D96多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用解讀課件

二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第九章二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方程:的向量方程

對(duì)上的動(dòng)點(diǎn)M,即是此方程確定映射,稱(chēng)此映射為一元向量值函數(shù).

的終點(diǎn)M

的軌跡,此軌跡稱(chēng)為向量值函數(shù)的終端曲線.

要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.的向量形式一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方定義:給定數(shù)集D

R,稱(chēng)映射為一元向量值函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)向量值函數(shù)),記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進(jìn)行討論.極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：嚴(yán)格定義見(jiàn)P93因此下面僅以n=3的情形為代表定義:給定數(shù)集DR,稱(chēng)映射為一元向量值函數(shù)(簡(jiǎn)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),是可導(dǎo)函數(shù),則C

是常向量,c

是任一常數(shù),向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長(zhǎng)方向一致.,則設(shè)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量,則有

例1.

設(shè)速度向量：加速度向量：解：向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量例2.設(shè)空間曲線的向量方程為

求曲線上對(duì)應(yīng)于解:的點(diǎn)處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與t

的增長(zhǎng)方向一致另一與t

的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為=6例2.設(shè)空間曲線的向量方程為求曲線上對(duì)應(yīng)于解:的例3.一人懸掛在滑翔機(jī)上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速率;(3)滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻.解:(1)(3)由即即僅在開(kāi)始時(shí)刻滑翔機(jī)的加速度與速度正交.例3.一人懸掛在滑翔機(jī)上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上二、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M

與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線在該點(diǎn)的法平面.置.空間光滑曲線在點(diǎn)M

處的切線為此點(diǎn)處割線的極限位給定光滑曲線在點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程利用點(diǎn)M(x,y,z)處的切向量及法平面的法向量均為點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程二、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點(diǎn)M處的則在點(diǎn)M的導(dǎo)向量為法平面方程給定光滑曲線為0,切線方程1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點(diǎn)M處的例4.求曲線在點(diǎn)M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(diǎn)(1,1,1)對(duì)應(yīng)于故點(diǎn)M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點(diǎn)?答:切向量例4.求曲線在點(diǎn)M(1,1,1)處的切線方程與2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點(diǎn),且有

可表示為處的切向量為2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點(diǎn),且有可表則在點(diǎn)切線方程法平面方程有或則在點(diǎn)切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程(自己驗(yàn)證)也可表為法平面方程(自己驗(yàn)證)例5.求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量例5.求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程法平面方程即解法2

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得法平面方程即解法2方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線方程為不全為0.則

在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱(chēng)為在該點(diǎn)的切平面.

上過(guò)點(diǎn)

M

的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上.三、曲面的切平面與法線設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)證:在

上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線曲面

在點(diǎn)M的法向量:

法線方程

切平面方程

過(guò)M點(diǎn)且垂直于切平面的直線稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的法線.曲面在點(diǎn)M的法向量:法線方程切平曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程法向量曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面的法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上的,即使得它與z軸的正向所成的角γ為銳角,復(fù)習(xí)法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量例6.求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見(jiàn)法線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即球心)例6.求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線例7.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有例7.確定正數(shù)使曲面在點(diǎn)解:二曲面在M點(diǎn)的法向量1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.空間光滑曲面曲面

在點(diǎn)法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線空間光滑曲面曲面在點(diǎn)法線方程1)隱式情況.的法向量空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦29ThanksP103

題3;4;8;.作業(yè)29ThanksP103題3;4;8;.作業(yè)思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:

設(shè)切點(diǎn)為則(二法向量平行)(切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)思考與練習(xí)1.如果平面與橢球面相切,提示:設(shè)切點(diǎn)為則(證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:

在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此

作業(yè)

P992，4，6，7，10，11，122.設(shè)

f(u)可微,第七節(jié)證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足上述方程.點(diǎn)的切平面為證明曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示:在曲面上任備用題

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題

1.證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點(diǎn)的法2.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)

的切線解:點(diǎn)(1,1,1)處兩曲面的法向量為因此切線的方向向量為由此得切線:法平面:即與法平面.2.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)的切線解:點(diǎn)(1,1,1二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

第九章二、空間曲線的切線與法平面第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方程:的向量方程

對(duì)上的動(dòng)點(diǎn)M,即是此方程確定映射,稱(chēng)此映射為一元向量值函數(shù).

