2023屆福建省福州格致中學(xué)高三上學(xué)期期中線上數(shù)學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆福建省福州格致中學(xué)高三上學(xué)期期中線上數(shù)學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，再由交集并集的定義可判斷AB，有子集的定義可判斷CD【詳解】因為，，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤，D正確；故選：D2．復(fù)數(shù)的實部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘方運算、除法運算求出復(fù)數(shù)z即可作答.【詳解】因，則，所以的實部為．故選：D3．如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉為正四棱臺，已知該四棱臺的上底面棱長為40，下底面棱長為20，側(cè)棱長為20，則該款粉碎機進物倉的體積為（

）A．14000 B．2800 C． D．【答案】D【分析】先畫出滿足題意的正四棱臺，過點作于點，過點作于點，根據(jù)正棱臺的結(jié)構(gòu)特征，求出該棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】畫出滿足題意的正四棱臺如下，則上底面的棱長為，下底面的棱長為，側(cè)棱，則，，上底面的面積為，下底面的面積為，過點作于點，過點作于點，根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可得：與都是該正棱臺的高，且，，因此，所以正四棱臺的體積為，即該款粉碎機進物倉的體積為.故選：D.4．七巧板，又稱七巧圖、智慧板．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學(xué)從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題得，利用古典概型的概率公式得解.【詳解】解：如圖所示，易知．△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF分別記為，，，，，從這5個三角形中任取出2個，則樣本空間，共有10個樣本點．記事件N表示“從5個三角形中任取出2個，這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和”，則事件N包含的樣本點為，，，共3個，所以．故選：D．5．已知，，則（

）A． B． C．2 D．－2【答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為所以由得，因此，由二倍角公式可得，故選：B6．已知函數(shù)滿足（其中是的導(dǎo)數(shù)），若，，，則下列選項中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可得，，所以在上遞增，然后由可得答案.【詳解】因為（），所以，所以，令，則，，所以在上遞增，因為，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后，結(jié)合已知條件可得在上遞增，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.7．已知雙曲線的右焦點為F，以F為圓心，以為半徑的圓交雙曲線C的右支于P，Q兩點（O為坐標原點），的一個內(nèi)角為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)易知為等邊三角形，應(yīng)用正弦定理可得，進而確定坐標，代入雙曲線方程結(jié)合參數(shù)關(guān)系，得到雙曲線參數(shù)的齊次方程，進而求離心率.【詳解】由題設(shè)，易知為等邊三角形，且，則，所以坐標為，則，整理得，又，可得，故.故選：A二、多選題8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記．若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由上下平移均滿足題設(shè)即可判斷A選項；由得即可判斷B選項；由函數(shù)的軸對稱以及中心對稱即可判斷C、D選項.【詳解】對于A，令，定義域為R，則，，，又，則，顯然也滿足題設(shè)，即上下平移均滿足題設(shè)，顯然的值不確定，A錯誤；對于B，，則，即，，令可得，則，B正確；對于C，由即，則，令，顯然滿足要求，則關(guān)于對稱，又可得關(guān)于對稱，則，C錯誤；對于D，由可得關(guān)于對稱，則；由可得關(guān)于對稱，則，D正確.故選：BD.【點睛】本題的關(guān)鍵點在于通過復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算得到函數(shù)的對稱軸及對稱中心，通過函數(shù)的軸對稱以及中心對稱的性質(zhì)得出函數(shù)的周期性即可求解.9．為推動學(xué)校體育運動發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，增強健康管理意識，某校根據(jù)性別比例采用分層抽樣方法隨機抽取了120名男生和80名女生，調(diào)查并分別繪制出男、女生每天在校平均體育活動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），則（

