專升本《高等數(shù)學(xué)》課程的應(yīng)試策略

專升本?高等數(shù)學(xué)?課程的應(yīng)試(yìngshì)策略第一頁(yè)，共39頁(yè)。往年(wǎngnián)考題題型及各題型所占分值2001年2002年2003年2004年選擇題30分50分60分50分填空題20分30分30分30分判斷題10分10分計(jì)算題36分40分40分40分應(yīng)用題10分14分14分14分證明題4分6分6分6分2002年以來(lái)，往年試卷的分值及考試時(shí)間一直(yīzhí)保持不變〔試卷總分150分，考試時(shí)間為150分鐘?！?，歷年題型見(jiàn)下表：第二頁(yè)，共39頁(yè)?？荚囍R(shí)點(diǎn)及每個(gè)知識(shí)點(diǎn)在考卷(kǎojuàn)中的比例

考試內(nèi)容

所占比例函數(shù)、極限與連續(xù)

約30%

一元函數(shù)的微分學(xué)

約32%一元函數(shù)的積分學(xué)

約30%

多元函數(shù)微積分

約30%

向量代數(shù)與空間解析幾何

約8%

無(wú)窮級(jí)數(shù)

約10%

常微分方程約10%歷年來(lái)，專升本考試的數(shù)學(xué)內(nèi)容是固定的，總體上有四局部，它們(tāmen)分別是：一元函數(shù)的微積分；多元函數(shù)的微積分〔包括空間解析幾何知識(shí)〕；常微分方程；無(wú)窮級(jí)數(shù)。具體內(nèi)容及所占比例如下表：第三頁(yè)，共39頁(yè)。每類題型的求解(qiújiě)方法指導(dǎo)一、單項(xiàng)選擇題的求解(qiújiě)方法方法一：直接求解法。即從題設(shè)條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)合理的演算、推理得出結(jié)論，然后，觀察(guānchá)選項(xiàng)中哪一個(gè)符合要求。舉例：例1當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小是比的〔〕Ａ高階無(wú)窮小Ｂ低階無(wú)窮?。猛A無(wú)窮小Ｄ等價(jià)無(wú)窮小指導(dǎo)：比較兩個(gè)無(wú)窮小階數(shù)的上下，方法是：求二者商的極限。

注：請(qǐng)注意解題方法！這種題是每年必考題。第四頁(yè)，共39頁(yè)。例2設(shè)向量那么(nàme)向量與的夾角為〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指導(dǎo)：求兩向量的夾角時(shí)，可利用它們的數(shù)量積公式(gōngshì)進(jìn)行計(jì)算。例３級(jí)數(shù)的斂散性為〔〕

Ａ絕對(duì)收斂(shōuliǎn)Ｂ條件收斂(shōuliǎn)Ｃ發(fā)散Ｄ斂散性不能確定指導(dǎo)：這類題求解時(shí)，應(yīng)首先看是否絕對(duì)收斂？很明顯，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)為：，的級(jí)數(shù)，收斂第五頁(yè)，共39頁(yè)。方法(fāngfǎ)二：逐一驗(yàn)證法。即將所給選項(xiàng)按照題設(shè)要求逐一的演算、推理檢驗(yàn)，從中找出符合題設(shè)的選項(xiàng)。舉例(jǔlì)：例1以下函數(shù)中，是函數(shù)的原函數(shù)的是〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指導(dǎo)：作這個(gè)題就需要逐一驗(yàn)證，首先(shǒuxiān)，你應(yīng)明白何謂“原函數(shù)〞？，然后逐一檢驗(yàn)。如果，的一個(gè)原函數(shù)。

