隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件

隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計對于實際系統(tǒng)中隨機(jī)活動進(jìn)展研究時，往往由于眾多的隨機(jī)因素使得數(shù)學(xué)描述和分析變得十分困難，這時我們往往求助于計算機(jī)仿真。仿真為這類復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)的研究提供了一個方便有效的手段。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成1對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計對于實際系統(tǒng)中隨機(jī)活動進(jìn)展研究時，往往由于眾多的隨機(jī)因素使得數(shù)學(xué)描述和分析變得十分困難，這時我們往往求助于計算機(jī)仿真。仿真為這類復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)的研究提供了一個方便有效的手段。對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計2隨機(jī)變量：對于隨機(jī)活動的不同結(jié)果我們可以用不同的數(shù)值與其對應(yīng)。這樣，就可以用一個變量來描述隨機(jī)活動，變量按一定的概率取某個值對應(yīng)于隨機(jī)活動按一定的概率取某個結(jié)果。離散型隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量只取有限個數(shù)值或可列無窮多個數(shù)值，那么稱此類隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量可以取值于某個區(qū)間中的任一數(shù)，我們稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量：對于隨機(jī)活動的不同結(jié)果我們可以用不同的數(shù)值與其對應(yīng)3離散型隨機(jī)變量

數(shù)學(xué)定義

數(shù)學(xué)定義：如果一個隨機(jī)變量x的一切可能取值為x1，x2，…，xn，…，并且X取值xn的概率為Pn，那么X為一個離散型隨機(jī)變量，{p1，p2，...，pn，...}稱為X的概率函數(shù)。其中Pn必須滿足以下兩個條件：〔1〕〔2〕離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)定義數(shù)學(xué)定義：如果一個隨機(jī)變量4離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量X的累積分布函數(shù)定義，當(dāng)X小于或等于某個給定值x的概率函數(shù)，記為P(X≤x)=F(x)。設(shè)隨機(jī)變量X可能取值x1，x2，…，xn，…，那么X的累積分布函數(shù)為其中為X取值的概率。由定義可見 當(dāng)x<y時，F(xiàn)(x)≤F(y)，即F(x)是個單調(diào)增加的函數(shù)。離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量X的累積分布5連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義：假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間(a，b)的概率為P(a<x≤b)=，那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的密度函數(shù)。對于密度函數(shù)f(x)有連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義：假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f(x)6連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)定義為隨機(jī)變量小于或等于x的概率。它用F(x)表示，即由累積分布函數(shù)定義可知，當(dāng)時，。累積分布函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的累積分布函7概率密度函數(shù)

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累積分布函數(shù)隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a，b)內(nèi)的概率是。圖中給出了一個連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線。密度函數(shù)f(x)的值不能為負(fù)，要注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任意區(qū)間(a，b)上由f(x)曲線圍出的面積(圖中陰影局部)必然<1。從圖中也可以看到累積分布函數(shù)F(x)的值隨x值的增加而增加，而且它最終趨向極限值1。概率密度函數(shù)

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累積分布函數(shù)隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a，b)內(nèi)8隨機(jī)變量的數(shù)字特征

定義：隨機(jī)變量的數(shù)字特征是與它的分布有關(guān)的某些數(shù)值，例如平均值、最大可能值等，它們反映了隨機(jī)變量某些方面的特征。分類：根據(jù)隨機(jī)變量的種類：分別介紹離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義：隨機(jī)變量的數(shù)字特征是與它的分布有關(guān)9離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為離散隨機(jī)變量，其概率函數(shù)由下表給出：其中記，稱為X的平均值。數(shù)學(xué)方差Xx0x1x2……xn…P{X=Xi}P0P1P2……Pn…數(shù)學(xué)方差反映了各個隨機(jī)變量的采樣值偏離平均值的平均程度變化系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，反映了隨機(jī)數(shù)偏離平均值的變化程度。變化系數(shù)=離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為離散隨機(jī)變量，其概率函10連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，那么該隨機(jī)變量的平均值m為：平均值又稱為數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)方差變化系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，反映了隨機(jī)數(shù)偏離平均值的變化程度。變化系數(shù)=數(shù)學(xué)方差反映了各個隨機(jī)變量的采樣值偏離平均值的平均程度連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為隨機(jī)變量，其概率密度函11隨機(jī)變量的其它數(shù)字特征模值定義為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某處取峰值時的x值。當(dāng)有多個峰值時，取最大峰值作為模值。中間值：如果有一點Xm，隨機(jī)變量有一半值將落在這一點以下，那么由此點所定義的值Xm稱為中間值b中間值可以從累積分布函數(shù)曲線上求得，因為它是處的那個點。

