二項式定理課件完美版

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b)n的二項展開式，其中叫做二項式系數(shù)一般地，對于任意正整數(shù)n一、知識梳理

1.二項式定理特點：

（1）共n+1有項；（2）二項式系數(shù)是從n個不同元素中取出0，1，2，3，…，n個元素的組合數(shù)，即（3）a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a與b的指數(shù)和為n。這個公式所表示的定理叫做二項式定理，一般地，對于任意正整數(shù)n1

2.通項公式

式中的叫做二項展開式的通項，用表示。即

注意：

（1）表示第r+1項；（2）通項公式中的a與b的位置不能換.

（3）要得到即在(a+b)n中，有r個因式取b，余下n-r個因式取a。

3.二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別：

二項式系數(shù)是，某項的系數(shù)包括二項式系數(shù)和二項式中a,b系數(shù)及常數(shù)展出部分。第項2.通項公式2

4.二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性：到首末距離相等的兩項的二項式系數(shù)相等，即（2）增減性即最大值（3）二項式系數(shù)和為奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和等于2n-1,即4.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性31．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(

) A．9B．8 C．7 D．6

B1．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x42.計算并求值（1）2.計算并求值（1）5(2)原式(2)原式63．若( )n的展開式中各項系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為(

)A．－540B．－162C．162 D．540

A3．若( )n的展開式中各項系數(shù)之和為674．(2010·上海春)在

的二項展開式中，常數(shù)項是________．

答案：604．(2010·上海春)在8二、題型與方法通項公式中含有a，b，n，r，Tr＋15個元素，只要知道了其中的4個元素，就可以求出第5個元素，在求展開式中的指定項問題時，一般是利用通項公式，把問題轉(zhuǎn)化為解方程(或方程組)．這里必須注意隱含條件n，r均為非負整數(shù)且r≤n.考點一通項公式的應用二、題型與方法通項公式中含有a，b，n，r，Tr＋15個元素9

已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項。例1(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項．例1(1)求n；10變式求展開式中的有理項變式求展開式中的有理項11【規(guī)律小結(jié)】

(1)對求指定項、常數(shù)項問題，常用待定系數(shù)法，即設第r+1項是指定項（常數(shù)項），利用通項公式寫出該項，對同一字母的指數(shù)進行合并，根據(jù)所給出的條件(特定項)，列出關于r的方程(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項；(2)求二項展開式中的有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項的方式一致．【規(guī)律小結(jié)】(1)對求指定項、常數(shù)項問題，常用待定系數(shù)法，12例2(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項．已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，求的展開式中：例2(1)二項式系數(shù)最大的項；已知13變式:已知(

)n(n∈N*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1，(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中含

的項；(3)求展開式中所有的有理項；(4)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．變式:已知( )n(n∈N*)的展開式14課堂互動講練1．根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大．2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項不同，求展開式中系數(shù)最大項的步驟是：先假定第r＋1項系數(shù)最大，則它比相鄰兩項的系數(shù)都不小，列出不等式組并求解此不等式組求得．【規(guī)律小結(jié)】課堂互動講練1．根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二15課堂互動講練考點二二項式定理展開式的應用

利用二項展開式可以解決如整除、近似計算、不等式證明、含有組合數(shù)的恒等式證明，以及二項式系數(shù)性質(zhì)的證明等問題．

課堂互動講練考點二二項式定理展開式的應用16例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x717變式:

若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(

) A．1 B．－1C．0D．2

A變式:若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a218【規(guī)律小結(jié)】對二項式展開式中系數(shù)、系數(shù)和問題，常用賦值法，一般地，要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系，令x＝0得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)和，令x＝－1可得奇數(shù)次項系數(shù)之和與偶數(shù)次項系數(shù)之和的差，而當二項展開式中含負值項時，令x＝－1則可得各項系數(shù)絕對值之和．【規(guī)律小結(jié)】對二項式展開式中系數(shù)、系數(shù)和問題，常用賦值法，一19考點三二項式定理的靈活應用

求的展開式的常數(shù)項。例4考點三二項式定理的靈活應用求20變式：（1）求（x2+x+1)13展開式中x5的系數(shù)；（2）求（2x-1)6(3+x)5展開式中x3的系數(shù).變式：（1）求（x2+x+1)13展開式中x5的系數(shù)；21考點四整除或余數(shù)問題例5求證：能被7整除。

考點四整除或余數(shù)問題例5求證：22求的近似值，使誤差小于例6求的近似值，使誤差小于例623規(guī)律方法小結(jié)（1）整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)規(guī)律方法小結(jié)（1）整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的24（2）由，當?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：（2）由25這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b)n的二項展開式，其中叫做二項式系數(shù)一般地，對于任意正整數(shù)n一、知識梳理

1.二項式定理特點：

（1）共n+1有項；（2）二項式系數(shù)是從n個不同元素中取出0，1，2，3，…，n個元素的組合數(shù)，即（3）a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a與b的指數(shù)和為n。這個公式所表示的定理叫做二項式定理，一般地，對于任意正整數(shù)n26這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b)n的二項展開式，其中叫做二項式系數(shù)一般地，對于任意正整數(shù)n一、知識梳理

