初三奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

初三奧數(shù)總結(jié)第一章一元二次方程概述——形如ax2+bx+c二0（a豐0）的方程稱為一元二次方程，使等式成立的實(shí)數(shù)稱為此方程的實(shí)數(shù)根。1、含字母系數(shù)的一元二次方程：解決含字母系數(shù)的一元二次方程的問(wèn)題，經(jīng)常需要對(duì)該方程的根進(jìn)行分析、處理。常用方法有：（1）利用解的定義，整體代入法，從而達(dá)到將高次方程降次的目的或其他；（2）從兩個(gè)方程的公共實(shí)根出發(fā)，先確定該公共實(shí)根的值，再求各系數(shù)；（3）解決整數(shù)根常用方法有：①利用韋達(dá)定理，再拆分，然后驗(yàn)根；②含字母系數(shù)的一元二次方程，?？衫靡蚴椒纸夥ㄇ蟾匐p重檢驗(yàn)（驗(yàn)△，驗(yàn)整數(shù)根條件）③利用△縮小字母系數(shù)的范圍，再驗(yàn)根進(jìn)行取舍。（4）利用不等式的性質(zhì)（如x+y>2歷）；（5）求出方程解，再消去未知系數(shù)，求不定方程的解，再帶回求參數(shù)的方法；（6）利用韋達(dá)定理，再消參數(shù)法；（7）參數(shù)交換法（即把字母系數(shù)與未知數(shù)的地位互換時(shí)，所得方程與原方程完全一樣，從而將一個(gè)較弱的條件得以加強(qiáng)，從而使問(wèn)題的本質(zhì)浮出水面）等。2、根的判別式與韋達(dá)定理：概述——一元二次方程ax2+bx+c二0（a豐0）有實(shí)數(shù)解的條件是A=b2-4ac>0，設(shè)x,x為此方程的兩個(gè)根，則根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：12bx+x=——12acxx=12a3、可化為一元二次方程的方程（組）概述——我們總是將方程的求解問(wèn)題利用代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為一次方程或一元二次方程來(lái)處理，這是化規(guī)思想在方程理論中的基本運(yùn)用。實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的方法是多種多樣的，換元法是其中最常用的方法。具體到各個(gè)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活處理。常見(jiàn)題型的常用處理辦法：（1）一般代數(shù)三次方程盡管有求根公式，但中學(xué)階段不會(huì)出現(xiàn)需用到求根公式才能處理的三次方程，給出的三次方程，往往容易看出其中的一個(gè)根，再由因式定理轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)一元二次方程。（2）利用換元法達(dá)到降次的目的；（3）拆、添項(xiàng)因式分解求解；（4）處理系數(shù)對(duì)稱的高次方程，常用下題的解法（如解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0。變形得到：2（x2+丄）+3（x+-）-16=0,進(jìn)而得到：x2x"1]12（x+—）2-2+3（x+—）-16=0，然后再換元求解即可）（5）參數(shù)交換法；（6）利用一_x」x元二次方程根的判別式，構(gòu)造一元二次方程解題（如：已知x、y為有理數(shù)，且X5+y5二2x2y2。證明1—xy時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。證明：若x、y中有一個(gè)為0則1—xy=l時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。若xyMO,兩邊除以x2y2，得：x(-)2+y(—)2=2。令t=(-)2,yxy由x、y為有理數(shù)，可知關(guān)于t的一元二次方程：xt2-2t+y二0有有理根。而上述方程的系數(shù)均為有理數(shù)，故△=4—4xy=4(1—xy)是一個(gè)有理數(shù)的平方。所以，1一xy是一個(gè)有理數(shù)的平方。)4、整系數(shù)一元二次方程：一般地，若整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則該方程的根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)。這一性質(zhì)在處理一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題時(shí)經(jīng)常被用到。常用方法有：(1)利用韋達(dá)定理拆分，再利用數(shù)論方法與技巧；(2)利用整數(shù)理論來(lái)處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根(如a，b模m同余等)問(wèn)題是不易考慮到的想法，解題中往往能出奇制勝；(3)利用判別式處理(即如利用△=(2k+1)2-40二m2【為完全平方數(shù)】，再利用平方差展開(kāi)和整系數(shù)進(jìn)而求解。)