《二次曲面的理論及分類研究（論文）5400字》

PAGEPAGEI二次曲面的理論及分類研究目錄TOC\o"1-3"\h\u15679摘要 I1166ABSTRACT II17132目錄 III233971前言 -1-97091.1二次曲面的發(fā)展及研究現(xiàn)狀 -1-77861.2微分幾何學(xué) -1-125211.3研究目的及意義 -2-145851.4論文結(jié)構(gòu) -2-20012二次曲面一般理論 -3-136042.1二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形式 -3-130002.2不變量與半不變量 -4-285292.3二次曲面的判別 -5-13883二次曲面的分類 -6-229203.1線性方程組方式 -6-279613.2矩陣方式 -8-19339結(jié)論 -11-12-1前言1.1二次曲面的發(fā)展及研究現(xiàn)狀（1）發(fā)展：解析幾何被分為平面解析幾何和空間解析幾何?？臻g解析幾何是在平面解析幾何的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。它主要研究圓柱面，錐面和旋轉(zhuǎn)面。在十八世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家孟日首先將微積分應(yīng)用于曲線和曲面的研究，并出版了他的書“幾何分析的應(yīng)用”。這是最早的微分幾何。這本書。1973年，高斯出版了“表面的一般研究”一書。這在微分幾何的歷史中具有重要意義。它的理論奠定了現(xiàn)代形式表面理論的基礎(chǔ)。當(dāng)克萊恩在德國埃爾蘭根大學(xué)就職演講時，他描述了埃朗根計劃并將現(xiàn)有的幾何體與轉(zhuǎn)化組分類開來。研究狀況：鑒于二次曲面不變量的重要性，許多學(xué)者進(jìn)行了與二次曲面不變量密切相關(guān)的研究。例如：呂林根，徐子道]研究了二次曲面的一般理論，并提出了直角坐標(biāo)下的二次曲面。變換下不變量的概念給出了應(yīng)用不變二次曲面方程的方法。孟道對解析幾何與高等代數(shù)之間的深層內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。高振輝等對于二次曲線不變量深入討論，找到了計算二次曲線不變量的方法。詳細(xì)討論了二次曲線方程與參數(shù)的問題，使用二次曲線的恒定量化來簡化相關(guān)問題。邵嘉余，吳群分別給出了矩陣的廣義逆和二次多項式的元素的簡化特征多項式所表示的坐標(biāo)變換不變量，所涉及的矩陣的廣義逆可以用原始矩陣。多項式并直接找到。使用這兩個新的不變量，作者給出了二次曲面所有標(biāo)準(zhǔn)方程系數(shù)的統(tǒng)一公式。WangSanitary，TaoChenghai通過二次曲線通過表面方程系數(shù)形成的不變量（二次曲線no）的幾何性質(zhì)的研究產(chǎn)生了橢球面大小與其不變量之間的關(guān)系，并給出不變量的幾何意義。戴軍，張衛(wèi)榮，甘泉在無限維Hilbert空間中給出了二次曲面的概念。利用廣義逆，給出了Hilbert空間中二次曲面的一個不變量，推廣了二維曲面在有限維空間的對應(yīng)性。不變。張海芳研究了四維歐幾里得空間中二次曲面的不變量，討論了四維曲面在四維空間的不變量。謝高文對二次曲面方程的形式進(jìn)行了變形。根據(jù)直線與二次曲面交點參數(shù)的幾何意義以及仿射變換的性質(zhì)，得到了二次曲面方程分類與簡化的新方法，從而解決了使用平移，旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)系統(tǒng)的不變性。分類二次曲面方程，簡化計算或不準(zhǔn)確地確定圖形的確切位置的問題。1.2微分幾何學(xué)微分幾何使用平滑的曲線和曲面作為研究對象，因此整個微分幾何是圍繞曲線的弧長，曲線上的點的切線等的概念展開。有兩個重要的概念分別是距離和角度。在微分幾何中，由于使用數(shù)學(xué)分析理論，它可以在無限小的范圍內(nèi)被省略。高階無窮大，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可能會變成線性的，并且非統(tǒng)一的過程也會變成現(xiàn)實統(tǒng)一的，這些是微分幾何的獨特研究方法。在現(xiàn)代，由于研究了高維空間的微分幾何和曲線和曲面的整體性質(zhì)的研究，幾何與黎曼幾何，拓?fù)鋵W(xué)，變分微積分，李代數(shù)等有著密切的關(guān)系。學(xué)科和微分幾何的相互滲透已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心問題之一。微分幾何的生成和發(fā)展與數(shù)學(xué)分析密切相關(guān)。首先在這方面提出的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1973年，他首先介紹了平面曲線的固有坐標(biāo)。這個想法是使用曲線弧的幾何長度作為曲線上點的坐標(biāo)，從而開始內(nèi)在曲線的數(shù)量。1.3研究目的及意義二次曲面是幾何學(xué)的一個基本研究對象,通過空間直角坐標(biāo)表示來確定要表示的與要研究的二次曲面的幾何性質(zhì),發(fā)現(xiàn)二次曲面之間的坐標(biāo)變換會保持圖形的某些性質(zhì)不變,不變量代表這些保持不變的幾何性質(zhì).利用不變量可以對二次曲面進(jìn)行化簡,進(jìn)而對二次曲面進(jìn)行分類.另外,在幾何背景下,二次曲面的不變量蘊含著二次曲線的幾何性質(zhì).分析二次曲面的不變量,能夠反映出空間曲線的幾何性質(zhì).研究二次曲面不變量的幾何意義,有助于認(rèn)識二次曲面不變量的幾何特性.1.4論文結(jié)構(gòu)本文將從三維歐氏空間中的二次曲面出發(fā)，對二次曲面的分類進(jìn)行深入探究.第一章介紹本文的研究背景及意義.第二章介紹二次曲面的一般理論，包括不變量、半不變量定義.第三章對三維歐氏空間中二次曲面的分類依據(jù)給出總結(jié)并證明，最后一章對本文的工作進(jìn)行總結(jié)與展望.

