關于排列組合的解題策略課件

解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略1

名稱內容分類原理分步原理定義相同點不同點兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項工作的方法數直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.名稱內容分類原理分步原理定義相同點不同點兩個原2排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數符號計算公式關系性質，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組所有排列的的個數所有組合的個數排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定31、某校組織學生分4個組從3處風景點中選一處去春游,則不同的春游方案的種數是（）A.B.C.D.

C練習2、將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字都不相同的填法共有（）。A.6種B.9種C.11種D.23種

B1、某校組織學生分4個組從3處風景點中選一處去春游,則不同的4解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什5判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?

有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分成人數相同的數學和英語兩個學習小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設集合A={a,6合理分類和準確分步

解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類，分類標準明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚.合理分類和準確分步解排列（或）組合問題，應7總的原則—合理分類和準確分步

解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類：根據分步及分類計數原理，不同的站法共有例16個同學和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據分步計數原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法?？偟脑瓌t—合理分類和準確分步解排列（或）組8把握分類原理、分步原理是基礎例1如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路,其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點脫落的可能性共有（）A.63種B.64種C.6種D.36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63把握分類原理、分步原理是基礎分析:由加法原理可知由乘法原理可9合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞,3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究:只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數原理共有______________________種。++合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能10本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標準：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素11有不同的數學書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同一學科的書2本，共有多少種不同的取法？（7×5+7×4+5×4=83）有不同的數學書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同12（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、131.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______

34

練習題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這5人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若14特殊元素和特殊位置問題特殊元素和特殊位置問題15特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.

解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以16學生要從六門課中選學兩門：（1）有兩門課時間沖突，不能同時學，有幾種選法？（2）有兩門特別的課，至少選學其中的一門，有幾種選法？學生要從六門課中選學兩門：17解法一：解法二：（1）有兩門課時間沖突,不能同時學，有幾種選法？解法一：解法二：（1）有兩門課時間沖突,不能同時學18解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學其中的一門，有幾種選法？解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學其中的197種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不20小結：1、“在”與“不在”可以相互轉化。解決某些元素在某些位置上用“定位法”，解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉化為“在”的問題求解。2、排列組合應用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象，而重”、“漏”錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時需認真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對答案小結：1、“在”與“不在”可以相互轉化。解決某些元素在某些位21相鄰相間問題相鄰相間問題22相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲23例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?結論

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也可以作排列.例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種24有8本互不相同的書,其中數學書3本,外文書2本,其他書3本.若將這些書排成一列放在書架上,則數學書恰好排在一起,外文書也恰好排在一起的排法共有_____種(結果用數值表示).有8本互不相同的書,其中數學書3本,外文書2本,其他書3本.25不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,26不相鄰問題——插空法

對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。不相鄰問題——插空法對于某幾個元素不相鄰得排列問27某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為（）

30練習題某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個28（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有___________個．（用數字作答）

練習（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種29(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有___________個．（用數字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個空位中的兩個有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復數字的六位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數字作答）

(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將30某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為（）練習題20某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不31“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、32例

學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據乘法原理,共有的不同坐法為種.結論

插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.例學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學33小結：以元素相鄰為附加條件的應把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.小結：以元素相鄰為附加條件的應把相鄰元素視為一個整體，即采用34定序問題定序問題35定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊,其中甲乙丙3人順序一36（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再4*5*6*7定37例期中安排考試科目9門,語文要在數學之前考,有多少種不同的安排順序?解不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數學之前考”,與“數學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數學之前考的排法共有種.結論

