微積分教學(xué)課件第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.12.22.32.4導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則微分高階導(dǎo)數(shù)第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.12.22.32.4導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)的12.1導(dǎo)數(shù)的概念第二章

1、引例2、導(dǎo)數(shù)的定義3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義4、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2.1導(dǎo)數(shù)的概念第二章2一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為32.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN的斜率切線MT的斜率2.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極4兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量5二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:6運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的切線斜率說(shuō)明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的7若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說(shuō)函數(shù)就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在8例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)9說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明10例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得11例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:即或12原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.設(shè)存在,求極限解:原式原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可13三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線過(guò)下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線14例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行15四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x處16在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在17定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存182.2函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一二四三2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)19思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明20一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則定理1.的和、差、積、商(除分母為21此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.例如,此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:設(shè),則故結(jié)論成立.例22(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))23例1.解:例1.解:24(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))25例2.

求證證:類似可證:例2.求證證:類似可證:26二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在x處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證27例3.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可282)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):29在點(diǎn)x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x可導(dǎo),證:在點(diǎn)u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有在點(diǎn)x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)30例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣31四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P322.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)332.3函數(shù)的微分第二章微分的概念微分運(yùn)算法則微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1231232.3函數(shù)的微分第二章微分的概念微分運(yùn)算法則微分在近似34一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化35的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A36定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則37定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處38說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故39微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切40例如,又如,例如,又如,41二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,42例1.求解:例1.求解:43三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:44特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得45的近似值.解:設(shè)取則例4.求的近似值.解:設(shè)取則例4.求462.4高階導(dǎo)數(shù)2.4高階導(dǎo)數(shù)47一、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)48定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為49設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得50例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例351例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:例4.設(shè)求解:一般地,類似可證:52例5.設(shè)解:例5.設(shè)解:53例6.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)例6.設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)54二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊55用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立.用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立.56例7.求解:設(shè)則代入萊布尼茲公式,得例7.求解:設(shè)則代入萊布尼茲公式,得57例8.設(shè)求解:即用萊布尼茲公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得例8.設(shè)求解:即用萊布尼茲公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由58第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.12.22.32.4導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則微分高階導(dǎo)數(shù)第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.12.22.32.4導(dǎo)數(shù)概念函數(shù)的592.1導(dǎo)數(shù)的概念第二章

1、引例2、導(dǎo)數(shù)的定義3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義4、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2.1導(dǎo)數(shù)的概念第二章60一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為612.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN的斜率切線MT的斜率2.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極62兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量63二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:64運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的切線斜率說(shuō)明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的65若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說(shuō)函數(shù)就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在66例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)67說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明68例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得69例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:即或70原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.設(shè)存在,求極限解:原式原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可71三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線過(guò)下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線72例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行73四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x處74在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在75定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存762.2函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一二四三2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)77思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明78一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則定理1.的和、差、積、商(除分母為79此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.例如,此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:設(shè),則故結(jié)論成立.例80(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))81例1.解:例1.解:82(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))83例2.

求證證:類似可證:例2.求證證:類似可證:84二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在x處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證85例3.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可862)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):87在點(diǎn)x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x可導(dǎo),證:在點(diǎn)u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有在點(diǎn)x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)88例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣89四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P902.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)912.3函數(shù)的微分第二章微分的概念微分運(yùn)算法則微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1231232.3函數(shù)的微分第二章微分的概念微分運(yùn)算法則微分在近似92一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化93的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A94定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則95定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處96說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故97微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切98例如,又如,例如,又如,99二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則