2二次曲面一般理論一般二次曲面的有這樣一些相關(guān)概念：漸近方向、中心、切線、切平面、徑面奇向、主徑面與主方向等。二次曲面:歐幾里德三維空間中的坐標(biāo)x，y，z之間由二次方程（系數(shù)為實數(shù)，二次系數(shù)不全為零）表示的曲面。一般而言，一條直線在兩點處與二次曲面相交;如果它相交三點以上，則線條全部在表面上。此時，這條直線被稱為水面巴士。如果二次曲面被平行平面截斷，則其截斷線是二次曲線。在空間,由三元二次方程（1）所表示的曲面.虛元素:空間中，有序三復(fù)數(shù)組叫做空間復(fù)點的坐標(biāo)，如果三坐標(biāo)全是實數(shù)，那么它對應(yīng)的點是實點，否則叫做虛點.2.1二次曲面標(biāo)準(zhǔn)形式二次曲面的所有可能情況共可以寫成十七個標(biāo)準(zhǔn)形式.(1)橢球面(2)單葉雙曲面(3)雙葉雙曲面(4)二次錐面(5)橢球拋物面(6)雙曲拋物面(7)橢球柱面(8)雙曲柱面(9)拋物柱面(10)一對相交平面(11)一對重合平面(12)一對平行平面(13)一對平行共軛虛平面(14)虛橢球面(15)虛二次錐面(16)虛橢球柱面(17)一對共軛虛平面2.2不變量與半不變量(1)定義:由(1)式的左端的系數(shù)組成的一個非常數(shù)函數(shù)f,如果經(jīng)過直角坐標(biāo)變換（6.6-8），變?yōu)闀r，有，那么這個函數(shù)f就叫做二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量。如果這個函數(shù)f只是經(jīng)過轉(zhuǎn)軸變換不變，那么這個函數(shù)叫做二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的半不變量。定理6.7.1二次曲面在空間直角坐標(biāo)變換下，有四個不變量與兩個半不變量，即推論在直角坐標(biāo)變換下，二次曲面的特征方程不變，從而特征根也不變。定理6.7.2是第V類二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量，而是第III，第Ⅳ與第Ⅴ二次曲面在直角坐標(biāo)變換下的不變量。2.3二次曲面的判別對于二次曲面的一般式：Ax2+By2+Cz2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0，稱為二次曲面的不變量。又設(shè)δ>0Δ=0點...Δ≠0ΔS>0虛橢球面ΔS<0橢球面δ<0Δ>0單葉雙曲面...Δ=0二次錐面...Δ<0雙葉雙曲面δ=0Δ<0橢圓拋物面...Δ>0雙曲拋物面...Δ=0δ0>0Δ0=0線Δ0≠0Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3>0虛橢圓柱面Δ1*S1+Δ2*S2+Δ3*S3<0橢圓柱面δ0<0Δ0=0相交平面Δ0≠0雙曲柱面δ0=0Δ0≠0拋物柱面Δ0=0G2+H2+I2-JS>0平行平面G2+H2+I2-JS=0重合平面G2+H2+I2-JS<0平行虛平面

