定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)北京航空航天大學(xué)李權(quán)州定積分定義與基本性質(zhì)1.定積分定義設(shè)有一函數(shù)f(x)給定在某一區(qū)間[a,b]上.我們?cè)赼與b之間插入一些分點(diǎn).而將該區(qū)間任意分為若干段.以表示差數(shù)中最大者.在每個(gè)分區(qū)間中各取一個(gè)任意的點(diǎn).而做成總和然后建立這個(gè)總和的極限概念：另用語言進(jìn)行定義：，，在時(shí)，恒有則稱該總和在時(shí)有極限.總和在時(shí)的極限即f(x)在區(qū)間a到b上的定積分，符號(hào)表示為2.性質(zhì)設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上可積，則有下列性質(zhì)(1)積分的保序性如果任意，則特別地，如果任意則(2)積分的線性性質(zhì)特別地，有.設(shè)f(x)在[a,b]上可積，且連續(xù)，(1)設(shè)c為[a,b]區(qū)間中的一個(gè)常數(shù)，則滿足實(shí)際上，將a,b,c三點(diǎn)互換位置，等式仍然成立.(4)存在，使得達(dá)布定理1.達(dá)布和分別以和表示函數(shù)f(x)在區(qū)間里的下確界及上確界并且做總和稱為f(x)相應(yīng)于分割π的達(dá)布上和，稱為f(x)相應(yīng)于分割π的達(dá)布下和特別地，當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，這些和就直接是相應(yīng)于任意分割法的積分和的最小者和最大者，因?yàn)樵谶@種情形下f(x)在沒一個(gè)區(qū)間上都可以達(dá)到其上下確界.回到一般情況，有上下界定義知道將這些不等式逐項(xiàng)各乘以(是正數(shù))并依i求其總和，可以得到推論1設(shè)f(x)在[a,b]上有界.設(shè)有兩個(gè)分割，，是在的基礎(chǔ)上的加密分割，多加了k個(gè)新分店，則這里分別為f在[a,b]上的上、下確界.推論2設(shè)f(x)在[a,b]上有界.對(duì)于任意兩個(gè)分割，有達(dá)布定理定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界，定義稱為f(x)在[a,b]上的上積分，為f(x)在[a,b]上的下積分.定理對(duì)于f(x)在[a,b]上的有界函數(shù)，則有3.函數(shù)可積分條件設(shè)f(x)在[a,b]上有界，下列命題等價(jià)：(1)f(x)在[a,b]可積；(2)(3)對(duì)于[a,b]上的任何一個(gè)分割，；(4)任給，存在，對(duì)于[a,b]上的任何分割，當(dāng)，有成立；任給，在[a,b]存在一個(gè)分割，當(dāng)時(shí)有成立.這里為f(x)在區(qū)間上的振幅.微積分基本定理定理（Newton-Leibniz公式）設(shè)f(x)在[a,b]上可積，且在[a,b]上有原函數(shù)F(x)，則注：(x)是f’(x)的原函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，該公式可寫為2.上述定理并不是說可積函數(shù)一定有圓環(huán)數(shù)，而是說如果存在原函數(shù)，那么可用來計(jì)算定積分的值.Newton-Leibniz公式把原先在復(fù)雜的定積分中的定義的積分值計(jì)算化為求原函數(shù)的問題，為普及微積分打開了大門.定積分的計(jì)算除了利用Newton-Leibniz公式計(jì)算微積分外，還可以使用換元公式和分部積分計(jì)算微積分.1定積分中變量替換公式設(shè)要計(jì)算積分，這里f(x)是在區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)的.令，函數(shù)具備下列條件：1）函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)有定義且連續(xù)，而其值當(dāng)t在內(nèi)變化時(shí)恒不越出區(qū)間[a,b]的范圍；2）3）在區(qū)間有一連續(xù)函數(shù).于是成立公式由于被積函數(shù)假設(shè)是連續(xù)的，不但這些定積分存在，同時(shí)其相應(yīng)不定積分也存在，并且在兩情形都可以用基本公式.2定積分的分部積分法在不定積分部分曾經(jīng)討論過公式這里假設(shè)以x為自變量的函數(shù)u，v以及其導(dǎo)函數(shù)u’，v’都是在考慮區(qū)間[a,b]里連續(xù)的.則我們有定積分中值定理微分中值公式說明，函數(shù)值的差可以通過其導(dǎo)數(shù)值來表達(dá)和估算.如果從微分運(yùn)算的逆運(yùn)算來認(rèn)識(shí)積分運(yùn)算，那么就有相應(yīng)的積分的中值公式：記F’(x)=f(x)，即把F(x)看作是可積函數(shù)f(x)的原函數(shù)，則上述公式化為這一類公式稱之為積分中值公式，它顯示出一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過其自身進(jìn)行表達(dá)和估算.上述公式的幾何意義可以從面積的意義來考察：設(shè)f(x)是[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù)，則公式左邊的面積與右邊表達(dá)式所代表的舉矩形面積相等，而矩形的高正是f(x)在[a,b]上的積分平均值：1定積分第一中值公式設(shè)，且函數(shù)值不變號(hào)(即對(duì)一切).若，且記，，則存在:，使得(2)若，則存在，使得2定積分第二中值公式引理(Abel)設(shè)有兩組數(shù)記，則推論若有，且，則有定理(Bonnet型)設(shè).若f(x)是[a,b]上非負(fù)遞減函數(shù)，則存在，使得(2)若f(x)是[a,b]上非負(fù)遞增函數(shù)，則存在，使得3定積分第三中值公式定理(Weierstrassz型)設(shè)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，，則存在，使得函數(shù)可積分的勒貝格定理定義設(shè)A是實(shí)數(shù)集合，若，對(duì)任意，存在至多可數(shù)的系列開區(qū)間，它是A的一個(gè)開覆蓋，并且，則稱A為零測(cè)度集或者零測(cè)集.定理零測(cè)集性質(zhì)如下：至多可數(shù)