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例期中安排考試科目9門,語文要在數學之前考,有多少種不同38分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略39住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有（）A.B.CD.分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計數原理看，5是步驟數，自然是指數。A住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：40重排問題求冪策略例.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種nm重排問題求冪策略例.把6名實習生分配到7個車間實習,共有解:411.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習題1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加42環(huán)排問題和多排問題環(huán)排問題和多排問題43環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌44練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？12045多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在46有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是______346練習題有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)47小集團問題小集團問題48小集團問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內部共有_______種排法，由分步計數原理共有_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。小集團問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重49１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４2.5男生和50元素相同問題隔板策略應用背景：相同元素的名額分配問題不定方程的正整數解問題隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一個元素相同問題隔板策略應用背景：相同元素的名額分配問題隔板法的51元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，在分給7個班，每52例高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解此題可以轉化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的隔板,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種.結論

轉化法:對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.例高二年級8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求53練習（1）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有（）種。（2）不定方程的正整數解共有（）組練習（1）將10個學生干部的培訓指標分配給7個不同的班級，54練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？2.x+y+z+w=100求這個方程組的自然數解的組數練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一2.x+y+z+55小結：把n個相同元素分成m份每份,至少1個元素,問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”得出共有種.小結：把n個相同元素分成m份每份,至少1個元素,問有多少種不56間接法解題間接法解題57正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法。這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有____,只含有1個偶數的取法有_____,和為偶數的取法共有_________再淘汰和小于10的偶數共___________符合條件的取法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,758

例：用0，1，2，3，4這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中1不在個位的數共有_______種。間接法(總體淘汰法,正難則反）

對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意既不能多減又不能少減。

分析：五個數組成三位數的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數，再加回百位為0同時個位為1的排列數（為什么？）故共有種。例：用0，1，2，3，4這五個數，組成沒有重復間接法59例我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?解43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內的抽法有種.結論

去雜法:有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.例我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部60平均分組問題除法策略“分書問題”平均分組問題除法策略“分書問題”61平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數。平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆62變式：6本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種方法？（4）平均分給3個人，（1）一堆一本，一堆2本，一堆3本（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）一人一本，一人2本，一人3本（6）每人至少一本（5）平均分成3堆變式：6本不同的書，按照以下要求處理，各有多少種方法？631將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為______

1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組42.10名64小結：排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序;m等分的組合問題是非等分情況的;而元素相同時又要另行考慮.小結：排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序;m等分的組合問題是65構造模型策略例.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決構造模型策略例.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,66練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右12067先選后排問題先選后排問題68八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有_____種方法.根據分步計數原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?八.排列組合混合問題先選后排策略例.有5個不同的小球,裝入469練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人192703名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護士,不同的分配方法共有多少種?先選后排問題的處理方法解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢,每71解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)生和護士.解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫(yī)72為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學校任教,每校分配1人,不同的分配方法共有_______種(用數字作答).練習改為4名教師？改為5名教師？為支援西部開發(fā),有3名教師去銀川市三所學校任教,每校分配173小結：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。小結：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的74實驗法（窮舉法），（枚舉法）應用舉例實驗法（窮舉法），（枚舉法）應用舉例75實驗法（窮舉法）

題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。

例將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格內，每個方格填1個，則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法種數有（）A.6B.9C.11D.23實驗法（窮舉法）題中附加條件增多，直接解決困76實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號77實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法？解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有2種實際操作窮舉策略例.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號78練習：（不對號入座問題）（1）（2004湖北）將標號為1，2，3，……，10的10個球放入標號為1，2，3，……，10的10個盒子中，每個盒內放一個球，恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法有___________種（2）編號為1、2、3、4、5的五個球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子里，至多有2個對號入座的情形有___________種109直接法：間接法：練習：（不對號入座問題）（1）（2004湖北）將標號為179注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（）(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種小結：“恰好有一個”是“只有一個”的意思?！爸辽儆幸粋€”則是“有一個或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面，故可用“排除法”。解：注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其80練習從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有____種解：練習從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套81對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果練習題1.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用練習題1.給圖中區(qū)域涂82其它特殊方法其它特殊方法83分解與合成策略例.30030能被多少個不同的偶數整除分析：先把30030分解成質因數的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數必先取2,再從其余5個因數中任取若干個組成乘積，所有的偶因數為：例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面直線分解與合成策略例.30030能被多少個不同的偶數整除分析：84解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四體共有體共__________每個四面體有___對異面直線,正方體中的8個頂點可連成____________對異面直線33×58=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據問題分解后的結構,用分類計數原理和分步計數原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構成四每個四面體有___對85化歸策略例.25人排成5×5方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3×3方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，化歸策略例.25人排成5×5方隊,現(xiàn)從中選3人,要解：將這86從5×5方隊中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊選不在同一行也不在同一列的3人有__________________選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有___________種。再從5×5方隊選出3×3方隊便可解決問題從5×5方隊中選取3行3列有_____選法處理復雜的排列組合87對應法例11、在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產生一名冠軍，問要舉行幾場？

