初三奧數(shù)知識點小結(jié)

初三奧數(shù)總結(jié)第一章一元二次方程概述——形如ax2+bx+c二0（a豐0）的方程稱為一元二次方程，使等式成立的實數(shù)稱為此方程的實數(shù)根。1、含字母系數(shù)的一元二次方程：解決含字母系數(shù)的一元二次方程的問題，經(jīng)常需要對該方程的根進行分析、處理。常用方法有：（1）利用解的定義，整體代入法，從而達到將高次方程降次的目的或其他；（2）從兩個方程的公共實根出發(fā)，先確定該公共實根的值，再求各系數(shù)；（3）解決整數(shù)根常用方法有：①利用韋達定理，再拆分，然后驗根；②含字母系數(shù)的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再雙重檢驗（驗△，驗整數(shù)根條件）③利用△縮小字母系數(shù)的范圍，再驗根進行取舍。（4）利用不等式的性質(zhì)（如x+y>2歷）；（5）求出方程解，再消去未知系數(shù)，求不定方程的解，再帶回求參數(shù)的方法；（6）利用韋達定理，再消參數(shù)法；（7）參數(shù)交換法（即把字母系數(shù)與未知數(shù)的地位互換時，所得方程與原方程完全一樣，從而將一個較弱的條件得以加強，從而使問題的本質(zhì)浮出水面）等。2、根的判別式與韋達定理：概述——一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）有實數(shù)解的條件是A=b2-4ac>0，設(shè)x,x為此方程的兩個根，則根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：12bx+x=——12acxx=12a3、可化為一元二次方程的方程（組）概述——我們總是將方程的求解問題利用代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為一次方程或一元二次方程來處理，這是化規(guī)思想在方程理論中的基本運用。實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的方法是多種多樣的，換元法是其中最常用的方法。具體到各個問題時，應根據(jù)方程的特點靈活處理。常見題型的常用處理辦法：（1）一般代數(shù)三次方程盡管有求根公式，但中學階段不會出現(xiàn)需用到求根公式才能處理的三次方程，給出的三次方程，往往容易看出其中的一個根，再由因式定理轉(zhuǎn)化為求解一個一元二次方程。（2）利用換元法達到降次的目的；（3）拆、添項因式分解求解；（4）處理系數(shù)對稱的高次方程，常用下題的解法（如解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0。變形得到：2（x2+丄）+3（x+-）-16=0,進而得到：x2x"1]12（x+—）2-2+3（x+—）-16=0，然后再換元求解即可）（5）參數(shù)交換法；（6）利用一_x」x元二次方程根的判別式，構(gòu)造一元二次方程解題（如：已知x、y為有理數(shù)，且X5+y5二2x2y2。證明1—xy時一個有理數(shù)的平方。證明：若x、y中有一個為0則1—xy=l時一個有理數(shù)的平方。若xyMO,兩邊除以x2y2，得：x(-)2+y(—)2=2。令t=(-)2,yxy由x、y為有理數(shù)，可知關(guān)于t的一元二次方程：xt2-2t+y二0有有理根。而上述方程的系數(shù)均為有理數(shù)，故△=4—4xy=4(1—xy)是一個有理數(shù)的平方。所以，1一xy是一個有理數(shù)的平方。)4、整系數(shù)一元二次方程：一般地，若整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則該方程的根的判別式是一個完全平方數(shù)。這一性質(zhì)在處理一元二次方程的整數(shù)根問題時經(jīng)常被用到。常用方法有：(1)利用韋達定理拆分，再利用數(shù)論方法與技巧；(2)利用整數(shù)理論來處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根(如a，b模m同余等)問題是不易考慮到的想法，解題中往往能出奇制勝；(3)利用判別式處理(即如利用△=(2k+1)2-40二m2【為完全平方數(shù)】，再利用平方差展開和整系數(shù)進而求解。)(4)利用函數(shù)圖像方法。5、勾股數(shù)與完全平方數(shù)：稱滿足不定方程x2+y2二z2的正整數(shù)數(shù)組(x,y,z)為勾股數(shù)組(國際上，一般稱為畢達哥拉斯數(shù)組)。勾股數(shù)組有許多有趣的性質(zhì)，例如，若(x，y，z)為勾股數(shù)組，則x、y、z中有一個數(shù)為3的倍數(shù)；有一個數(shù)為4的倍數(shù)；也有一個數(shù)為5的倍數(shù)。完全平方數(shù)是一類重要的自然數(shù)，競賽中許多問題要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)。說明：(1)如果兩個互質(zhì)的自然數(shù)之積是一個完全平方數(shù)，則這兩個自然數(shù)都是完全平方數(shù)。