3二次曲面的分類本章研究了二次曲面的幾何性質(zhì),并通過坐標(biāo)變換和不變量、半不變量兩種形式,化二次曲面的一般方程為規(guī)范方程,對二次曲面進(jìn)行了分類和分類判定,是二次曲面理論的推廣和擴(kuò)充.3.1線性方程組方式定理:如果給出了二次曲面（1），那么用不變量來判別曲面（1）為何種類型的充要條件是：第I類曲面：；第II類曲面：第III類曲面：第IV類曲面：第V類曲面：步驟1.應(yīng)用不變量化簡二次曲面的方程應(yīng)用二次曲面中的不變量與兩個半不變量來化簡最初二次曲面的方程。10.這時曲面（1）是第I類曲面，它的簡化方程為所以二次曲面的特征方程用式來表達(dá)，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知二次曲面的三個特征根分別為為。又因為.所以，因此第I類曲面的簡化方程可以寫成。這里為二次曲面（1）的三個特征根。20.這時曲面（1）是第II類曲面，它的簡化方程為第II類曲面的簡化方程同時還可以寫成這里為二次曲面（1）的兩個不為零的特征根。30這時曲面（1）是第III類曲面，其簡化的方程為第III類曲面簡化方程另一種表達(dá)方式為這里為二次曲面（1）的兩個不為零的特征根。40這時曲面（1）是第IV類曲面，它的簡化方程為第IV類曲面的簡化方程也可以寫成50這時曲面（1）是第V類曲面，它的簡化方程為第IV類曲面的簡化方程另一種表達(dá)方式為定理6.7.5如果給出了二次曲面（1），那么用它的不變量來判斷一直曲面的條件是：[1]橢球面：[2]虛橢球面：[3]點（或虛母線二次錐面）：[4]二次錐面：[5]橢圓拋物面：[6]雙曲拋物面：[7]橢圓柱面：[8]虛橢圓柱面：[9]單葉雙曲面：[10]雙葉雙曲面：[11]交于一條實直線的一對共軛虛平面：[12]雙曲柱面：[13]拋物柱面：[14]一對相交平面：[15]一對平行平面：[16]一對平行的共軛虛平面：[17]一對重合平面：3.2矩陣方式在數(shù)學(xué)中，矩陣是一組復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)，它們排列成矩形陣列，最初來自方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)。這個概念最早是由英國數(shù)學(xué)家凱利在19世紀(jì)提出的。矩陣是上一代數(shù)學(xué)的常用工具，在統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)中也很常見。在物理學(xué)中，矩陣可應(yīng)用于電路科學(xué)，力學(xué)，光學(xué)和量子物理學(xué);在計算機(jī)科學(xué)中，3D動畫也需要使用矩陣。矩陣運算是數(shù)值分析領(lǐng)域的一個重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣組合可以簡化理論和實際應(yīng)用中的矩陣運算。對于一些廣泛使用和特殊形式的矩陣，如稀疏矩陣和準(zhǔn)對角矩陣，有特定的快速算術(shù)算法。在天體物理學(xué)，量子力學(xué)等領(lǐng)域，還會有一個無限矩陣，這是矩陣的一個泛化。數(shù)值分析的主要部分致力于開發(fā)矩陣計算的高效算法。這是一個已經(jīng)使用了幾個世紀(jì)的話題，并且是一個不斷擴(kuò)大的研究領(lǐng)域。矩陣分解方法簡化了理論和實際計算。針對特定矩陣結(jié)構(gòu)（例如稀疏矩陣和近角矩陣）的算法加速了有限元方法和其他計算中的計算。無限矩陣出現(xiàn)在行星理論和原子理論中。無限矩陣的一個簡單例子是表示函數(shù)的泰勒級數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。對于諸如二次曲線a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0（1）和諸如二次曲面b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+2b13xz+2b23yz+c2=0（2）的形狀，由于其特殊性即沒有一個項目，因此從其特殊性出發(fā)，獲得了用于從實對稱矩陣的特征值和方程中的常數(shù)項推導(dǎo)形狀的方法，其體現(xiàn)了特征值的幾何應(yīng)用。將一個二次曲線形狀的推論（如a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0）引入到一個實對稱矩陣中：A=a11a12a12a（）22λ1，λ2是A的特征值，得到下面的定理：定理1：形狀為二次曲線曲線a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0（1）的形狀由λ1，λ2和c1的值唯一確定。證明：引言向量：X=（）xy，Y=x1y（）1（1）等價于XTAX+c1=0，因為A=a11a12a12a（）22是一個實對稱矩陣，必定有一個正交矩陣P：PTAP=λ100λ（）2其中λ1，λ2是A的特征值。矩陣的數(shù)乘滿足以下運算律：矩陣的加減法和矩陣的數(shù)乘合稱矩陣的線性運算。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算律：矩陣的共軛轉(zhuǎn)置定義為：，也可以寫為：3.3兩種分類方式的差異求解線性方程組的過程中才慢慢產(chǎn)生矩陣等等抽象的東西。比如線性方程組Ax=b