，其余都不滿足，故應(yīng)選Ｃ。注：原函數(shù)的概念也很重要，要牢記。第六頁(yè)，共39頁(yè)。例２在區(qū)間上，以下(yǐxià)函數(shù)中不滿足羅爾定理?xiàng)l件的是〔〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、指導(dǎo)：該題的求解，應(yīng)在掌握羅爾定理(dìnglǐ)條件的根底上，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證。羅爾定理(dìnglǐ)的條件是：⑴上函數(shù)連續(xù)；⑵內(nèi)函數(shù)可導(dǎo)⑶該題的四個(gè)選項(xiàng)中，Ａ、Ｃ、Ｄ滿足定理?xiàng)l件，而Ｂ不滿足。方法三：排除法。即首先排除明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)，逐步縮小選擇范圍，再進(jìn)行比較和驗(yàn)證，最終選擇一個(gè)正確答案。第七頁(yè)，共39頁(yè)。舉例例1，那么(nàme)等于〔〕。指導(dǎo)該題可用“方法一〞---直接求解法尋求答案(dáàn)。只需作變換，令，即可得到的關(guān)系式，進(jìn)而得。也可用恒等變形的方法求得。該題也可用排除法求解。由，當(dāng)時(shí)，會(huì)得，而將代入4個(gè)選項(xiàng)中，分別(fēnbié)得、4、4、0，因此，選項(xiàng)A、D可排除。再令，會(huì)得，而將代入B選項(xiàng)，得數(shù)9，因此B可排除，最后，選C.

A、B、C、D、第八頁(yè)，共39頁(yè)。例2等于(děngyú)〔〕；ABCD指導(dǎo)：因該題是求微分的，結(jié)果中應(yīng)含微分記號(hào)(jìhɑo)，故A、B選項(xiàng)可排除；再根據(jù)可變上限的積分求導(dǎo)性質(zhì)，最終應(yīng)選C.方法四：賦值驗(yàn)證法。即將條件中的變量或關(guān)系式，賦給一些(yīxiē)符合要求的數(shù)值或關(guān)系式，會(huì)得一結(jié)論；再觀察選項(xiàng)中哪一個(gè)選項(xiàng)與命題結(jié)論相符。舉例：例1滿足方程的函數(shù)是〔〕A、B、C、D、指導(dǎo)：在方程中，令，可得，滿足此條件的函數(shù)有和，又方程兩邊求導(dǎo)得，滿足該條件的只有，故D正確。第九頁(yè)，共39頁(yè)。例２，且，那么(nàme)函數(shù)在處〔〕A、導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)存在，且；B、導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)一定不存在；C、取得極大值；D、取得極小值。指導(dǎo)(zhǐdǎo)：取滿足條件的函數(shù)，由該函數(shù)的性質(zhì)知，A、B、C全錯(cuò)，應(yīng)選D例３設(shè)，那么等于〔〕；

A、B、C、D、指導(dǎo)：由條件，將代入，可得，而在四個(gè)選項(xiàng)中，滿足條件的只有B.第十頁(yè)，共39頁(yè)。方法(fāngfǎ)五：圖像法。即借助函數(shù)的圖像直觀地判斷函數(shù)的性質(zhì)、狀態(tài)舉例：例1設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，那么(nàme)函數(shù)在內(nèi)〔〕；A、至少有兩個(gè)零點(diǎn)(línɡdiǎn)；B、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(línɡdiǎn)；C、沒(méi)有零點(diǎn)(línɡdiǎn)；D、零點(diǎn)(línɡdiǎn)的個(gè)數(shù)不確定指導(dǎo)：由于，知函數(shù)嚴(yán)格遞增，又，于是，函數(shù)圖像如圖，直觀可看到B選項(xiàng)正確。例2函數(shù)在點(diǎn)處〔〕；A、無(wú)定義；B、不連續(xù)；C、連續(xù)不可導(dǎo)；D、連續(xù)又可導(dǎo)。

指導(dǎo)：函數(shù)的圖像如圖，C選項(xiàng)正確。第十一頁(yè)，共39頁(yè)。方法六：變量替換(tìhuàn)法。即通過(guò)變量替換(tìhuàn)，把不熟悉的關(guān)系式化為熟悉的關(guān)系式，進(jìn)而解答問(wèn)題的方法。舉例(jǔlì)：例1曲線在處〔〕；A、有極大值B、有極小值C、有拐點(diǎn)(ɡuǎidiǎn)D、無(wú)拐點(diǎn)(ɡuǎidiǎn)指導(dǎo)：令，命題轉(zhuǎn)化為判斷在處的性態(tài)；的曲線形狀大家比較熟悉，如圖，正確答案為C.例2設(shè)級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂，那么級(jí)數(shù)在處〔〕；