分析：要產生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要進行一場比賽，所以淘汰99名選手就需要99場比賽。對應法例11、在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽88某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？練習題BA某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成練習題BA89例袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解把所有的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有種取法.結論

剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應的,因此,當求取法困難時,可轉化為求剩法.例袋中有5分硬幣23個,1角硬幣10個,如果從袋中取出2元905、世上最美好的事是：我已經長大，父母還未老;我有能力報答，父母仍然健康。

6、沒什么可怕的，大家都一樣，在試探中不斷前行。

7、時間就像一張網，你撒在哪里，你的收獲就在哪里。紐扣第一顆就扣錯了，可你扣到最后一顆才發(fā)現(xiàn)。有些事一開始就是錯的，可只有到最后才不得不承認。

8、世上的事，只要肯用心去學，沒有一件是太晚的。要始終保持敬畏之心，對陽光，對美，對痛楚。

9、別再去抱怨身邊人善變，多懂一些道理，明白一些事理，畢竟每個人都是越活越現(xiàn)實。

10、山有封頂，還有彼岸，慢慢長途，終有回轉，余味苦澀，終有回甘。

11、人生就像是一個馬爾可夫鏈，你的未來取決于你當下正在做的事，而無關于過去做完的事。

12、女人，要么有美貌，要么有智慧，如果兩者你都不占絕對優(yōu)勢，那你就選擇善良。

13、時間，抓住了就是黃金，虛度了就是流水。理想，努力了才叫夢想，放棄了那只是妄想。努力，雖然未必會收獲，但放棄，就一定一無所獲。

14、一個人的知識，通過學習可以得到;一個人的成長，就必須通過磨練。若是自己沒有盡力，就沒有資格批評別人不用心。開口抱怨很容易，但是閉嘴努力的人更加值得尊敬。

15、如果沒有人為你遮風擋雨，那就學會自己披荊斬棘，面對一切，用倔強的驕傲，活出無人能及的精彩。5、人生每天都要笑，生活的下一秒發(fā)生什么，我們誰也不知道。所以，放下心里的糾結，放下腦中的煩惱，放下生活的不愉快，活在當下。人生喜怒哀樂，百般形態(tài)，不如在心里全部淡然處之，輕輕一笑，讓心更自在，生命更恒久。積極者相信只有推動自己才能推動世界，只要推動自己就能推動世界。

6、人性本善，純如清溪流水凝露瑩爍。欲望與情緒如風沙襲擾，把原本如天空曠蔚藍的心蒙蔽。但我知道，每個人的心靈深處，不管烏云密布還是陰淤蒼茫，但依然有一道彩虹，亮麗于心中某處。

7、每個人的心里，都藏著一個了不起的自己，只要你不頹廢，不消極，一直悄悄醞釀著樂觀，培養(yǎng)著豁達，堅持著善良，只要在路上，就沒有到達不了的遠方！

8、不要活在別人眼中，更不要活在別人嘴中。世界不會因為你的抱怨不滿而為你改變，你能做到的只有改變你自己！

9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天賜，不都是一路披荊斬棘才換來的。

10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你會覺得解脫。但舌頭總會不由自主地往那個空空的牙洞里舔，一天數次。不痛了不代表你能完全無視，留下的那個空缺永遠都在，偶爾甚至會異常掛念。適應是需要時間的，但牙總是要拔，因為太痛，所以終歸還是要放手，隨它去。

