初中數(shù)學專題《因式分解》含答案解析（十字相乘與分組分解法）

專題14.7因式分解-十字相乘與分組分解法（能力提升）一、選擇題。1．（2022春?邵東市期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式結(jié)果正確的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）2．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）把多項式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），則a，b的值分別是（）A．2，3 B．2，﹣3 C．1，﹣6 D．﹣1，﹣63．（2022秋?周村區(qū)校級月考）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），則m+n的值為（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．14．（2022春?市中區(qū)期末）若多項式x2+kx﹣6可以因式分解為（x﹣2）（x+3）則k的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．25．（2022?臺灣）多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，求a+2c之值為何？（）A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．126．（2022春?漢壽縣期末）多項式x2﹣（y2﹣4y+4）分解因式結(jié)果正確的是（）A．（x+y+2）（x﹣y﹣2） B．（x+y﹣2）（x﹣y+2） C．（x+y﹣2）（x+y+2） D．（x﹣y+2）（x+y+2）7．（2021秋?平昌縣期末）下列因式分解錯誤的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） C．a(chǎn)2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）8．（2021?金華二模）利用函數(shù)知識對代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0）的以下說法作出判斷，則正確的是（）A．如果存在兩個實數(shù)p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，則ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）B．存在三個實數(shù)m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c C．如果ac＜0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c D．如果ac＞0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c9．（2022?靜安區(qū)二模）如果把二次三項式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常數(shù)c的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．（2022春?高新區(qū)校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣511．（2022?豐順縣校級開學）用分組分解法將x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分組不恰當?shù)氖牵ǎ〢．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）12．（2021秋?豐澤區(qū)校級期末）已知整數(shù)a，b滿足2ab+4a＝b+3，則a+b的值是（）A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2二、填空題。13．（2021?廣饒縣一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝．14．（2022春?雁塔區(qū)校級期中）若關(guān)于x的二次三項式x2﹣3x+k的因式是（x﹣2）和（x﹣1），則k的值是．15．（2022?蓮池區(qū)校級開學）如果二次三項式x2+px﹣6可以分解為（x+q）（x﹣2），那么p的值為，q的值為．16．（2020?浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝．17．（2017?渠縣二模）分解因式：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝．18．（2022春?威寧縣期末）請閱讀以下因式分解的過程：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣12＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）．這種因式分解的方法叫做配方法．請用配方法分解因式：x2+2x﹣3＝．三、解答題。19．（2020秋?廣安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．20．（2022秋?乳山市期中）因式分解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2．21．（2022秋?龍華區(qū)校級期中）分解因式：（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．22．（2022春?杭州期中）給出三個多項式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）請任選擇兩個多項式進行加法運算，并把結(jié)果因式分解；（2）當a＝4，b＝﹣7時，求第（1）問所得的代數(shù)式的值．23．（2022秋?泰山區(qū)校級月考）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n+m的值．24．（2021春?左權(quán)縣月考）閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解，過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說，無論x，y取何實數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請說明理由．25．（2021秋?泰山區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法．請你寫出下列因式分解的結(jié)果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．26．（2022秋?婁星區(qū)校級月考）閱讀以下文字并解決問題：形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但對于二次三項式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此時，我們可以在x2+6x﹣27中間先加上一項9，使它與x2+6x的和構(gòu)成一個完全平方式，然后再減去9，則整個多項式的值不變．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．（2）用配方法證明：無論y取何值：的值恒為正數(shù)．專題14.7因式分解-十字相乘與分組分解法（能力提升）一、選擇題。1．（2022春?邵東市期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式結(jié)果正確的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）【答案】B?！窘獯稹拷猓涸剑絰2﹣（y2﹣2y+1）＝x2﹣（y﹣1）2＝（x+y﹣1）（x﹣y+1），故選：B．2．（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）把多項式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），則a，b的值分別是（）A．2，3 B．2，﹣3 C．1，﹣6 D．﹣1，﹣6【答案】C?！窘獯稹拷猓骸甙讯囗検絰2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），∴a＝﹣2+3＝1，b＝（﹣2）×3＝﹣6，故選：C．3．（2022秋?周村區(qū)校級月考）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），則m+n的值為（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1【答案】B?！窘獯稹拷猓骸撸▁﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．故選：B．4．（2022春?市中區(qū)期末）若多項式x2+kx﹣6可以因式分解為（x﹣2）（x+3），則k的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】A。【解答】解：由題意得：x2+kx﹣6＝（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，則k＝1．故選：A．5．（2022?臺灣）多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，求a+2c之值為何？（）A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12【答案】A?！窘獯稹拷猓骸?9x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多項式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故選：A．6．（2022春?漢壽縣期末）多項式x2﹣（y2﹣4y+4）分解因式結(jié)果正確的是（）A．（x+y+2）（x﹣y﹣2） B．（x+y﹣2）（x﹣y+2） C．（x+y﹣2）（x+y+2） D．（x﹣y+2）（x+y+2）【答案】B?！窘獯稹拷猓涸剑絰2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．故選：B．7．（2021秋?平昌縣期末）下列因式分解錯誤的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） C．a(chǎn)2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）【答案】C。【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正確，故A不符合題意；B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正確，故B不符合題意；C．