A、絕對(duì)收斂；B、條件收斂；C、發(fā)散；D、斂散性不定指導(dǎo)：令，該命題可化為，級(jí)數(shù)在處收斂問(wèn)處的斂散性；由絕對(duì)收斂定理知，A選項(xiàng)正確。第十二頁(yè)，共39頁(yè)。二、填空題的求解(qiújiě)方法填空題往往考察某一知識(shí)點(diǎn)中的根本概念、根本性質(zhì)、根本運(yùn)算；因此，做這樣(zhèyàng)的題需按照以下方法進(jìn)行：方法一：緊扣知識(shí)點(diǎn)，順藤摸瓜。即遇到題首先弄清楚它考的是哪一章節(jié)的什么(shénme)知識(shí)，然后再據(jù)這一知識(shí)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，推得結(jié)論進(jìn)而得出答案。舉例例1極限＿＿＿；指導(dǎo)：很明顯，該題是一道極限計(jì)算題，如何求極限呢？總體方法是，先判斷極限類型，然后按照這種類型的極限求法求極限。該極限可看到是極限，于是，可用羅比塔法那么、可用等價(jià)無(wú)窮小的替換，也可用重要極限等方法求極限。極限值是例2設(shè)，那么指導(dǎo)：該題是考察導(dǎo)數(shù)概念的題，要把導(dǎo)數(shù)定義中的極限與所給極限比較，進(jìn)而求得極限。通過(guò)比較和恒等變形，可得極限為-3。第十三頁(yè)，共39頁(yè)。例3指導(dǎo)：該題含有求導(dǎo)符號(hào)，因此(yīncǐ)是求導(dǎo)運(yùn)算題，又被求導(dǎo)的函數(shù)是積分上限函數(shù)，于是，求導(dǎo)時(shí)要利用積分上限函數(shù)的性質(zhì)。被求導(dǎo)的函數(shù)(hánshù)是與復(fù)合而成的函數(shù)(hánshù)，故其導(dǎo)數(shù)為：方法二：注重技巧，少走彎路。即有些題型的求解是有技巧的，方法正確(zhèngquè)，易于求出結(jié)果，方法不恰當(dāng)，解題就困難。幾個(gè)重要結(jié)論：⑴

⑵⑶第十四頁(yè)，共39頁(yè)。⑷⑸①②等等(děnɡděnɡ)舉例(jǔlì)例1________;指導(dǎo)(zhǐdǎo):該題可利用三角函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式求得結(jié)果。請(qǐng)你一定要記住這些公式！第十五頁(yè)，共39頁(yè)。例2積分(jīfēn)指導(dǎo)：該定積分的積分區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，因此，使我們想到考慮(kǎolǜ)被積函數(shù)的奇偶性；容易知道，被積函數(shù)是奇函數(shù)，故積分為0。例3積分(jīfēn)指導(dǎo)：該題入手方法同例2，具體如下：例4設(shè)直線在平面內(nèi)，那么常數(shù)=——；指導(dǎo)：直線在平面內(nèi)，意味著直線的方向向量與平面的法向量垂直從而，它們的數(shù)量積為零。第十六頁(yè)，共39頁(yè)。三、判斷題的求解(qiújiě)方法判斷題常?？荚嚾菀啄：母拍睢⑷菀壮鲥e(cuò)的運(yùn)算(yùnsuàn)、容易迷糊的性質(zhì)。這類題的求解需注意以下幾點(diǎn)：⑴、理清概念(gàiniàn)。如：①對(duì)于一元函數(shù)，②③④對(duì)于多元函數(shù)，