）A． B．該校男生每天在校平均體育活動時間中位數(shù)的估計值為75C．估計該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時 D．估計該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為【答案】AC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出樣本的數(shù)字特征，根據(jù)樣本數(shù)字特征即可估計總體數(shù)字特征.根據(jù)各小矩形面積之和等于1，即可解出a的值；中位數(shù)是小矩形面積之和累計為0.5的值；分別求出活動時間超過一小時的男生和女生，即可判斷；分別求出活動時間不低于80分鐘的男生和女生，即可判斷.【詳解】A：由已知得，10a+10×0.020+10×0.035+10×0.020+10a+10×0.005=1，解得，；B：，前兩個小矩形面積之和為0.3，即中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為m，則有，解得，該校男生每天在校平均體育活動時間中位數(shù)的估計值為65.7；C：根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為10×(0.035+0.020+0.010+0.005)=0.700，人數(shù)為；女生中每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為10×(0.030+0.010+0.005)=0.450，人數(shù)為.則可得，學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時的頻率為，所以該校至少有一半學(xué)生每天在校平均體育活動時間超過一小時；D：根據(jù)頻率分布直方圖可得，男生中每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的頻率為10×(0.010+0.005)=0.15，人數(shù)為；女生中每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的頻率為10×0.005=0.050，人數(shù)為，所以每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為，所以該校每天在校平均體育活動時間不低于80分鐘的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為9:2.故選：AC.10．已知向量，則（

）A．，則 B．C．與的夾角正弦值為 D．向量在向量上的投影向量為【答案】ACD【分析】求出即可判斷A；根據(jù)平面向量共線的坐標表示即可判斷B；求出兩向量夾角的余弦值，從而可判斷C，根據(jù)投影向量的計算公式計算即可判斷D.【詳解】解：對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，因為，所以與不平行，故B錯誤；對于C，，則，所以與的夾角正弦值為，故C正確；對于D，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ACD.11．設(shè)直線：與圓：交于不同的兩點，已知，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)點到直線距離公式得到，利用垂徑定理得到，從而，構(gòu)造等比數(shù)列，求出，進而求和及用裂項相消法判斷D選項.【詳解】圓心到直線的距離，則，即，所以，從而，又，所以是首項為2，公比是2的等比數(shù)列，所以，故，A錯誤，B正確；，C正確；，故，D正確故選：BCD12．在直角坐標系中，拋物線與直線交于P，Q兩點，且.拋物線C的準線與x軸交于點M，是以M為圓心，為半徑的圓上的一點（非原點），過點G作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B.則（