11、這個世界其實很公平，你想要比別人強，你就必須去做別人不想做的事，你想要過更好的生活，你就必須去承受更多的困難，承受別人不能承受的壓力。

12、逆境給人寶貴的磨煉機會。只有經得起環(huán)境考驗的人，才能算是真正的強者。自古以來的偉人，大多是抱著不屈不撓的精神，從逆境中掙扎奮斗過來的。

13、不同的人生，有不同的幸福。去發(fā)現(xiàn)你所擁有幸運，少抱怨上蒼的不公，把握屬于自己的幸福。你，我，我們大家都可以經歷幸福的人生。

14、給自己一份堅強，擦干眼淚；給自己一份自信，不卑不亢；給自己一份灑脫，悠然前行。輕輕品，靜靜藏。為了看陽光，我來到這世上；為了與陽光同行，我笑對憂傷。

15、總不能流血就喊痛，怕黑就開燈，想念就聯(lián)系，疲憊就放空，被孤立就討好，脆弱就想家，不要被現(xiàn)在而蒙蔽雙眼，終究是要長大，最漆黑的那段路終要自己走完。5、從來不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起來，才是最大的榮耀。

6、這個世界到處充滿著不公平，我們能做的不僅僅是接受，還要試著做一些反抗。

7、一個最困苦、最卑賤、最為命運所屈辱的人，只要還抱有希望，便無所怨懼。

8、有些人，因為陪你走的時間長了，你便淡然了，其實是他們給你撐起了生命的天空；有些人，分開了，就忘了吧，殘缺是一種大美。

9、照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被別人的意見引入歧途。

10、沒人能讓我輸，除非我不想贏！

11、花開不是為了花落，而是為了開的更加燦爛。

12、隨隨便便浪費的時間，再也不能贏回來。

13、不管從什么時候開始，重要的是開始以后不要停止；不管在什么時候結束，重要的是結束以后不要后悔。

14、當你決定堅持一件事情，全世界都會為你讓路。

15、只有在開水里，茶葉才能展開生命濃郁的香氣。5、世上最美好的事是：我已經長大，父母還未老;我有能力報答，91解排列組合問題的常用策略解排列組合問題的常用策略92

名稱內容分類原理分步原理定義相同點不同點兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項工作的方法數直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法…，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不同的方法做一件事，完成它可以有n個步驟，做第一步中有m1種不同的方法，做第二步中有m2種不同的方法……，做第n步中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.名稱內容分類原理分步原理定義相同點不同點兩個原93排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數符號計算公式關系性質，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組所有排列的的個數所有組合的個數排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定941、某校組織學生分4個組從3處風景點中選一處去春游,則不同的春游方案的種數是（）A.B.C.D.

C練習2、將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數字，則每個方格的標號與所填的數字都不相同的填法共有（）。A.6種B.9種C.11種D.23種

B1、某校組織學生分4個組從3處風景點中選一處去春游,則不同的95解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什96判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?

有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分成人數相同的數學和英語兩個學習小組，共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個安排游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設集合A={a,97合理分類和準確分步

解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類，分類標準明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚.合理分類和準確分步解排列（或）組合問題，應98總的原則—合理分類和準確分步

解排列（或）組合問題，應按元素的性質進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求對其進行分類，分兩類：根據分步及分類計數原理，不同的站法共有例16個同學和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學生甲不站排頭，學生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.若甲在第2、3、6、7位，則排尾的排法有種，1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據分步計數原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法?？偟脑瓌t—合理分類和準確分步解排列（或）組99把握分類原理、分步原理是基礎例1如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路,其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點脫落的可能性共有（）A.63種B.64種C.6種D.36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63把握分類原理、分步原理是基礎分析:由加法原理可知由乘法原理可100合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞,3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究:只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數原理共有______________________種。++合理分類與分步策略例.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能101本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。本題還有如下分類標準：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素102有不同的數學書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同一學科的書2本，共有多少種不同的取法？（7×5+7×4+5×4=83）有不同的數學書7本，語文書5本，英語書4本，由其中取出不是同103（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （）A．300種 B．240種 C．144種 D．96種B（4）（2005·福建·理）從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、1041.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______