⑵、牢記運(yùn)算性質(zhì)。如：①如果②如果級(jí)數(shù)第十七頁(yè)，共39頁(yè)。③對(duì)于(duìyú)一元函數(shù)，

④⑶嚴(yán)格運(yùn)算(yùnsuàn)，注重細(xì)節(jié)。舉例例1判斷以下(yǐxià)命題是否正確？⑴、如果函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義，那么不存在；⑵、如果函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，那么曲線在處無(wú)切線；第十八頁(yè)，共39頁(yè)。⑶、如果(rúguǒ)函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)皆存在；那么函數(shù)在點(diǎn)處全微分存在；⑷、如果(rúguǒ)，那么。⑸、如果(rúguǒ)，那么級(jí)數(shù)收斂；⑹、如果(rúguǒ)函數(shù)在處取得極值，那么；⑺、如果(rúguǒ)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，那么；⑻、；⑼、設(shè)，那么；⑽設(shè)，；提示(tíshì)：這類問(wèn)題很多，請(qǐng)細(xì)心思考！第十九頁(yè)，共39頁(yè)。四、計(jì)算題的求解(qiújiě)方法這幾年，專升本試卷中計(jì)算題的類型是較固定的，每年都是8個(gè)題，且它們分別是：⑴、求一元函數(shù)的極限；⑵、求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；⑶、求一元函數(shù)的不定積分；⑷、求一元函數(shù)的定積分；⑸、多元(duōyuán)復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)；⑹、二重積分的計(jì)算；⑺、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)〔或求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間〕；⑻、常微分方程的求解。㈠、一元(yīyuán)極限的求解方法：求極限時(shí)，應(yīng)首先判斷極限類型，然后才能選擇適宜的方法；這幾年的求極限題皆為不定式極限，總體的方法是用羅比塔法那么求極限；當(dāng)然，在求極限過(guò)程中，也要考慮其它求極限的技巧，以便更快地求出極限來(lái)。第二十頁(yè)，共39頁(yè)。舉例(jǔlì)例1求指導(dǎo)：首先看能否代入求極限，通過(guò)(tōngguò)判斷發(fā)現(xiàn)不能，該極限是型不定式極限，可考慮用羅比塔法那么求極限。

〔也可用等價(jià)(děngjià)無(wú)窮小替換求解〕第二十一頁(yè)，共39頁(yè)。㈡、一元函數(shù)的求導(dǎo)方法(fāngfǎ)求一元函數(shù)(hánshù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)首先看該函數(shù)(hánshù)的結(jié)構(gòu)，判斷是復(fù)合函數(shù)(hánshù)，還是四那么運(yùn)算產(chǎn)生的函數(shù)(hánshù)，還是冪指函數(shù)(hánshù)，還是隱函數(shù)(hánshù)，然后按相應(yīng)的求導(dǎo)法那么求導(dǎo)數(shù)。舉例(jǔlì)：例1設(shè)指導(dǎo)：該函數(shù)是冪指函數(shù)，可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)，也可用復(fù)合求導(dǎo)法那么求導(dǎo)數(shù)。第二十二頁(yè)，共39頁(yè)。㈢、求一元函數(shù)積分(jīfēn)的方法無(wú)論一元不定積分還是定積分，求積分時(shí)，首先要看被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，看它屬于哪個(gè)積分方法的可積類型(lèixíng)，然后，按相應(yīng)的方法積分。如：被積函數(shù)中含有根式時(shí)，要利用變換換元脫去根式進(jìn)行積分；被積函數(shù)是對(duì)數(shù)或反三角函數(shù)時(shí)，用分部積分法積分等。舉例(jǔlì)：例1求以下積分：⑴⑵指導(dǎo)對(duì)第一個(gè)積分容易看到，被積函數(shù)無(wú)微分關(guān)系，只能用分部積分法積分，且注意到：，故積分如下：

