初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的易錯(cuò)題匯編含答案

初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的易錯(cuò)題匯編含答案一、選擇題1.如圖，菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)yS的圖彖上，對(duì)角線&C與BD的交X點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)0,己知點(diǎn)人（1,1）,ZABC=6Q\則k的值是（）【答案】C【解析】分析：根據(jù)題意可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得k的值.詳解：???四邊形ABCD是菱形，ABA=BC,AC±BD,?/ZABC=60%??.△ABC是等邊三角形，???點(diǎn)A（1,1）,???0A=、②0A-/?B0==\6,530。、???直線AC的解析式為尸x,??.直線BD的解析式為y=x,?.?ob=、6,???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-、你，,???點(diǎn)B在反比例函數(shù)y上的圖彖上，解得，k=-3,故選C.點(diǎn)睛：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.2.如圖，某地修建高速公路，要從人地向B地修一條隧道（點(diǎn)4，3在同一水平面±）.為了測(cè)量4,3兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從4地起飛，垂直上升looo米到

A.lOOOsma米A.lOOOsma米B.1OOOtaila米C?"°°°米D.屁。米tanasina【答案】C【解析】【分析】在RtAABC中，在RtAABC中，ZCAB=90°,ZB二a,AC=1000米，根據(jù)taila=AC~AB,即可解決問題.【詳解】解：在RtAABC中，???ZG4B=90，ZB=a,AC=1000米,???”竺AB:.AB-AC=tana=1000米.taila故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型?3.在RtAABC中，2ZC=90°,如果AC=2,cosA=-,那么AB的長是（）3A.3B.|C.VJD.713【答案】A【解析】AC2根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，可cosA=—-=然后根據(jù)AC=2,解方程可求得AB=3?AB3故選A.點(diǎn)睛：此題主要考查了解直角三角形，解題關(guān)鍵是明確直角三角形中，余弦值cosA=乙4cosA=乙4的鄰邊

斜邊,然后帶入數(shù)值即可求解.4.如圖，在MBC中，AB=AC,MN是邊BC上一條運(yùn)動(dòng)的線段（點(diǎn)M不與點(diǎn)3重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合），且MN=丄BC,MD丄BC交AB于點(diǎn)D，NE1BC交2AC于點(diǎn)E，在從左至右的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)BM=x,的面積減去46?的面積為y,則下列圖象中，能表示）‘與％的函數(shù)關(guān)系的圖彖大致是（）AA【答案】A【解析】【分析】設(shè)a=*BC,ZB=ZC=a,求出CN、DM、EN的長度，利用y=Sabmd-Sacne,即可求解.乙【詳解】解：設(shè)a=—BC,ZB=ZC=a,則MN=a,2/?CN=BC-MN-BM=2a-a-x=a-x,DM=BM-tanB=x-tana,EN=CN<tanC=(a-x)-tana,y=Sabmd—Sacne=—(BM'DM—CN'EN)=1「‘c,/a?tana、—tana-x"-tana(a-x)=(2x—a),???"?:皿為常數(shù)，???上述函數(shù)圖彖為一次函數(shù)圖象的一部分，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等知識(shí)點(diǎn).解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖彖，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過程.35.菱形ABCD的周長為20cm,DE丄AB,垂足為E,sinA二「則卞列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）3①DE=3cm;（2）BE=lcm;③菱形的面積為15cm2;④BD=2cm.A.1個(gè)B?2個(gè)C?3個(gè)D?4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案【詳解】???菱形ABCD的周長為20cmAAD=5cmVsinA=-5ADE=3cm（①正確）AAE=4cmVAB=5cm:.BE=5-4=lcm（②正確）???菱形的面積=ABxDE=5x3=15cm2（③正確）VDE=3cm,BE=lcm:.BD=y/lOcm（④不正確）所以正確的有三個(gè).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6.在課外實(shí)踐中，小明為了測(cè)量江中信號(hào)塔4離河邊的距離AF，采取了如下措施：如圖在江邊D處，測(cè)得信號(hào)塔人的俯角為40。，若DE=55米，DE丄CE,CE=36米，CE平行于AB,BC的坡度為z=l:0.75,坡長BC=140米，則AF的長為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sm40°?0.64,cos40°~0.77,taii40°?0.84）