(4)利用函數(shù)圖像方法。5、勾股數(shù)與完全平方數(shù)：稱滿足不定方程x2+y2二z2的正整數(shù)數(shù)組(x,y,z)為勾股數(shù)組(國(guó)際上，一般稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)組)。勾股數(shù)組有許多有趣的性質(zhì)，例如，若(x，y，z)為勾股數(shù)組，則x、y、z中有一個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)；有一個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)；也有一個(gè)數(shù)為5的倍數(shù)。完全平方數(shù)是一類重要的自然數(shù)，競(jìng)賽中許多問(wèn)題要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)。說(shuō)明：(1)如果兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)之積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這兩個(gè)自然數(shù)都是完全平方數(shù)。如果正整數(shù)x可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，則2x也可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。(如x=u2+v2，2x二2u2+2v2二(u+v)2+(u一v)2。于是2x可表示為兩個(gè)整數(shù)u+v和u—v的平方和。相鄰兩個(gè)完全平方數(shù)之間的自然數(shù)都不是完全平方數(shù)。在勾股三角形中，周長(zhǎng)為面積的整數(shù)倍的三角形，可以用勾股數(shù)組來(lái)試探，這一過(guò)程是發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)性質(zhì)的一般嘗試方法。第二章函數(shù)1、函數(shù)及其圖像：某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于x在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，記作y=f(x),xeD(為方便，這里沿用集合的記號(hào)，xeD,讀作x屬于D,表示x在范圍D內(nèi)變換，或x是集合D的元素)。X的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域，和x的值相應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。

要求會(huì)用函數(shù)解方程組問(wèn)題，判斷圖像題，求方程的解的題。2、一元二次不等式的解與一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布：我們把形如ax2+bx+c〉0,ax2+bx+c〈0(aMO)的不等式叫做一元二次不等式。要會(huì)二次函數(shù)的圖像來(lái)解一元二次不等式。對(duì)于ax2+bx+c=0(a>0)的兩根為x、x(x<x，記f(x)=ax2+bx+c，則1212不等式ax2+bx+c〉0(或ax2+bx+c〈0)的解就是y=f(x)的圖像在x軸上方(或x軸下方)所對(duì)應(yīng)的x的全體；若a>0,^>0,則ax2+bx+c〉0的解集為x〈x或x〉x12ax2+bx+c〈0的解集為x〈x〈x。12b若a>0,^=0,則ax2+bx+c〉0的解集為x豐一的全體實(shí)數(shù)；2aax2+bx+c〈0的解集為空集；若a>0,^<0,則ax2+bx+c〉0的解集為全體實(shí)數(shù)；ax2+bx+c〈0的解集為空集；此類題要求會(huì)用二次函數(shù)圖像的方法解題。3、函數(shù)的最大值與最小值：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處的函數(shù)值是f(x)，如果不等式f(x)<f(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意000x都成立，那么f(x°)叫做函數(shù)y=f(x)的最大值。類似地，如果不等式f(x)>f(x°)對(duì)于定義域內(nèi)任意x都成立，那么f(x)叫做函數(shù)的最小值。0如果f(x)=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，那么c既是f(x)的最大值，又是f(x)的最小值。如果自變量x的取值范圍為p<x<q，那么一次函數(shù)f(x)=kx+m既有最大值又有最小值。