形．你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法．經(jīng)典母題答圖解：如答圖，作∠ABC的平分線，交AC于點D.在BA上截取BE＝BD，連結(jié)ED，則沿虛線BD，DE剪兩刀，分成的3個三角形都是等腰三角形．經(jīng)典母題答圖【思想方法】等腰三角形的性質(zhì)常與角平分線、線段的垂直平分線結(jié)合在一起證明線段相等，或者與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合在一起求角度，或者通過列方程或方程組解決等腰三角形中關(guān)于邊長的計算．【中考變形】1．[2017·湖南]已知△ABC的三邊長分別為4，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫 (B)A．3條 B.4條 C.5條 D.6條中考變形1答圖【解析】如答圖，當(dāng)AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE時，都能得到符合題意的等腰三角形．中考變形1答圖2．[2016·杭州]已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n(m＜n)，過銳角頂點把該紙片剪成兩個三角形，若這兩個三角形都為等腰三角形，則(C)A．m2＋2mn＋n2＝0 B.m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0 D.m2－2mn－n2＝0中考變形2答圖【解析】如答圖，根據(jù)題意，得m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2－2mn＋m2，m2＋2mn－n2中考變形2答圖3．[2017·紹興]已知△ABC，AB＝AC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，AD＝AE，設(shè)∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如圖Z10－1，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝__20__°，β＝__10__°.②求α，β之間的關(guān)系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之間的關(guān)系式？若存在，求出這個關(guān)系式(求出一個即可)；若不存在，請說明理由．圖Z10－1解：(1)①∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.②設(shè)∠B＝x，∠ADE＝y(tǒng)，∴∠C＝x，∠AED＝y(tǒng)，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y(tǒng)＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β；(2)Ⅰ.當(dāng)點E在CA的延長線上，點D在線段BC上時，如答圖①，設(shè)∠B＝x，∠ADE＝y(tǒng)，∴∠C＝x，∠E＝y(tǒng)，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°.中考變形3答圖①中考變形3答圖②Ⅱ.當(dāng)點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上時，如答圖②，同①的方法可得α＝180°－2β.【中考預(yù)測】[2016·菏澤]如圖Z10－2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE.(1)如圖①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，①求證：AD＝BE.②求∠AEB的度數(shù)；(2)如圖②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM為△DCE中DE邊上的高線，BN為△ABE中AE邊上的高線，求證：AE＝2eq\r(3)CM＋eq\f(2\r(3),3)BN.圖Z10－2解：(1)①證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,DC＝EC，))∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵點A，D，E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；(2)證明：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×eq\f(CM,tan∠CDM)＝2eq\r(3)CM.∵∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝eq\f(BN,sin∠BEN)＝eq\f(2\r(3),3)BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝DE＋BE＝2eq\r(3)CM＋eq\f(2\r(3),3)BN類型之二以直角三角形為背景的計算與證明【經(jīng)典母題】已知：如圖Z10－3，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E為AC上一點，且BF＝AC，DF＝DC.求證：BE⊥AC.圖Z10－3證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°圖Z10－3又∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.【思想方法】直角三角形角之間的聯(lián)系在幾何計算與證明中應(yīng)用廣泛，常與三角形全等知識結(jié)合使用．【中考變形】1．如圖Z10－4，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連結(jié)AA′，若∠1＝20°，則∠B的度數(shù)是 (B)圖Z10－4圖Z10－4B．65°C．60°D．55°【解析】∵Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠B＝∠A′B′C＝65°.圖Z10－52．[2016·濟寧]如圖Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點H，請你添加一個適當(dāng)條件____AE＝CE(答案不唯一)__，使△AEH≌△圖Z10－5【解析】該題為開放型題，根據(jù)垂直關(guān)系，可以找出△AEH與△CEB的兩對相等的對應(yīng)角，只需要找它們的一對對應(yīng)邊相等就可以了．∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B，∴∠B＝∠AHE.∴根據(jù)AAS添加AH＝CB或AE＝CE，根據(jù)ASA添加EH＝EB，可證△AEH≌△CEB.故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一)．圖Z10－63．如圖Z10－6，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE，DE，DC圖Z10－6(1)求證：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，∴∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))∴△ABE≌△CBD(SAS)；(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°.∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.由(1)知∠BDC＝∠BEA，∴∠BDC＝75°.4．如圖Z10－7，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上的一點．圖Z10－7(1)求證：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求線段AB的長．解：(1)證明：∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CD，,∠ACE＝∠BCD，,AC＝BC.))∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，由勾股定理，得AD＝eq\r(DE2－AE2)＝5，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.5．[2017·重慶B卷]如圖Z10－8，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是AC上一點，連結(jié)BE.(1)如圖①，若AB＝4eq\r(2)，BE＝5，求AE的長；(2)如圖②，點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連結(jié)CD，CF.當(dāng)AF＝DF時，求證：DC＝BC.圖Z10－8【解析】(1)根據(jù)勾股定理先求得AC＝BC＝4，再利用勾股定理求CE的長即可；(2)過C點作CM⊥CF交BD于點M，構(gòu)造△BCM≌△ACF得FC＝MC，即△FCM為等腰直角三角形，∴∠AFC＝∠DFC＝135°，再證△DCF≌△ACF即可．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.∵AB＝4eq\r(2)，∴BC＝AC＝4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝4.在Rt△BCE中，CE＝eq\r(BE2－BC2)＝eq\r(52－42)＝3，∴AE＝AC－CE＝4－3＝1；(2)證明：如答圖，過C點作CM⊥CF交BD于點M.∵∠ACB＝∠FCM＝90°，∴∠ACF＝∠BCM，∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∠BEC＝∠AEF，∴∠FAC＝∠MBC，在△ACF和△BCM中，中考變形5答圖eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACF＝∠BCM，,AC＝BC，,∠FAC＝∠MBC，))∴△ACF≌△BCM(ASA)，中考變形5答圖∴FC＝MC，∴∠MFC＝∠FMC＝45°，∴∠DFC＝180°－45°＝135°，∠AFC＝90°＋45°＝135°，∴∠DFC＝∠AFC.在△ACF和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝DF，,∠AFC＝∠DFC，,CF＝CF，))∴△ACF≌△DCF(ASA)，∴AC＝DC.∵AC＝BC，∴DC＝BC.【中考預(yù)測】如圖Z10－9，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，連結(jié)AM.(1)求證：BE＝CF；(2)求證：BE⊥CF；(3)求∠AMC的度數(shù)．圖Z10－9中考預(yù)測答圖解：(1)證明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠FAE＋∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△CAF和△BAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠CAF＝∠BAE，,AF＝AE，))∴△CAF≌△BAE(SAS)，∴BE＝CF；(2)證明：設(shè)AC與BE交點為O，如答圖，∵△CAF≌△BAE，∴∠ABE＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＋∠BOA＝90°，∵∠BOA＝∠COM，∴∠COM＋∠ACF＝90°，∴∠CM