）A． B．直線AB的方程為C． D．面積的最大值是【答案】BC【分析】利用向量的數(shù)量積等于0可求得，判斷A；確定拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)表示出拋物線切線方程，結(jié)合兩點確定一條直線可得AB方程,判斷B；求出以為圓心，為半徑的圓的方程，即可知，判斷C；求出弦長AB,求出點到直線的距離，即可表示出面積，從而求得其最大值，判斷D.【詳解】依題意可設(shè)，則,因為，所以，故.又，所以,故拋物線的方程為，A錯誤；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，由可得，，所以直線的斜率為，則直線的方程為，化簡為；同理求得的方程為，因為點在直線，上，所以，由此可知,的坐標都滿足,由于兩點確定一條直線，故可得直線AB的方程為，B正確；由A的分析可知拋物線的準線方程為，故,所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，由于為圓上動點（非原點），故，C正確；聯(lián)立方程組，整理得，,則，故，點到直線的距離，故的面積，由題可知，，則圓的方程為，故，因為，所以，所以，故面積的最大值為，D錯誤；故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：拋物線切線方程的求法以及三角形面積最值的求解.三、填空題13．展開式中的常數(shù)項是______.【答案】【分析】根據(jù)二項式的展開式的通項即得.【詳解】由題意的展開式的通項為，令，則，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：______.①；②當時，；③是奇函數(shù).【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題設(shè)性質(zhì)寫出一個滿足要求的函數(shù)解析式即可.【詳解】①由，即滿足；②對于，在上要使導(dǎo)函數(shù)恒成立，故，所以；③由②知：，注意定義域要關(guān)于原點對稱，滿足是奇函數(shù)；綜上，且，滿足上述要求.故答案為：（答案不唯一）15．己知是圓上兩點，若，則的最大值為______.【答案】4【分析】根據(jù)表示兩點到直線的距離之和，結(jié)合兩點到直線的距離之和等于線段的中點到直線的距離的2倍，求出線段的中點到直線的距離的最大值即可.【詳解】解：由，得為等腰直角三角形，設(shè)為的中點，則，且，則點在以為圓心，為半徑的圓上，表示兩點到直線的距離之和，兩點到直線的距離之和等于中點到直線的距離的2倍，點到直線的距離為，所以點直線的距離的最大值為，所以的最大值為，所以的最大值為.故答案為：4.16．已知等腰內(nèi)接于圓O，點M是下半圓弧上的動點（不含端點，如圖所示）.現(xiàn)將上半圓面沿AB折起，使所成的二面角為.則直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為______.【答案】##0.5【分析】取下半圓弧的中點D，連接OC，OD，以點O為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】在折后的圖形中，取下半圓弧的中點D，連接OC，OD，如圖，依題意，平面，于是得平面，且是二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過點O作，因此射線兩兩垂直，以點O為原點，射線分別為非負半軸建立空間直角坐標系，令，則，設(shè)點，顯然有，于是得，令直線AC與直線OM所成的角為，因此，當且僅當，即時取等號，顯然直線AC與直線OM為異面直線，即，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此取最大值時，角取最小值，，所以直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為.故答案為：【點睛】思路點睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個三角函數(shù)建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.四、解答題17．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前40項的和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項；（2）分析中前40項中與各有多少項，分別求和即可．【詳解】（1）由題設(shè)得：，∵，則，故是首項，公差為2的等差數(shù)列，∴，當時，得：，當，由①，②，由①－②整理得：，，∴，故，∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項．由，（）得：，∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前8項：，，……，，含有數(shù)列的前32項：，，，……，；∴．18．近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機構(gòu)隨機調(diào)查了某市2015-2021年的家庭教育支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應(yīng)2015-2021年）.經(jīng)計算得，.(1)用一元線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并說明y與t相關(guān)性的強弱；(2)建立y關(guān)于t的回歸直線方程；(3)若2023年該市某家庭總支出為10萬元，預(yù)測2023年該家庭的教育支出.附：①相關(guān)系數(shù)；②在回歸直線方程中，.【答案】(1)，相關(guān)性很強；(2)；(3)萬元.【分析】（1）由公式計算相關(guān)系數(shù)并判斷相關(guān)性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2023年對應(yīng)的年份代碼，代入回歸方程即可得到教育支出占比，即可預(yù)測2023年該家庭的教育支出【詳解】（1）由題意得，，則，故，故，∵，∴y與t高度相關(guān)，即y與t的相關(guān)性很強．（2）根據(jù)題意，得，，∴y關(guān)于t的回歸直線方程為．（3）2023年對應(yīng)的年份代碼，當時，，故預(yù)測2023年該家庭的教育支出為（萬元）．19．“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一大塊麥田里玩，幾千幾萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說，除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊平面四邊形的麥田里成為守望者．如圖所示，為了分割麥田，他將B，D連接，經(jīng)測量知，．(1)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，都為一個定值，請你證明霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)小麥的生長和發(fā)育與分割土地面積的平方和呈正相關(guān)關(guān)系，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可計算推理作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積定理列出函數(shù)關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)最值求解作答.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，即，在中，，即，因此，即，所以．（2）顯然，，于是得，由（1）知，因此，在中，，在中，，則，由，得，即有，從而當時，，所以的最大值是．20．已知直線與拋物線交于A，B兩點，M為線段AB的中點，點N在拋物線C上，直線MN與y軸平行.(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線l平行；(2)若，求拋物線C的方程.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理求出N點坐標，進而設(shè)出切線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用求出切線斜率即可證明；（2）設(shè)，由及韋達定理即可求解.【詳解】（1）證明：由題意，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，即，所以，設(shè)，則，由題意，拋物線在點處的切線斜率存在且不為0，設(shè)切線方程為，由，可得，因為，解得，所以拋物線在點處的切線為，所以切線與直線平行；（2）解：設(shè)，由題意有，即，所以，又，將式代入上式，可得，解得或（舍去），所以拋物線的方程為.21．已知點是橢圓C：（）的左焦點，且橢圓C經(jīng)過點．過點作