介BA.7&介BA.7&6米B?78.7米C.78.8米D.78?9米【答案】C【解析】【分析】如下圖，先在RUCBF中求得BF、CF的長，再利用RUADG求AG的長，進(jìn)而得到AB的長度【詳解】如下圖，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)F,延長DE交AB延長線于點(diǎn)GTBC的坡度為1:0.75???設(shè)CF為xm,則BF為0?75xmVBC=140m???在RtABCF中，x2+（0.75x）2=140\解得：x=112ACF=112m,BF=84mTDE丄CE,CE〃AB,ADG±AB,AAADG是直角三角形VDE=55m,CE=FG=36mADG=167m,BG=120m設(shè)AB=ym?/ZDAB=40°Atan40°=DGAG167Atan40°=DGAG167y+120=0.84解得：y=78.8故選：c【點(diǎn)睛】本題是三角函數(shù)的考查，注意題干中的坡度指的是斜邊與水平面夾角的正弦值.7?同學(xué)們參加綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，看到木工師傅用“三弧法〃在板材邊角處作直角，其作法是：如圖：

（1）作線段AB,分別以點(diǎn)A,B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；（2）以點(diǎn)C為圓心，仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點(diǎn)D；（3）連接BD,BC.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，卞列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.ZABD=90°B.CA=CB=CDC.sinA=遇D.cosD=-22【答案】D【解析】【分析】由作法得CA=CB=CD=AB,根據(jù)圓周角定理得到ZABD=90。，點(diǎn)C是MBD的外心，根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算出ZD=30。，則ZA=60。，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)論.【詳解】由作法得CA=CB=CD=AB,故B正確；???點(diǎn)B在以AD為直徑的圓上，???ZABD=90。,故A正確；???點(diǎn)C是AABD的外心，在RtAABC中，sinZD=——=-,AD2??.ZD=30°,ZA=60°,.??sinA=故C正確;.??sinA=故C正確;cosD=,2故D錯(cuò)誤,故選：D?【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心?也考查了圓周角定理和解直角三角形?&如圖，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿43方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)3出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)且速度相同，DE=GF<AB（DE長度不變，F(xiàn)在G上方,D在E左邊）,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，圖中陰影部分面枳的大小變化情況是（）

B.一直不變C.先減小后增人B.一直不變C.先減小后增人D.先增人后減小【答案】B【解析】【分析】連接GE,過點(diǎn)E作EM丄BC于過點(diǎn)G作GN丄AB于N,設(shè)AE=BG=x,然后利用銳角三角函數(shù)求出GN和EM,再根據(jù)S卩]薩Sagde+Saegf即可求出結(jié)論.【詳解】解：連接GE,過點(diǎn)E作EM丄BC于過點(diǎn)G作GN丄AB于N設(shè)AE=BG=x,則BE=AB-AE=AB-xAGN=BG-sinB=x-sinB,EM=BE-sinB=(AB-x)-sinB?'?S閃彬=S°gdeHS°egf11二一DE?GN+-GF?EM22=-DE-(x-sinB)+丄DE?[(AB-x)?sinB]22DE-[x-sinB4-(AB—x)-sinB]1=—DE-AB-sinB2???DE、AB和ZB都為定值?：S陰彬也為定值故選B.【點(diǎn)睛】此題考查的是銳角三角函數(shù)和求陰影部分的面積，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵.9.如圖，43是OO的弦，直徑CD交43于點(diǎn)E，若=EB=3,ZC=15°?貝UOE的長為()