在x=1處時f(x)均到達(dá)峰值，那么x=1就是隨機(jī)變量的模值。中間值：Xm=1.6783469隨機(jī)變量的其它數(shù)字特征模值定義為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某處12數(shù)理統(tǒng)計中的根本運(yùn)算規(guī)那么，X一隨機(jī)變量，那么E(αX)=αE(X)X，Y為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X一隨機(jī)變量，那么D(αX)=α2D(X)，X一隨機(jī)變量，那么D(X+α)=D(X)X，Y為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y)數(shù)理統(tǒng)計中的根本運(yùn)算規(guī)那么，X一13隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)變數(shù)〔RandomVariates〕離散隨機(jī)系統(tǒng)仿真模型中有許多隨機(jī)因素，在模型運(yùn)行過程中，需要系統(tǒng)不斷地從各種概率分布生成一些隨機(jī)的數(shù)值〔通過調(diào)用分布函數(shù)生成〕，如一個個顧客到達(dá)時間間隔〔可能服從指數(shù)分布〕，一個個機(jī)器效勞時間〔可能服從愛朗分布〕，這些從某種分布生成的隨機(jī)數(shù)值稱為隨機(jī)變數(shù)。隨機(jī)數(shù)〔Randomnumbers〕從[0,1]區(qū)間上的均勻分布生成的隨機(jī)變數(shù)為隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)的關(guān)系在仿真軟件中，各種不同分布的隨機(jī)變數(shù)都是由隨機(jī)數(shù)經(jīng)過某種變換得到的，因此，要得到隨機(jī)變數(shù)，首先需要生成[0,1]區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)變數(shù)〔RandomVariates〕14隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)如何生成真正均勻分布的、獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)成為仿真軟件的一個重要根底。偽隨機(jī)數(shù)仿真軟件生成的隨機(jī)數(shù)序列實際上是利用數(shù)學(xué)公式遞推計算得出的，因此，這些隨機(jī)數(shù)實際上是事先就可以確定的，因而并非是真正隨機(jī)的，故又稱為偽隨機(jī)數(shù)。但是這些偽隨機(jī)數(shù)能夠通過均勻性和獨(dú)立性的統(tǒng)計檢驗，因而可以用于仿真研究。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)如何生成真正均勻分布的、獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)成為仿真15隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件16隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)17(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的定義(0，1)均勻分布隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為累積分布函數(shù)(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的定義(0，1)均勻分布隨機(jī)變量x的18(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的說明隨機(jī)變量x落入?yún)^(qū)間(X1，X2)中的概率等于圖中陰影區(qū)的面積，其值為(X2-X1)，正比于區(qū)間(X1，X2)的大小。需要說明的是在計算機(jī)上表示連續(xù)變量只能是近似的，因為計算機(jī)中的數(shù)字只能是有限的位數(shù)。如果變量變化的最小步長可以到達(dá)計算機(jī)表示的最小值，并且在實際需要的精度之內(nèi)變量可以到達(dá)任意值，就可以把這個變量看成是連續(xù)的。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的說明隨機(jī)變量x落入19(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法物理過程：常用的物理裝置有放射粒子計數(shù)器、電子管隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器。利用電子噪聲或放射源去鼓勵一個周期為0~9的計數(shù)器，對計數(shù)器定時選行采樣就可以得到所需的隨機(jī)數(shù)的一位數(shù)。屢次重復(fù)此過程或者利用幾個計數(shù)器同時運(yùn)行，就可以得到任意位數(shù)的隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)表：利用物理過程可以得到大量隨機(jī)數(shù)，并將這些數(shù)制成表。在使用隨機(jī)數(shù)時就可以依一定的順序從表中取出隨機(jī)數(shù)。為了適應(yīng)實際需要的位數(shù)，對取出的隨機(jī)數(shù)可以進(jìn)展截斷或拼接處理。隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生程序：按照一定的算法計算出具有類似于均勻分布隨機(jī)變量的獨(dú)立取樣值性質(zhì)的數(shù)。因為這些數(shù)是按照定性的算法計算出來的，會有一定的周期性，因而被稱為偽隨機(jī)數(shù)。由于我們的目的是利用隨機(jī)數(shù)來對隨機(jī)活動的統(tǒng)計分析，只要偽隨機(jī)數(shù)的數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)能夠滿足實際需要就可以了。這些數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)包括均勻性、獨(dú)立性等。一般計算機(jī)上，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)為〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法物理過程：常用的物理裝置有20計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法