1.二項式定理特點：

（1）共n+1有項；（2）二項式系數(shù)是從n個不同元素中取出0，1，2，3，…，n個元素的組合數(shù)，即（3）a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a與b的指數(shù)和為n。這個公式所表示的定理叫做二項式定理，一般地，對于任意正整數(shù)n27這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b)n的二項展開式，其中叫做二項式系數(shù)一般地，對于任意正整數(shù)n一、知識梳理

1.二項式定理特點：

（1）共n+1有項；（2）二項式系數(shù)是從n個不同元素中取出0，1，2，3，…，n個元素的組合數(shù)，即（3）a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a與b的指數(shù)和為n。這個公式所表示的定理叫做二項式定理，一般地，對于任意正整數(shù)n28這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b)n的二項展開式，其中叫做二項式系數(shù)一般地，對于任意正整數(shù)n一、知識梳理

1.二項式定理特點：

（1）共n+1有項；（2）二項式系數(shù)是從n個不同元素中取出0，1，2，3，…，n個元素的組合數(shù)，即（3）a按降冪排列，b按升冪排列，每一項中a與b的指數(shù)和為n。這個公式所表示的定理叫做二項式定理，一般地，對于任意正整數(shù)n29

2.通項公式

式中的叫做二項展開式的通項，用表示。即

注意：

（1）表示第r+1項；（2）通項公式中的a與b的位置不能換.

（3）要得到即在(a+b)n中，有r個因式取b，余下n-r個因式取a。

3.二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別：

二項式系數(shù)是，某項的系數(shù)包括二項式系數(shù)和二項式中a,b系數(shù)及常數(shù)展出部分。第項2.通項公式30

4.二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性：到首末距離相等的兩項的二項式系數(shù)相等，即（2）增減性即最大值（3）二項式系數(shù)和為奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和等于2n-1,即4.二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性311．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(

) A．9B．8 C．7 D．6

B1．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x322.計算并求值（1）2.計算并求值（1）33(2)原式(2)原式343．若( )n的展開式中各項系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為(

)A．－540B．－162C．162 D．540

A3．若( )n的展開式中各項系數(shù)之和為6354．(2010·上海春)在

的二項展開式中，常數(shù)項是________．

答案：604．(2010·上海春)在36二、題型與方法通項公式中含有a，b，n，r，Tr＋15個元素，只要知道了其中的4個元素，就可以求出第5個元素，在求展開式中的指定項問題時，一般是利用通項公式，把問題轉(zhuǎn)化為解方程(或方程組)．這里必須注意隱含條件n，r均為非負整數(shù)且r≤n.考點一通項公式的應用二、題型與方法通項公式中含有a，b，n，r，Tr＋15個元素37

已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項。例1(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項．例1(1)求n；38變式求展開式中的有理項變式求展開式中的有理項39【規(guī)律小結(jié)】

(1)對求指定項、常數(shù)項問題，常用待定系數(shù)法，即設第r+1項是指定項（常數(shù)項），利用通項公式寫出該項，對同一字母的指數(shù)進行合并，根據(jù)所給出的條件(特定項)，列出關于r的方程(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項；(2)求二項展開式中的有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這種類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項的方式一致．【規(guī)律小結(jié)】(1)對求指定項、常數(shù)項問題，常用待定系數(shù)法，40例2(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項．已知的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992，求的展開式中：例2(1)二項式系數(shù)最大的項；已知41變式:已知(

)n(n∈N*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10∶1，(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中含

的項；(3)求展開式中所有的有理項；(4)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項．變式:已知( )n(n∈N*)的展開式42課堂互動講練1．根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大．2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項不同，求展開式中系數(shù)最大項的步驟是：先假定第r＋1項系數(shù)最大，則它比相鄰兩項的系數(shù)都不小，列出不等式組并求解此不等式組求得．【規(guī)律小結(jié)】課堂互動講練1．根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二43課堂互動講練考點二二項式定理展開式的應用

利用二項展開式可以解決如整除、近似計算、不等式證明、含有組合數(shù)的恒等式證明，以及二項式系數(shù)性質(zhì)的證明等問題．

課堂互動講練考點二二項式定理展開式的應用44例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x745變式:

若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(

) A．1 B．－1C．0D．2

A變式:若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a246【規(guī)律小結(jié)】對二項式展開式中系數(shù)、系數(shù)和問題，常用賦值法，一般地，要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系，令x＝0得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)和，令x＝－1可得奇數(shù)次項系數(shù)之和與偶數(shù)次項系數(shù)之和的差，而當二項展開式中含負值項時，令x＝－1則可得各項系數(shù)絕對值之和．【規(guī)律小結(jié)】對二項式展開式中系數(shù)、系數(shù)和問題，常用賦值法，一47考點三二項式定理的靈活應用

求的展開式的常數(shù)項。例4考點三二項式定理的靈活應用求48變式：（1）求（x2+x+1)13展開式中x5的系數(shù)；（2）求（2x-1)6(3+x)5展開式中x3的系數(shù).變式：（1）求（x2+x+1)13展開式中x5的系數(shù)；49考點四整除或余數(shù)問題例5求證：能被7整除。

考點四整除或余數(shù)問題例5求證：50求的近似值，使誤差小于例6求的近似值，使誤差小于例651規(guī)律方法小結(jié)（1）整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)規(guī)律方法小結(jié)（1）整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的52（2）由，當?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以