如果正整數(shù)x可表示為兩個正整數(shù)的平方和，則2x也可表示為兩個正整數(shù)的平方和。(如x=u2+v2，2x二2u2+2v2二(u+v)2+(u一v)2。于是2x可表示為兩個整數(shù)u+v和u—v的平方和。相鄰兩個完全平方數(shù)之間的自然數(shù)都不是完全平方數(shù)。在勾股三角形中，周長為面積的整數(shù)倍的三角形，可以用勾股數(shù)組來試探，這一過程是發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)性質(zhì)的一般嘗試方法。第二章函數(shù)1、函數(shù)及其圖像：某個變化過程中有兩個變量，如果對于x在某個范圍D內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則f，y都有唯一確定的值與它對應，那么y就叫做x的函數(shù)，記作y=f(x),xeD(為方便，這里沿用集合的記號，xeD,讀作x屬于D,表示x在范圍D內(nèi)變換，或x是集合D的元素)。X的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和x的值相應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。

要求會用函數(shù)解方程組問題，判斷圖像題，求方程的解的題。2、一元二次不等式的解與一元二次方程實數(shù)根的分布：我們把形如ax2+bx+c〉0,ax2+bx+c〈0(aMO)的不等式叫做一元二次不等式。要會二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式。對于ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為x、x(x<x，記f(x)=ax2+bx+c，則1212不等式ax2+bx+c〉0(或ax2+bx+c〈0)的解就是y=f(x)的圖像在x軸上方(或x軸下方)所對應的x的全體；若a>0,^>0,則ax2+bx+c〉0的解集為x〈x或x〉x12ax2+bx+c〈0的解集為x〈x〈x。12b若a>0,^=0,則ax2+bx+c〉0的解集為x豐一的全體實數(shù)；2aax2+bx+c〈0的解集為空集；若a>0,^<0,則ax2+bx+c〉0的解集為全體實數(shù)；ax2+bx+c〈0的解集為空集；此類題要求會用二次函數(shù)圖像的方法解題。3、函數(shù)的最大值與最小值：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處的函數(shù)值是f(x)，如果不等式f(x)<f(x)對于定義域內(nèi)任意000x都成立，那么f(x°)叫做函數(shù)y=f(x)的最大值。類似地，如果不等式f(x)>f(x°)對于定義域內(nèi)任意x都成立，那么f(x)叫做函數(shù)的最小值。0如果f(x)=c是一個常數(shù)函數(shù)，那么c既是f(x)的最大值，又是f(x)的最小值。如果自變量x的取值范圍為p<x<q，那么一次函數(shù)f(x)=kx+m既有最大值又有最小值。當k>0時，f(x)隨著x的增大而增加，故f(q)是它的最大值，f(p)是它的最小值；當k<0時，f(x)隨著x的增大而減小，故f(p)是它的最大值，f(q)是它的最小值；對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c而言，經(jīng)過配方，得：f(f(x)=a(x+4ac-b24ab4ac-b2當a>0時，當x=-時，f(x)取最小值，而f(x)無最大值;2a4ab4ac一b2當aVO時，當x=-時，f(x)取最大值，而f(x)無最小值；TOC\o"1-5"\h\z2a4a對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,如果自變量得取值范圍限制在p<x<q,那么函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aMO)既有最大值，又有最小值。b當a>0時，在滿足p<x<q的x中,設(shè)使x+亍最小的x為x，則f(x)即為最小2aoo值；b設(shè)使x+丁最大的x為x,則f(x)為最大值。2a11從圖像上看，f(x)=ax2+bx+c(p<x<q)的圖像是一段拋物線弧，f(x)的最大值bb或最小值只能在拋物線弧的頂點(若拋物線弧頂點橫坐標-亍滿足P<-<q)或兩端2a2a點取到。初中數(shù)學中的函數(shù)最大值與最小值問題，基本上都能轉(zhuǎn)化為求前面敘述的這些函數(shù)的最大值與最小值。對于絕對值函數(shù)可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)。推廣到一般情況，即對n個實數(shù)a<a<L<a，求f(x)=|x—a|+|x—a|+L|x—a|的最小值。12n12n由于a,a,L,a中有些允許相等，因此，我們應該會求函數(shù)12nf(x)=kf(x)=kx—a+kx—a+Lkx—aii22nn的最小值，這里ki,k2，L，kn都是自然數(shù)。第三章解三角形1、三角函數(shù)：三角函數(shù)是建立在相似三角形的基礎(chǔ)上的。