把A表示成(a1,a2,...an)等列向量。x表示成(x1,x2,...,xn)的轉(zhuǎn)置那么線性方程組就表示成x1*a1+x2*a2+...xn*an=b可以看到左邊是一個向量組的線性表示。

而求解x則是尋找b在(a1,a2,...an)下的一個線性表示。假設(shè)α代表其中的一個線性表示，β代表另外一個線性表示。（也就是說他們都是方程的解）

那么有Aα=Aβ=b,既a1*α1+a2*α2+...an*αn=a1*β1+a2*β2+...an*βn

變成a1(α1-β1)+a2*(α2-β2)+...an*(αn-βn)=0

也就是說α與β的差是Ax=0的一個解。α與β則構(gòu)成了一個關(guān)于Ax=0的一個等價關(guān)系求解Ax=b的過程就變成了Ax=0的過程和一個特解的過程。

關(guān)于Ax=0

表示成x1*a1+x2*a2+...xn*an=0

這又構(gòu)成了向量空間的線性相關(guān)或者無關(guān)的知識。以及尋找一組基等等。矩陣是數(shù)有序排列，有橫向和縱向，線性方程組是方程組，之后各種關(guān)系才有意義。在實際中應(yīng)用的領(lǐng)域不一樣，本質(zhì)基本是一回事，可以看作是不同處理思路或者角度。但是兩者之間具體形態(tài)是不同的。不同形態(tài)或者思路下的性質(zhì)，不同形態(tài)不同性質(zhì)命題的等價關(guān)系。特征、二次型部分內(nèi)容有新的，也有可用于前面的，所以可以把這些內(nèi)容看做更廣泛的適用的內(nèi)容?？吹絺€矩陣時不光要考慮到對應(yīng)向量組和方程組的性質(zhì)，也要盡量分析特征方程，特征值?；谝陨戏治霾浑y發(fā)現(xiàn)，線性方程組是矩陣方法的基礎(chǔ)，矩陣方法是對線性方程求解的一種改進(jìn)方法，可以更快速的解出正確答案并驗證其正確性。

結(jié)論解析幾何本身與高等代數(shù)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系,對二次曲面的不變量進(jìn)行系統(tǒng)的研究,分析二次曲面的方程系數(shù)構(gòu)成的不變量,了解二次曲面不變量的代數(shù)性質(zhì),給出不變量相應(yīng)的幾何意義,能夠?qū)ξ覀冋J(rèn)識二次曲面不變量的幾何特性有所幫助,以此加深對高等代數(shù)和的解析幾何理解.因此,作者認(rèn)為,通過系統(tǒng)深入地研究二次曲面的不變量,能幫助我們更深刻地認(rèn)識二次曲面的基本理論乃至空間幾何學(xué),也能初步掌握一些幾何學(xué)的研究手段和方法,初步培養(yǎng)從代數(shù)學(xué)的視角看待幾何對象的觀點.,加深對高等代數(shù)和的解析幾何理解.空間中二次曲面的分類是基于正交變換和平移變換的。正是由于這些結(jié)論，我們才將空間中的二次曲面分類。只有到那時，我們才能徹底了解空間中的二次曲面。這也是因為空間中的二次曲面被分類，當(dāng)我們研究二次曲面的特性時，我們正在瞄準(zhǔn)某一類曲面而不是單一表面，這減少了我們在表面研究中的復(fù)雜性和可重復(fù)性。另一方面，這對于研究曲面的常見問題也非常重要。

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