當(dāng)k>0時(shí)，f(x)隨著x的增大而增加，故f(q)是它的最大值，f(p)是它的最小值；當(dāng)k<0時(shí)，f(x)隨著x的增大而減小，故f(p)是它的最大值，f(q)是它的最小值；對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c而言，經(jīng)過(guò)配方，得：f(f(x)=a(x+4ac-b24ab4ac-b2當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x=-時(shí)，f(x)取最小值，而f(x)無(wú)最大值;2a4ab4ac一b2當(dāng)aVO時(shí)，當(dāng)x=-時(shí)，f(x)取最大值，而f(x)無(wú)最小值；TOC\o"1-5"\h\z2a4a對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,如果自變量得取值范圍限制在p<x<q,那么函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aMO)既有最大值，又有最小值。b當(dāng)a>0時(shí)，在滿足p<x<q的x中,設(shè)使x+亍最小的x為x，則f(x)即為最小2aoo值；b設(shè)使x+丁最大的x為x,則f(x)為最大值。2a11從圖像上看，f(x)=ax2+bx+c(p<x<q)的圖像是一段拋物線弧，f(x)的最大值bb或最小值只能在拋物線弧的頂點(diǎn)(若拋物線弧頂點(diǎn)橫坐標(biāo)-亍滿足P<-<q)或兩端2a2a點(diǎn)取到。初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)最大值與最小值問(wèn)題，基本上都能轉(zhuǎn)化為求前面敘述的這些函數(shù)的最大值與最小值。對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)。推廣到一般情況，即對(duì)n個(gè)實(shí)數(shù)a<a<L<a，求f(x)=|x—a|+|x—a|+L|x—a|的最小值。12n12n由于a,a,L,a中有些允許相等，因此，我們應(yīng)該會(huì)求函數(shù)12nf(x)=kf(x)=kx—a+kx—a+Lkx—aii22nn的最小值，這里ki,k2，L，kn都是自然數(shù)。第三章解三角形1、三角函數(shù)：三角函數(shù)是建立在相似三角形的基礎(chǔ)上的。如圖，在AABC中，ZC=90°，則abab正弦函數(shù)sinA=一；余弦函數(shù)cosA=一；正切函數(shù)tanA；余切函數(shù)cotA=-ccba利用銳角三角函數(shù)定義以及比例的性質(zhì)、勾股定理、不等關(guān)系可以得到以下結(jié)論：rSinar同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式：tana-cota=1；tana=；sin2a+cos2a=1；coSal〈sina+cosa<€2(在斜邊給定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大)互余角三角函數(shù)的關(guān)系式：sin(90°—A)=cosA；cos(90°—A)=sinA；tan(90°—A)=cotA；cot(90°—A)=tanA。若0°〈a〈B〈90°，則0〈sina〈sinB〈1，1〉cosa〉cos卩〉0,0(tana〈tanP。對(duì)于鈍角A,通過(guò)進(jìn)一步學(xué)習(xí)可以得到：sinA=sin(180°—A)；cosA=—cos(180°—A)；tanA=—tan(180°—A)；cotA=—cot(180°—A)。還可以證明同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式對(duì)于鈍角依然成立。特別地，當(dāng)A=0。時(shí)，sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，cot0°不存在。當(dāng)A=90。時(shí)，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在，cot90°=0。當(dāng)A=180°時(shí)，sin180°=0，cos180°=—1，tan180°=0，cot180°不存在。要求會(huì)求15°角的倍角的三角函數(shù)值和18°角的三角函數(shù)值(構(gòu)造黃金三角形)。角度15°30°45°60°75°sinaV6-忑12邁羽76+近4224cosa>/6+忑近1276-近4224tana2-7312+羽cota2+羽132-亦當(dāng)遇到三角函數(shù)與一元二次方程的綜合時(shí)，基本解法是用韋達(dá)定理和sin2a+cos2a=1列方程求解。要注意最后檢驗(yàn)方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。2、三角形中的邊角關(guān)系：對(duì)于直角三角形(如圖，AABC中，ZC=90°)邊角關(guān)系主要有:角角關(guān)系：兩銳角互余(A+B=90°);邊邊關(guān)系：勾股定理(a2+b2=c2)o邊角關(guān)系：a=c-sinA=c-cosB=b-tanA=b-cotB；b=c-sinB=c-cosA=a-tanB=a-cotA.