如圖，在AABC中，ZC=90°，則abab正弦函數(shù)sinA=一；余弦函數(shù)cosA=一；正切函數(shù)tanA；余切函數(shù)cotA=-ccba利用銳角三角函數(shù)定義以及比例的性質(zhì)、勾股定理、不等關(guān)系可以得到以下結(jié)論：rSinar同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式：tana-cota=1；tana=；sin2a+cos2a=1；coSal〈sina+cosa<€2(在斜邊給定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大)互余角三角函數(shù)的關(guān)系式：sin(90°—A)=cosA；cos(90°—A)=sinA；tan(90°—A)=cotA；cot(90°—A)=tanA。若0°〈a〈B〈90°，則0〈sina〈sinB〈1，1〉cosa〉cos卩〉0,0(tana〈tanP。對于鈍角A,通過進一步學習可以得到：sinA=sin(180°—A)；cosA=—cos(180°—A)；tanA=—tan(180°—A)；cotA=—cot(180°—A)。還可以證明同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式對于鈍角依然成立。特別地，當A=0。時，sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，cot0°不存在。當A=90。時，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在，cot90°=0。當A=180°時，sin180°=0，cos180°=—1，tan180°=0，cot180°不存在。要求會求15°角的倍角的三角函數(shù)值和18°角的三角函數(shù)值(構(gòu)造黃金三角形)。角度15°30°45°60°75°sinaV6-忑12邁羽76+近4224cosa>/6+忑近1276-近4224tana2-7312+羽cota2+羽132-亦當遇到三角函數(shù)與一元二次方程的綜合時，基本解法是用韋達定理和sin2a+cos2a=1列方程求解。要注意最后檢驗方程有無實數(shù)根。2、三角形中的邊角關(guān)系：對于直角三角形(如圖，AABC中，ZC=90°)邊角關(guān)系主要有:角角關(guān)系：兩銳角互余(A+B=90°);邊邊關(guān)系：勾股定理(a2+b2=c2)o邊角關(guān)系：a=c-sinA=c-cosB=b-tanA=b-cotB；b=c-sinB=c-cosA=a-tanB=a-cotA.

射影定理：ZC=90°,ZA=ZBCD,ZB=ZACD,BC2二BD-AB,AC2二AD?AB,CD2二AD-BD.對于斜三角形，通過轉(zhuǎn)化成直角三角形可以得到一般三角形邊角關(guān)系的幾個重要公式。如圖，AABC中，CD是AB邊的高。A為銳角，則CD=b-sinA；A為直角，則CD=b=b-sin90°=b-sinA；A為鈍角，則CD=b-sin(180°—A)=b-sinA；所以高CD=b-sinA，S=—CD-AB=1bcsinAaabc22同理可得：S=—casinB=—absinCaABC22這是一般三角形用兩邊及夾角求面積的公式。1111從這二個公式可得===，同時乘abc,得:2SbcsinAcasinBabsinCaabcaaabcaabsinAsinB猛=2R（R為山眈外接圓的半徑）。此等式稱為正弦定理。同樣，在上述厶ABC中，a2=CD2+BD2.

⑴A為銳角，BD=|AB-AD\=|c-bcosA|。A為直角，BD=c=(c-bcos90°)=|c-bcosA|；A為鈍角，BD=AB+AD=c+bcos(180°—A)=c-bcosA=|c-bcosA|o所以BD=|c-bcosA|.a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。這三個等式稱為余弦定理。3、面積問題：三角形面積關(guān)系有S=1ahAABC23、面積問題：三角形面積關(guān)系有S=1ahAABC2a=1absinC2由正弦定理abcAsinAbsinBcsinC=2R知b=asinB

sinAasinBa2sinBsinC所以SAABC=一asin所以SAABCsinB2sinAS=Jp（p—a）（p—b）（p—c）（其中p="*f*c）此公式稱為海倫公式。AABC"2在選面積公式時，要適當。如在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,D、E是厶ABC邊上的點，且直線DE平分厶ABC的面積，求線段DE的最短長度。（DE=2,AD=AE=辺0）等周三角形中，以正三角形的面積最大，此為三角形的“等周定理”。4、與三角形有關(guān)的整數(shù)問題：定理：滿足方程x2+y2=z2的一切基本勾股數(shù)組x,y，z（y為偶數(shù)），都可表示成:x=p2—q2,y=2pq,z=p2+q2,其中p,q是滿足pq〉0,p,q一奇一偶且（p,q）=1的任意整數(shù)。整數(shù)x,y,z是某個斜三角形的三邊長，且這個三角形的面積也是整數(shù)，那么數(shù)組x,y,z稱為三斜數(shù)組，也稱為海倫數(shù)組。