對(duì)于第二個(gè)積分，被積函數(shù)特點(diǎn)是含有根式，于是，可用換元積分法積分。具體如下：第二十三頁(yè)，共39頁(yè)。方法二：湊微分法。具體(jùtǐ)如下第二十四頁(yè)，共39頁(yè)。例2求積分(jīfēn)⑴⑵指導(dǎo)這兩個(gè)積分皆為定積分，從積分的特征看到，第一個(gè)積分是偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分，且被積函數(shù)可化簡(jiǎn)，然后用湊微分(wēifēn)法積分；第二個(gè)積分，從特征看，需用分部積分法積分．具體如下：解⑴第二十五頁(yè)，共39頁(yè)。⑵第二十六頁(yè)，共39頁(yè)。㈣多元復(fù)合函數(shù)(hánshù)偏導(dǎo)數(shù)的求法指導(dǎo)：這幾年，多元復(fù)合函數(shù)(hánshù)的偏導(dǎo)計(jì)算題，往往是含字母的抽象函數(shù)(hánshù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵要弄明白變量間的關(guān)系，然后按變量間的關(guān)系連線圖求導(dǎo)。舉例例設(shè)其中皆具有二階連續(xù)(liánxù)的偏導(dǎo)數(shù)，求指導(dǎo)首先應(yīng)明確，求導(dǎo)次序是：先對(duì)求偏導(dǎo)，然后對(duì)求偏導(dǎo)；具體求導(dǎo)時(shí)，函數(shù)是兩項(xiàng)的和，需分別求導(dǎo)向加；而每一項(xiàng)又是復(fù)合函數(shù)，需用復(fù)合求導(dǎo)法那么求導(dǎo)。解第二十七頁(yè)，共39頁(yè)。第二十八頁(yè)，共39頁(yè)。㈤二重積分的計(jì)算(jìsuàn)計(jì)算二重積分是一類很重要的運(yùn)算，每年必考。計(jì)算的總體方法是：①先畫(huà)出積分區(qū)域；②根據(jù)(gēnjù)積分區(qū)域特征、被積函數(shù)特征，選擇坐標(biāo)系；③在該坐標(biāo)系內(nèi)，把積分區(qū)域用不等式表示；④把二重積分化為二次積分計(jì)算。舉例例１求積分，其中是圓在第一象限(xiàngxiàn)中的局部。解積分區(qū)域如以下圖區(qū)域可表示為：第二十九頁(yè)，共39頁(yè)。于是(yúshì)，〔在內(nèi)，〕第三十頁(yè)，共39頁(yè)。㈥冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)(zhǎnkāi)或運(yùn)算指導(dǎo)：把函數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)為冪級(jí)數(shù)時(shí)，常常用間接的方法；這其中需要記幾個(gè)常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)式，如：，利用它們的展開(kāi)(zhǎnkāi)式，利用級(jí)數(shù)的運(yùn)算，可間接地把一些函數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)成冪級(jí)數(shù)。舉例例將函數(shù)展開(kāi)(zhǎnkāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求其收斂區(qū)間。指導(dǎo)首先，需把該分式函數(shù)分解為簡(jiǎn)單分式，然后，再展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。解〔讓函數(shù)中出現(xiàn)〕第三十一頁(yè)，共39頁(yè)。在將展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，其收斂(shōuliǎn)區(qū)間為：；在將展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，其收斂(shōuliǎn)區(qū)間為：，故，函數(shù)展開(kāi)的級(jí)數(shù)的收斂(shōuliǎn)區(qū)間是第三十二頁(yè)，共39頁(yè)。㈦微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的求解指導(dǎo)微分方程求解的方法(fāngfǎ)是：先判斷方程的類型，然后，根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇適宜的求解方法(fāngfǎ)。舉例(jǔlì)例求微分方程滿足條件及的解。指導(dǎo)：該方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，首先，求其齊次方程的通解，然后，構(gòu)造非齊次方程的特解，進(jìn)而，得到非齊次方程的通解。最后，將初始條件代入，求出滿足條件的特解。解：方程的特征方程為：，于是，特征根為于是，有齊次方程的通解又，自由項(xiàng)是特征方程的單根；故，可設(shè)方程的特解為，代