2023屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定義即可得出答案.【詳解】，，所以.故選：C.2．已知是虛數(shù)單位，，則（

）A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】由已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，由模長(zhǎng)公式可得答案．【詳解】；；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的求解，涉及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．牛頓冷卻定律描述一個(gè)事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時(shí)間后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在55℃．經(jīng)測(cè)量室溫為25℃，茶水降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．4分鐘 B．5分鐘 C．6分鐘 D．7分鐘【答案】C【分析】根據(jù)已知條件代入公式計(jì)算得到，再把該值代入，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，即設(shè)茶水從降至大約用時(shí)t分鐘，則，即，即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：解得，所以從泡茶開始大約需要等待分鐘故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，考查學(xué)生的審題分析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出，進(jìn)而求出公比的取值范圍并用表示出，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，因?yàn)?，所以，從而不妨令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故對(duì)于，，，從而，則.故的取值范圍為.故選：D.5．將數(shù)字1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)排成一列組成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出這五個(gè)數(shù)隨機(jī)排成一列組成一個(gè)數(shù)列的所有可能情況，該數(shù)列為先減后增，可知1一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，結(jié)合1前面的情況，分類討論求出滿足條件的情況數(shù)，最后根據(jù)古典概型求出概率即可．【詳解】解：將數(shù)字1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)排成一列組成一個(gè)數(shù)列，則所有可能情況有種情況，由于該數(shù)列為先減后增，則1一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，當(dāng)1前面只有一個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，當(dāng)1前面只有2個(gè)數(shù)時(shí)，有種情況，當(dāng)1前面有3個(gè)數(shù)時(shí)，有4種情況，故一共有，故數(shù)列為先減后增數(shù)列的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)排列問題，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、排列和組合在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及古典概型的概率的公式，考查分類討論思想和運(yùn)算能力．6．函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為，則（）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】試題分析：的對(duì)稱軸是化簡(jiǎn)得【解析】三角函數(shù)性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：利用對(duì)稱軸處取最值求解7．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出和的大小，從而可得出的大小關(guān)系，將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后作差，從而可得出的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】解：，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，綜上所述.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了比較大小的問題，考查了同構(gòu)的思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，有一定的難度.8．定義在R上的函數(shù)滿足：的對(duì)稱軸為，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，已知是鈍角三角形中的兩銳角，則和的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能【答案】A【分析】由題意可推得函數(shù)為偶函數(shù)且2為其一個(gè)周期，由此判斷其單調(diào)性情況，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】由題意知的對(duì)稱軸為，可得的對(duì)稱軸為，即有，函數(shù)為偶函數(shù)，又，即，可得，即為，即2為函數(shù)的的周期，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得在上遞減，由是鈍角三角形中兩銳角，可得，即有，則，即為，則，故選：A.9．醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率.若生產(chǎn)狀態(tài)正常，有如下命題：甲：；乙：的取值在內(nèi)的概率與在內(nèi)的概率相等；丙：；?。河洷硎疽惶靸?nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，；）其中假命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)可判斷甲；根據(jù)兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度相等，對(duì)稱軸落在區(qū)間可判斷乙；根據(jù)概率的對(duì)稱性可判斷丙；求出1只口罩的的過濾率大于的概率，再由二項(xiàng)分布的概率以及對(duì)立事件的概率即可判斷丁，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由知，，，對(duì)于甲：由正態(tài)分布曲線可得：，故甲為真命題；對(duì)于乙：，兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度均為1個(gè)，但，由正態(tài)分布性質(zhì)知，落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故乙是假命題；對(duì)于丙：由知，丙正確；對(duì)于?。?只口罩的的過濾率大于的概率，，所以，，故丁是真命題.故選：B.二、多選題10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．內(nèi)切圓的半徑為C．D．點(diǎn)到軸的距離為【答案】ABD【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程即可判斷A；因?yàn)?，?duì)兩邊同時(shí)平方結(jié)合勾股定理可求得，再由代入可判斷C；由求得內(nèi)切圓的半徑可判斷B；由等面積法可判斷D.【詳解】解：由雙曲線的方程，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確；因?yàn)椋?，，所以，，解得，故，C錯(cuò)誤；內(nèi)切圓的半徑為，B正確；設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，由的面積為，可得，解得.故選：ABD．11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）．A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．直線和夾角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【解析】由與不垂直，所以直線與直線不垂直，可判定A不正確；取的中點(diǎn)，分別連接，根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面平面，進(jìn)而判定B正確；連接，把直線和所成的角即為直線和所成的角，在等邊中，可判定C正確；根據(jù)等體積法，可判定D正確.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，可得，又由與不垂直，所以直線與直線不垂直，所以A不正確；取的中點(diǎn)，分別連接，可得，進(jìn)而可得平面，平面，根據(jù)面面平行的判定定理，可得平面平面，又由平面，所以平面，所以B正確；連接，可得，所以直線和所成的角即為直線和所成的角，即，在等邊中，可得，即直線和所成的角的余弦值為，所以C正確；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，在直角中，，在直角中，，在中，，又在中，由余弦定理可得，則，所以的面積為，因?yàn)椋傻?，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以D正確.故選：BCD12．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，下列命題正確的有（