A.y/3A.y/3【答案】D【解析】【分析】連接Q4.證明是等邊三角形即可解決問題.【詳解】如圖，連接OA.C?:AE=EB,:.CD丄AB,：?AD二BD，???ZBOD=ZAOD=2ZACD=30。,???ZAOB=60°，?：OA=OB,???AAOB是等邊三角形，???AE=3,???OE=4Etan60‘=3毎，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.10.如圖，在x軸的上方，直角ZBOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).若ZBOA的兩邊分別與12函數(shù)y=-一、y=—的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則ZOAB大小的變化趨勢(shì)為（）A.逐漸變小B.逐漸變?nèi)薈.時(shí)人時(shí)小D.保持不變【答案】D【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\zEEOE1如圖，作輔助線；首先證明厶BEO^AOFA,,得到——=〒-；設(shè)B為（“--）,A為OFAFao1o（b,7），得到OE=a,EB=一一,OF=b,AF=,進(jìn)而得到a2b2=2，此為解決問題的關(guān)bab鍵性結(jié)論；運(yùn)用三角函數(shù)的定義證明知tanZOAB=^l為定值，即可解決問題.2【詳解】解：分別過B和A作BE丄x軸于點(diǎn)E,AF丄x軸于點(diǎn)F,則厶BEO^AOFA,.BE_OE??喬一喬’12設(shè)點(diǎn)B為（a,）,A為（b,—）,ab1?則0E=-a,EB二一一，OF二b,AF=-,ab:.ZOAB人小是一個(gè)定值，因此ZOAB的人小保持不變.故選D33J*J*【點(diǎn)睛】該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中：解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答.11.如圖，在RtAABC內(nèi)有邊長分別為a,b,c的三個(gè)正方形?則a、b、c滿足的關(guān)系式A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知識(shí)?在邊長為a和b兩正方形上方的兩直角三角形中由正切可得.(l=-―,化簡得b=a+c,故選A.b-ac【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀?12.如圖，菱形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)6DE丄BC于點(diǎn)E,連接OE,ZDOE=120%DEA.至32a/3C.6^3A.至32a/3C.6^3【答案】B【解析】【分析】證明AOBE是等邊三角形，然后解直角三角形即可.【詳解】T四邊形ABCD是菱形，：.OD=OB.CD=BC.TDE丄BC,AZDEB=90\：.OE=OD=OB.2>/3VZDOE=120°,AZBOE=60%:.AOBE是等邊三角形，AZDBC=60°.2>/3VZDFB=90°,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.213.如圖,MBC的外接圓是00,半徑A0=5,sinB=-,則線段AC的長為（）3【答案】C【解析】【分析】首先連接CO并延長交00于點(diǎn)D,連接AD,由CD是00的直徑，可得ZCAD=90%又由2。0的半徑是5,sinB=-,即可求得答案?3【詳解】解：連接CO并延長交于點(diǎn)D,連接AD,由CD是00的直徑,可得ZCAD=90°,IZB和ZD所對(duì)的弧都為弧AC,2AZB=ZD,艮卩sinB=sinD二g,???半徑A0=5,ACD=10,/?sillD=AC/?sillD=AC~CD~AC_2Io"-5???AO4,故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，以及三角函數(shù)的內(nèi)容，注意到直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.14.如圖，RtZkAOB中,ZAOB=90°,AO=3BO,OB在x軸上,將RtAAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋TOC\o"1-5"\h\z2k轉(zhuǎn)至△RtA-OB1,其中點(diǎn)"落在反比例函數(shù)y=--的圖象上,0A■交反比例函數(shù)尸一的圖象XX于點(diǎn)C,且0C=2CA\則k的值為()【答案】C【解析】【詳解】解：設(shè)將RtAAOB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至RtAA'OB'的旋轉(zhuǎn)角為a,OB=a,則0A=3a,由題意可得，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(acosa,-asina)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2asina,2acosa),2???點(diǎn)B，在反比例函數(shù)尸-—的圖象上，x:.-asina二-—-—,得a2sinacosa=2,acosa又???點(diǎn)C在反比例函數(shù)尸￡的圖彖上，

,得k=4a2,得k=4a2sinacosa=8./?2acosa=故選c.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，解此題的關(guān)鍵在于先設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)設(shè)出點(diǎn)氏與點(diǎn)C的坐標(biāo)，再通過反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.15.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)過原點(diǎn)6與x軸另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為B,若A.■館B.-2^3C.-3^3D.-4^3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出B(-,由MOB為等邊三角形，得到蘭=tan60°x(-—),2a4d4a2a即可求解；【詳解】解：拋物線y=ax?+bx+c(a>0)過原點(diǎn)0,c=0,la'4aVAAOB為等邊三角形，TOC\o"1-5"\h\zb2b:.——=tan60°x(),4a2ci???b=-2^3;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)：能夠?qū)佄锞€上點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為等邊三角形的邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16.如圖，矩形ABCD中，AB>AD9AB=a9A/V平分ZDAB.DM丄AN于點(diǎn)M,CN丄AN于點(diǎn)/V?則DM+CN的值為(用含Q的代數(shù)式表示)()