射影定理：ZC=90°,ZA=ZBCD,ZB=ZACD,BC2二BD-AB,AC2二AD?AB,CD2二AD-BD.對(duì)于斜三角形，通過(guò)轉(zhuǎn)化成直角三角形可以得到一般三角形邊角關(guān)系的幾個(gè)重要公式。如圖，AABC中，CD是AB邊的高。A為銳角，則CD=b-sinA；A為直角，則CD=b=b-sin90°=b-sinA；A為鈍角，則CD=b-sin(180°—A)=b-sinA；所以高CD=b-sinA，S=—CD-AB=1bcsinAaabc22同理可得：S=—casinB=—absinCaABC22這是一般三角形用兩邊及夾角求面積的公式。1111從這二個(gè)公式可得===，同時(shí)乘abc,得:2SbcsinAcasinBabsinCaabcaaabcaabsinAsinB猛=2R（R為山眈外接圓的半徑）。此等式稱為正弦定理。同樣，在上述厶ABC中，a2=CD2+BD2.

⑴A為銳角，BD=|AB-AD\=|c-bcosA|。A為直角，BD=c=(c-bcos90°)=|c-bcosA|；A為鈍角，BD=AB+AD=c+bcos(180°—A)=c-bcosA=|c-bcosA|o所以BD=|c-bcosA|.a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。這三個(gè)等式稱為余弦定理。3、面積問(wèn)題：三角形面積關(guān)系有S=1ahAABC23、面積問(wèn)題：三角形面積關(guān)系有S=1ahAABC2a=1absinC2由正弦定理abcAsinAbsinBcsinC=2R知b=asinB

sinAasinBa2sinBsinC所以SAABC=一asin所以SAABCsinB2sinAS=Jp（p—a）（p—b）（p—c）（其中p="*f*c）此公式稱為海倫公式。AABC"2在選面積公式時(shí)，要適當(dāng)。如在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,D、E是厶ABC邊上的點(diǎn)，且直線DE平分厶ABC的面積，求線段DE的最短長(zhǎng)度。（DE=2,AD=AE=辺0）等周三角形中，以正三角形的面積最大，此為三角形的“等周定理”。4、與三角形有關(guān)的整數(shù)問(wèn)題：定理：滿足方程x2+y2=z2的一切基本勾股數(shù)組x,y，z（y為偶數(shù)），都可表示成:x=p2—q2,y=2pq,z=p2+q2,其中p,q是滿足pq〉0,p,q一奇一偶且（p,q）=1的任意整數(shù)。整數(shù)x,y,z是某個(gè)斜三角形的三邊長(zhǎng)，且這個(gè)三角形的面積也是整數(shù)，那么數(shù)組x,y,z稱為三斜數(shù)組，也稱為海倫數(shù)組。如（邊長(zhǎng)13,14,15的三角形的面積為84）。第四章圓1、圓的有關(guān)性質(zhì)：利用相似三角形，四點(diǎn)共圓等證明或求解。2、四點(diǎn)共圓問(wèn)題：四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有力的工具。四點(diǎn)共圓這類問(wèn)題一般有兩種形式一是要證明某四點(diǎn)共圓(或以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓)；二是通過(guò)某四點(diǎn)共圓來(lái)得到一些重要的結(jié)果，進(jìn)而解決問(wèn)題，下面是與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)。若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在同一圓周上。在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)，其他點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角，則這些點(diǎn)共圓。若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓。若點(diǎn)C、D在線段AB的同側(cè)，且ZACB=ZADB,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。若兩線段AB、CD相交于點(diǎn)E,且AE*EB=CE*ED，貝A、B、C、D四點(diǎn)共圓。若相交直線PA、PB上各有一點(diǎn)C、D,且PA*PC=PB*PD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。蝴蝶定理：設(shè)O為圓的弦MN的中點(diǎn)，過(guò)O作弦AB、CD,連AD、BC分別交MN于F、E,如圖，貝9：EO=FO。DB3、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系依據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),分為三類：直線與圓相交。