a(chǎn)2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C錯誤，故C符合題意；D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正確，故D不符合題意；故選：C．8．（2021?金華二模）利用函數(shù)知識對代數(shù)式ax2+bx+c（a≠0）的以下說法作出判斷，則正確的是（）A．如果存在兩個實數(shù)p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，則ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）B．存在三個實數(shù)m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c C．如果ac＜0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c D．如果ac＞0，則一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c【答案】C?！窘獯稹拷猓篈．∵x＝p或q時，ap2+bp+c與aq2+bq+c不一定等于0，∴A錯誤；B．∵最多存在兩個實數(shù)m≠n，使得am2+bm+c＝an2+bn+c，∴B錯誤；C．∵ac＜0，則Δ＞0，拋物線與x軸有兩個不同的交點，故一定存在兩個實數(shù)m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，∴C正確；D．∵ac＜0，則△不一定大于0，拋物線與x軸沒有交點，∴D錯誤；故選：C．9．（2022?靜安區(qū)二模）如果把二次三項式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常數(shù)c的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】B?！窘獯稹拷猓骸選2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，∴c＝﹣3．故選：B．10．（2022春?高新區(qū)校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【答案】A?！窘獯稹拷猓骸叨囗検?x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．11．（2022?豐順縣校級開學）用分組分解法將x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分組不恰當?shù)氖牵ǎ〢．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）【答案】C?！窘獯稹拷猓篈．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分組正確，故A不符合題意．B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分組正確，故B不符合題意．C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）無法進行分組分解，那么C分組錯誤，故C符合題意．D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分組正確，故D不符合題意．故選：C．12．（2021秋?豐澤區(qū)校級期末）已知整數(shù)a，b滿足2ab+4a＝b+3，則a+b的值是（）A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2【答案】A?！窘獯稹拷猓河?ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都為整數(shù)，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故選：A．二、填空題。13．（2021?廣饒縣一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．【答案】（m﹣n）（a+b）（a﹣b）?！窘獯稹拷猓涸剑剑╩﹣n）a2﹣（m﹣n）b2＝（m﹣n）（a2﹣b2）＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．故答案為：（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．14．（2022春?雁塔區(qū)校級期中）若關(guān)于x的二次三項式x2﹣3x+k的因式是（x﹣2）和（x﹣1），則k的值是2．【答案】2?！窘獯稹拷猓河深}意得：x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2，∴k＝2．故答案為：2．15．（2022?蓮池區(qū)校級開學）如果二次三項式x2+px﹣6可以分解為（x+q）（x﹣2），那么p的值為1，q的值為3．【答案】1，3?！窘獯稹拷猓焊鶕?jù)題意得：x2+px﹣6＝（x+q）（x﹣2）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，∴p＝q﹣2，﹣2q＝﹣6，解得：p＝1，q＝3．故答案為：1，3．16．（2020?浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【答案】（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）?！窘獯稹拷猓骸?x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可設2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b為待定系數(shù)，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案為：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．17．（2017?渠縣二模）分解因式：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y+1）?！窘獯稹拷猓簒2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故答案為：（x﹣2y）（x﹣2y+1）．18．（2022春?威寧縣期末）請閱讀以下因式分解的過程：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣12＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）．這種因式分解的方法叫做配方法．請用配方法分解因式：x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．【答案】（x+3）（x﹣1）?！窘獯稹拷猓簒2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝[（x+1）+2][（x+1）﹣2]＝（x+3）（x﹣1）．故答案為：（x+3）（x﹣1）．三、解答題。19．（2020秋?廣安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．【解答】解：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝4（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2＝（m﹣n）（4a2﹣b2）＝（m﹣n）（2a+b）（2a﹣b）．20．（2022秋?乳山市期中）因式分解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2．【解答】解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n＝﹣mn（﹣2m+1+m2）＝﹣mn（m﹣1）2；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2＝x2﹣5x+6﹣2＝x2﹣5x+4＝（x﹣4）（x﹣1）．21．（2022秋?龍華區(qū)校級期中）分解因式：（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．【解答】解：（1）4ab﹣16ab3＝4ab（1﹣b2）＝4ab（1+b）（1﹣b）；（2）2x2﹣2y（2x﹣y）＝2（x2﹣2xy+y2）＝2（x﹣y）2；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）＝a（a﹣3）﹣2（a﹣3）＝（a﹣3）（a﹣2）；（4）4x2﹣5x﹣6＝（4x+3）（x﹣2）．22．（2022春?杭州期中）給出三個多項式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）請任選擇兩個多項式進行加法運算，并把結(jié)果因式分解；（2）當a＝4，b＝﹣7時，求第（1）問所得的代數(shù)式的值．【解答】解：（1）選擇①③（答案不唯一），a2+3ab﹣2b2+ab+6b2．＝a2+4ab+4b2＝（a+2b）2；（2）當a＝4，b＝﹣7，原式＝（4﹣14）2＝100．23．（2022秋?泰山區(qū)校級月考）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n+m的值．【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，∴3+n＝m，3n＝﹣15，∴n＝﹣5，m＝﹣2，∴m+n＝（﹣2）+（﹣5）＝﹣7．24．（2021春?左權(quán)縣月考）閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前三項符合完全平方公式，進行變形后可以與第四項結(jié)合再運用平方差公式進行分解，過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說，無論x，y取何實數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請說明理由．【解答】解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣（2x﹣6y）＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）；（2）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4．∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣5）2+（y+4）2+4＞0．即：無論x，y取何實數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)．25．（2021秋?泰山區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整