A.aB.-aC.EqD.遇a522【答案】C【解析】【分析】根據(jù)"AN平分ZDAB.DM±AN于點(diǎn)M,CN丄AN于點(diǎn)N"得ZMDC=ZNCD=45°,DMCNcos45°=——=—,所以DM+CN=CDcos45°；再根據(jù)矩形ABCD,AB=CD=a,DM+CN的值即DECE可求出.【詳解】TAN平分ZDAB,DM丄AN于點(diǎn)M,CN丄AN于點(diǎn)N,:.ZADM=ZMDC=ZNCD=45°,???爲(wèi)+爲(wèi)s在矩形ABCD中,AB=CD=a,ADM+CN=acos45°=故選C.CN【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于得到cos45°=—CN17.如圖，等邊△43C邊長為d,點(diǎn)0是△43C的內(nèi)心，ZF（9G=120°,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)ZFOG,分別交線段AB>BC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，給出下列四個(gè)結(jié)論：①“ODE形狀不變；②QDE的面積最小不會(huì)小于四邊形ODBE的面積的四分之一；③四邊形ODBE的面積始終不變：④周長的最小值為l.5a.上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】連接OB、0C,利用SAS證出△ODB空從而得出AODE是頂角為120。的等腰三角形，即可判斷①；過點(diǎn)0作OH丄DE,則DH=EH,利用銳角三角函數(shù)可得0H=^OE和DE=JJOE,然后三角形的面積公式可得Saode=^OE2,從而得出0E最小時(shí)，Saode最4小，根據(jù)垂線段最短即可求出S.0DE的最小值，然后證出S^ODBE=S.OBC=^-^2即可判斷12②和③；求出的周長=a+DE,求出DE的最小值即可判斷④.【詳解】解：連接OB、OC1ABC是等邊三角形，點(diǎn)O是△A3C的內(nèi)心，AZABC=ZACB=60°,BO=CO,BO、CO平分ZABC和ZACB11:.ZOBA=ZOBC=-ZABC=30°,ZOCA=ZOCB=-ZACB=30°22:.ZOBA=ZOCB,ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=120°VZFOG=120°:.ZFOG=ZBOC:.ZFOG-ZBOE=ZBOC-ZBOEAZBOD=ZCOE在ZkODB和ZkOEC中ZBOD=ZCOEBO=COZOBD=ZOCEAAODB^AOECAOD=OE???△ODE是頂角為120。的等腰三角形，—ODE形狀不變，故①正確；過點(diǎn)O作0H丄DE,則DH=EHVAODE是頂角為120。的等腰三角形AZODE=ZOED=-(180°-120°)=30°2AOH=OE-sinZOED=ioE,EH=OE-cosZOED=2^OE22ADE=2EH=73OE???S“de二丄DE?OH二QoE224?°.0E最小時(shí)，Saode最小，過點(diǎn)O作OF丄BC于匕根據(jù)垂線段最短，OF即為OE的最小值,11ABE=-BC=-€722在RtAOBE^中0E丄BE-tanZOBE仝丄dx週=^a236ASaode的最小值為i448VAODB^AOEC/?S訓(xùn)辺形ODBE二S°odb+S°obe二SZ.OEC+Saobe=S^obc=??爭(zhēng)+和?1??S^odeS—S四血形ODBE4即△ODE的面積最小不會(huì)小于四邊形ODBE的面積的四分之一，故②正確;?<>/3,?、卩q邊KODBE=CC12???四邊形ODBE?的面積始終不變，故③正確：VAODB^AOECADB=EC?I△3DE的周長二DB+BE+DE二EC+BE+DE二BC+DE二a+DEADE最小時(shí)的周長最小VDE=730E???0E最小時(shí),DE最小而0E的最小值為0E=—6

???DE???DE的最小值為屁耳a1-ci2:.bBDE的周長的最小值為a+扌a=1.5a,故④正確：綜上：4個(gè)結(jié)論都正確，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形的面枳公式和垂線段最短的應(yīng)用，掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形的面積公式和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵.18.已知在RtABC中，ZC=90°,AC=&BC=15,那么下列等式正確的是()8888A.S111A=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=—17151715【答案】D【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行作答.【詳解】TOC\o"1-5"\h\zEC]5AC8由勾股定理知，AB=17：A.srnA=—=后■，所以A錯(cuò)誤；B.COSA=—=—,所以，B[氣4O錯(cuò)誤；C.tailA=————,所以，C錯(cuò)誤；D.cotA=——=—,所以選D.AC8BC15【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是本題解題關(guān)鍵.A.2B.419?如圖1,在MBC中，ZB=90%ZC=30°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BA.AC向點(diǎn)C以恒定的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以恒定的速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C,設(shè)4BPQ的面積為y(cm2)?運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),y與x之間關(guān)系如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)A.2B.4C.2^3【答案】C【解析】【分析】點(diǎn)P、Q的速度比為3：、/?,根據(jù)x=2,y=6jj,確定P、Q運(yùn)動(dòng)的速度，即可求解.【詳解】解：設(shè)AB=a,ZC=30°,則AC=2a,BC=*a,設(shè)P、Q同時(shí)到達(dá)的時(shí)間為幾則點(diǎn)P的速度為點(diǎn)Q的速度為迴，故點(diǎn)P、Q的速度比為3：TT故設(shè)點(diǎn)P、Q的速度分別為：3叭衛(wèi)v,由圖2知，當(dāng)x=2時(shí)，y=6羽,此時(shí)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)人的位置，即＞4B=2x3v=6v,BQ=2xv=2y/3v,y=—xABxBQ=^x6vx2v=6,解得：v=l,22故點(diǎn)P、Q的速度分別為：3,,AB=6v=6=a,則AC=12,BC=6羽,如圖當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí),PC=6,此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為AB+AP=12,需要的時(shí)間為12一3=4,貝l」BQ=