直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線稱為圓的割線,圓心到直線的距離小于圓的半徑,反之亦然。直線與圓相切。直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線稱為圓的切線,圓心到直線的距離等于圓的半徑,反之亦然。直線與圓相離。直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)。圓心到直線的距離大于圓半徑,反之亦然。兩圓的位置關(guān)系可以依據(jù)兩圓的半徑及圓心距來(lái)分類,也可以依據(jù)公切線的條數(shù)來(lái)分類。設(shè)兩圓的半徑分別為R,r,圓心距為do兩圓外離od〉R+r；兩圓外切od二R+r；兩圓相交oR-r〈d〈R+r。(R>r)兩圓內(nèi)切od二R-ro(R〉r)兩圓內(nèi)含od〈R-ro(R〉r)4、三角形中重要的點(diǎn)和線：

（1）重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心；三角形的重心到一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上的中線長(zhǎng)的三分之一。（2）外心：三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，也就是三角形的外接圓圓心；銳角三角形的外心，在三角形內(nèi)；直角三角形的外心，是斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心，在三角形外。（3）垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)，叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心，就是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心，在三角形外。（4）內(nèi)心：三角形的三條（內(nèi)）角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心，也就是三角形的內(nèi)切圓的圓心。如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,則有：AE=AF=p－a,BD=BF=p－b，CD=CE=p－c。其中P=2（a+b+c）是半圓長(zhǎng)。另我們常常用垂心來(lái)證明兩條直線互相垂直。在證明多點(diǎn)（大于4個(gè)點(diǎn)）共圓時(shí)，我們常常先作其中三個(gè)點(diǎn)的一個(gè)外接圓，然后證明其余的點(diǎn)在這個(gè)圓上。西姆松定理：自三角形的外接圓上的一點(diǎn)，引各邊的垂線，則三個(gè)垂足共線。如圖：直線EF稱為西姆松線。只要證明ZBDE=ZCDF。歐拉線：三角形的外心O,重心G,垂心H三點(diǎn)共線。歐拉定理：已知△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心為O,內(nèi)心為I,貝9：OI=\；'R2-2Rr.第五章專題選講1、四種命題及其關(guān)系：用來(lái)判斷某一件事情的語(yǔ)句稱為命題。命題可分為真命題和假命題。正確的命題稱為真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題。一般來(lái)說(shuō),一個(gè)命題包含“前提”和“結(jié)論”兩部分。若把原命題的前提與結(jié)論互換就構(gòu)成它的逆命題；若把原命題的前提與結(jié)論分別換成它們的否定,就構(gòu)成它的否命題；逆命題的否命題，或者是否命題的逆命題。就是逆否命題，原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題及其關(guān)系如圖所示：原命題原命題1L互否ir否命題原命題和它的逆否命題都是真命題；逆命題同否命題都是假命題?；槟娣竦膬蓚€(gè)命題必同真或同假。利用這亦規(guī)律我們可以用來(lái)解題。例如，有時(shí)證明某一命題是真或假都不太容易，我們可以只證明它的逆否命題是真或假即可。又如，反證法，其思想其實(shí)也是利用了原命題與它的逆否命題等價(jià)規(guī)律。2、待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法。在求解某些數(shù)學(xué)命題時(shí)，能根據(jù)已知條件，確定所求解的基本表達(dá)式，從而設(shè)出若干各參數(shù)，并根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求解方程或方程組問(wèn)題。這種思想方法一般稱為待定系數(shù)法。在中學(xué)階段中，待定系數(shù)法主要應(yīng)用在：分解因式、求函數(shù)的