）A．成立B．成立C．在上有兩個(gè)零點(diǎn)D．“”是“成立”的充要條件【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性判斷B；分析函數(shù)在上的單調(diào)性判斷C；利用充要條件的定義判斷D作答.【詳解】依題意，，對(duì)于A，，令，則，令，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，當(dāng)時(shí)，，因此在上遞減，，即恒成立，A正確；對(duì)于B，令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)知，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，而，即函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，因此函數(shù)在有1個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)知，不等式成立，反之，若，，令，，，由選項(xiàng)B知，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，因此當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，綜上得，所以“”是“成立”的充要條件，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題13．已知，則的值為___________.【答案】【分析】賦值法求，根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)求，即可求.【詳解】令，由的展開式的通項(xiàng)為，令，得，令，得，所以，所以.故答案為：14．如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則______.【答案】【分析】以，為基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由于可得，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查向量的加法運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15．已知函數(shù)，若直線與曲線相切，求最大值_____________.【答案】【分析】先利用直線與曲線相切得到，所以.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求出g(a)的最大值.【詳解】設(shè)直線y=x與曲線相切于點(diǎn).因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)镻在切線y=x上，所以，所以，因此.設(shè)，則由，令，解得：；令，解得：；所以g(a)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知g(a)的最大值為，所以ab的最大值為.故答案為：四、雙空題16．已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，則________；若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則_________.【答案】

16

4【分析】由題可得，可設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，可得，根據(jù)拋物線方程可得，，進(jìn)而可得，再結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，則，因?yàn)?，所以，又，∴，，∴，又的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，∴，即，∴，即.故答案為：16；4.五、解答題17．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求外接圓面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式將已知轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，解一元二次方程可得；（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圓半徑的最小值，然后可解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得或（舍去），又為銳角三角形，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為.18．已知數(shù)列滿足.(1)若，證明是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得均為等差數(shù)列，求出它們的通項(xiàng)后再利用等差數(shù)列的定義可證明是等差數(shù)列；（2）利用分組求和和裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故均為等差?shù)列，公差均為3，故，且，故，所以，所以是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而19．在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)，在線段上，滿足，.（1）求證：；（2）若為線段上的一點(diǎn)，且平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明，再證明可得，由線面垂直的判定定理證明平面，即可求證；（2）連接交于點(diǎn)，連接，由可得，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，即可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，，，，，所以四邊形為矩?因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，由（1）知平面，則為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．甲?乙?丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，敗者下場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去，三人經(jīng)過抽簽決定由甲?乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)每局比賽中：甲乙比賽甲勝概率為，乙丙比賽乙勝概率為，丙甲比賽丙勝概率為，每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立且每場(chǎng)比賽沒有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲?乙?丙各勝1局的概率；(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)丙作為旁觀者的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求的X分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為．【分析】（1）用表格列舉出4局比賽的可能對(duì)手情況，可分析出甲?乙?丙各勝1局的兩種情形，由此可計(jì)算出概率；（2）由比賽規(guī)則分析丙至少比賽2局，因此可得的可能值為1或2，計(jì)算出概率后得分布列，由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）用表格列出4局比賽可能的對(duì)手．1234甲乙甲丙甲乙甲丙乙丙丙乙丙甲乙甲乙丙乙甲乙丙甲丙丙甲丙乙甲乙考慮前3局，甲?乙?丙各勝1局，有兩種情形：第一局若甲勝，則第2局甲丙比賽，丙勝，第3局丙乙比賽，乙勝，第一局若乙勝，則第2局乙丙比賽，丙勝，第3局丙甲比賽，甲勝，所求概率為．（2）根據(jù)比賽規(guī)則，丙第一局作為旁觀者，第二局必須參賽，第三局如果是旁觀者，則第四局必定參與比賽，而第三局比賽時(shí)，第四局可能參與比賽了可能作為旁觀，的可能值是1或2．由（1）中表格知，，，所以的分布列為12．21．如圖，橢圓M：的兩焦點(diǎn)為，，A，B是左右頂點(diǎn)，直線l與橢圓交于異于頂點(diǎn)的C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BC斜率之積為．(1)求橢圓M的方程；(2)直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)分別為，，則是否為常數(shù)，若是，求出該常數(shù)值；若不是，