如（邊長13,14,15的三角形的面積為84）。第四章圓1、圓的有關(guān)性質(zhì)：利用相似三角形，四點共圓等證明或求解。2、四點共圓問題：四點共圓是平面幾何證題中一個十分有力的工具。四點共圓這類問題一般有兩種形式一是要證明某四點共圓(或以四點共圓為基礎(chǔ)證明若干點共圓)；二是通過某四點共圓來得到一些重要的結(jié)果，進而解決問題，下面是與四點共圓有關(guān)的一些基本知識。若干個點與某定點的距離相等，則這些點在同一圓周上。在若干個點中有兩點，其他點對這兩點所成線段的視角均為直角，則這些點共圓。若四點連成的四邊形對角互補或有一個外角等于它的內(nèi)對角，則這四點共圓。若點C、D在線段AB的同側(cè)，且ZACB=ZADB,則A、B、C、D四點共圓。若兩線段AB、CD相交于點E,且AE*EB=CE*ED，貝A、B、C、D四點共圓。若相交直線PA、PB上各有一點C、D,且PA*PC=PB*PD,則A、B、C、D四點共圓。蝴蝶定理：設(shè)O為圓的弦MN的中點，過O作弦AB、CD,連AD、BC分別交MN于F、E,如圖，貝9：EO=FO。DB3、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系依據(jù)直線與圓的公共點個數(shù),分為三類：直線與圓相交。直線與圓有兩個公共點,此時直線稱為圓的割線,圓心到直線的距離小于圓的半徑,反之亦然。直線與圓相切。直線與圓只有一個公共點,此時直線稱為圓的切線,圓心到直線的距離等于圓的半徑,反之亦然。直線與圓相離。直線與圓沒有公共點。圓心到直線的距離大于圓半徑,反之亦然。兩圓的位置關(guān)系可以依據(jù)兩圓的半徑及圓心距來分類,也可以依據(jù)公切線的條數(shù)來分類。設(shè)兩圓的半徑分別為R,r,圓心距為do兩圓外離od〉R+r；兩圓外切od二R+r；兩圓相交oR-r〈d〈R+r。(R>r)兩圓內(nèi)切od二R-ro(R〉r)兩圓內(nèi)含od〈R-ro(R〉r)4、三角形中重要的點和線：

（1）重心：三角形的三條中線的交點，叫做三角形的重心；三角形的重心到一邊中點的距離等于這邊上的中線長的三分之一。（2）外心：三角形三邊的中垂線的交點，叫做三角形的外心，也就是三角形的外接圓圓心；銳角三角形的外心，在三角形內(nèi)；直角三角形的外心，是斜邊的中點；鈍角三角形的外心，在三角形外。（3）垂心：三角形的三條高線的交點，叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心，就是直角頂點；鈍角三角形的垂心，在三角形外。（4）內(nèi)心：三角形的三條（內(nèi)）角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心，也就是三角形的內(nèi)切圓的圓心。如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,則有：AE=AF=p－a,BD=BF=p－b，CD=CE=p－c。其中P=2（a+b+c）是半圓長。另我們常常用垂心來證明兩條直線互相垂直。在證明多點（大于4個點）共圓時，我們常常先作其中三個點的一個外接圓，然后證明其余的點在這個圓上。西姆松定理：自三角形的外接圓上的一點，引各邊的垂線，則三個垂足共線。如圖：直線EF稱為西姆松線。只要證明ZBDE=ZCDF。歐拉線：三角形的外心O,重心G,垂心H三點共線。歐拉定理：已知△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心為O,內(nèi)心為I,貝9：OI=\；'R2-2Rr.第五章專題選講1、四種命題及其關(guān)系：用來判斷某一件事情的語句稱為命題。命題可分為真命題和假命題。正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題。一般來說,一個命題包含“前提”和“結(jié)論”兩部分。若把原命題的前提與結(jié)論互換就構(gòu)成它的逆命題；若把原命題的前提與結(jié)論分別換成它們的否定,就構(gòu)成它的否命題；逆命題的否命題，或者是否命題的逆命題。就是逆否命題，原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題及其關(guān)系如圖所示：原命題原命題1L互否ir否命題原命題和它的逆否命題都是真命題；逆命題同否命題都是假命題?；槟娣竦膬蓚€命題必同真或同假。利用這亦規(guī)律我們可以用來解題。例如，有時證明某一命題是真或假都不太容易，我們可以只證明它的逆否命題是真或假即可。又如，反證法，其思想其實也是利用了原命題與它的逆否命題等價規(guī)律。2、待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法。在求解某些數(shù)學命題時，能根據(jù)已知條件，確定所求解的基本表達式，從而設(shè)出若干各參數(shù)，并根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求解方程或方程組問題。這種思想方法一般稱為待定系數(shù)法。在中學階段中，待定系數(shù)法主要應用在：分解因式、求函數(shù)的