34

練習題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這5人共有多少乘船方法.271.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若105特殊元素和特殊位置問題特殊元素和特殊位置問題106特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.

解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以107學生要從六門課中選學兩門：（1）有兩門課時間沖突，不能同時學，有幾種選法？（2）有兩門特別的課，至少選學其中的一門，有幾種選法？學生要從六門課中選學兩門：108解法一：解法二：（1）有兩門課時間沖突,不能同時學，有幾種選法？解法一：解法二：（1）有兩門課時間沖突,不能同時學109解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學其中的一門，有幾種選法？解法一：解法二：（2）有兩門特別的課，至少選學其中的1107種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習題7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不111小結：1、“在”與“不在”可以相互轉化。解決某些元素在某些位置上用“定位法”，解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉化為“在”的問題求解。2、排列組合應用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象，而重”、“漏”錯誤常發(fā)生在該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時需認真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對答案小結：1、“在”與“不在”可以相互轉化。解決某些元素在某些位112相鄰相間問題相鄰相間問題113相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.相鄰元素捆綁策略例.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相甲114例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?結論

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也可以作排列.例5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種115有8本互不相同的書,其中數學書3本,外文書2本,其他書3本.若將這些書排成一列放在書架上,則數學書恰好排在一起,外文書也恰好排在一起的排法共有_____種(結果用數值表示).有8本互不相同的書,其中數學書3本,外文書2本,其他書3本.116不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,117不相鄰問題——插空法

對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。不相鄰問題——插空法對于某幾個元素不相鄰得排列問118某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數為（）

30練習題某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個119（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：（3）(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有___________個．（用數字作答）

練習（1）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種120(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復數字的八位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數共有___________個．（用數字作答）

將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個空位中的兩個有種，故有種．

引申:用１、２、３、４、５、６、組成沒有重復數字的六位數，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，現(xiàn)將7、8插進去，仍要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，那么插法共有___________種．（用數字作答）

(3)(2005·遼寧)用１、２、３、４、５、６、７、８將121某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為（）練習題20某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不122“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例七人排成一排，甲、123例

學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據乘法原理,共有的不同坐法為種.結論

插入法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.例學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學124小結：以元素相鄰為附加條件的應把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.小結：以元素相鄰為附加條件的應把相鄰元素視為一個整體，即采用125定序問題定序問題126定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?定序問題倍縮空位插入策略例7人排隊,其中甲乙丙3人順序一127（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理練習題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再4*5*6*7定128例期中安排考試科目9門,語文要在數學之前考,有多少種不同的安排順序?解不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數學之前考”,與“數學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數學之前考的排法共有種.結論

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.例期中安排考試科目9門,語文要在數學之前考,有多少種不同129分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略分房問題又名：住店法，重排問題求冪策略130住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有（）A.B.CD.分析：因同一學生可以同時奪得n項冠軍，故學生可重復排列，將七名學生看作7家“店”，五項冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計數原理看，5是步驟數，自然是指數。A住店法解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：131重排問題求冪策略例.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種nm重排問題求冪策略例.把6名實習生分配到7個車間實習,共有解:1321.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習題1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加133環(huán)排問題和多排問題環(huán)排問題和多排問題134環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有環(huán)排問題線排策略例5人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌135練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？120136多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.多排問題直排策略例8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在137有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是______346練習題有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)138小集團問題小集團問題139小集團問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內部共有_______種排法，由分步計數原理共有_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其