的終點(diǎn)M

的軌跡,此軌跡稱(chēng)為向量值函數(shù)的終端曲線.

要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進(jìn)向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的概念.的向量形式一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)引例:已知空間曲線的參數(shù)方定義:給定數(shù)集D

R,稱(chēng)映射為一元向量值函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)向量值函數(shù)),記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進(jìn)行討論.極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：嚴(yán)格定義見(jiàn)P93因此下面僅以n=3的情形為代表定義:給定數(shù)集DR,稱(chēng)映射為一元向量值函數(shù)(簡(jiǎn)向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),是可導(dǎo)函數(shù),則C

是常向量,c

是任一常數(shù),向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(P94)設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長(zhǎng)方向一致.,則設(shè)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為,向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量,則有

例1.

設(shè)速度向量：加速度向量：解：向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)的位置向量例2.設(shè)空間曲線的向量方程為

求曲線上對(duì)應(yīng)于解:的點(diǎn)處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與t

的增長(zhǎng)方向一致另一與t

的增長(zhǎng)方向相反的單位切向量為=6例2.設(shè)空間曲線的向量方程為求曲線上對(duì)應(yīng)于解:的例3.一人懸掛在滑翔機(jī)上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻

t

的速率;(3)滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻.解:(1)(3)由即即僅在開(kāi)始時(shí)刻滑翔機(jī)的加速度與速度正交.例3.一人懸掛在滑翔機(jī)上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上二、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M

與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線在該點(diǎn)的法平面.置.空間光滑曲線在點(diǎn)M

處的切線為此點(diǎn)處割線的極限位給定光滑曲線在點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程利用點(diǎn)M(x,y,z)處的切向量及法平面的法向量均為點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程二、空間曲線的切線與法平面過(guò)點(diǎn)M與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點(diǎn)M處的則在點(diǎn)M的導(dǎo)向量為法平面方程給定光滑曲線為0,切線方程1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線在點(diǎn)M處的例4.求曲線在點(diǎn)M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(diǎn)(1,1,1)對(duì)應(yīng)于故點(diǎn)M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點(diǎn)?答:切向量例4.求曲線在點(diǎn)M(1,1,1)處的切線方程與2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點(diǎn),且有

可表示為處的切向量為2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點(diǎn),且有可表則在點(diǎn)切線方程法平面方程有或則在點(diǎn)切線方程法平面方程有或也可表為法平面方程(自己驗(yàn)證)也可表為法平面方程(自己驗(yàn)證)例5.求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量例5.求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程法平面方程即解法2

方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處有:切向量解得法平面方程即解法2方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo),得曲線在點(diǎn)切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向量切線方程即法平面方程即點(diǎn)M(1,–2,1)處的切向三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線方程為不全為0.則

在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱(chēng)為在該點(diǎn)的切平面.

上過(guò)點(diǎn)

M

的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上.三、曲面的切平面與法線設(shè)有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)證:在

上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線曲面

在點(diǎn)M的法向量:

法線方程

切平面方程

過(guò)M點(diǎn)且垂直于切平面的直線稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的法線.曲面在點(diǎn)M的法向量:法線方程切平曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程法向量曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面的法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上的,即使得它與z軸的正向所成的角γ為銳角,復(fù)習(xí)法向量將法向量的方向余弦：用α,β,γ表示法向量例6.求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見(jiàn)法線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即球心)例6.求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線例7.確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有例7.確定正數(shù)使曲面在點(diǎn)解:二曲面在M點(diǎn)的法向量1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)1.空間曲線的切線與法平面切線方程法平面方程1)參數(shù)式切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)