用計算機(jī)程序通過計算產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都是偽隨機(jī)數(shù)，它具有一定的周期性。計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的特點：實用性強(qiáng)、簡單易操作、產(chǎn)生速度快、計算機(jī)存儲空間的要求低。計算機(jī)上用數(shù)字方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的一般要求有：

1.

產(chǎn)生的數(shù)值序列要具有分布的均勻性、抽樣的隨機(jī)性、試驗的獨(dú)立性以及前后的一致性。

2.

產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)要有足夠長的周期，以滿足你真的實際需要。

3.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的速度要快，占用的內(nèi)存空間要小。計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法用計算機(jī)程序通過計算產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都是21隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件22隨機(jī)數(shù)生成器隨機(jī)數(shù)生成器(Randomnumbergenerator)在仿真軟件中，采用某種方法來生成[0,1]區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)的程序稱為隨機(jī)數(shù)生成器。不同仿真軟件的隨機(jī)數(shù)生成器采用的隨機(jī)數(shù)生成方法可能不同，由于隨機(jī)數(shù)的質(zhì)量直接關(guān)系到仿真結(jié)果是否可信，因此，建模人員需要了解仿真軟件的隨機(jī)數(shù)生成器是否是高質(zhì)量的生成器。隨機(jī)數(shù)生成器種類繁多，以下介紹幾個仿真軟件中比較常見的隨機(jī)數(shù)生成器。隨機(jī)數(shù)生成器隨機(jī)數(shù)生成器(Randomnumbergen23計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的通常方法是利用一個遞推公式：給定了k個初始值，就可以利用這個遞推公式推算出第k+1個數(shù)Xk+1：遞推公式有多種形式，其中最常見的有兩種：

-平方取中法

-同余法

計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的通常方法是24平方取中法這是最早產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一種方法，一個二進(jìn)制n位數(shù)X，自乘后一般得到一個2n位數(shù)X2。設(shè)平方后得到：取X0中間的n位數(shù)(設(shè)n為偶數(shù))作出如下的二進(jìn)制n位數(shù)：重復(fù)上述過程，可得二進(jìn)制n為數(shù)序列，，…。令，那么，，…就是所需要的(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)序列。平方取中法這是最早產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一種方法，一個25平方取中法

——步驟任取一十進(jìn)制正整數(shù)確定一偶數(shù)位數(shù)n將所選十進(jìn)制數(shù)化為n位的二進(jìn)制數(shù)平方運(yùn)算得到2n位的二進(jìn)制數(shù)取2n位二進(jìn)制數(shù)的中間n位作為生成的隨機(jī)數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)=上一隨機(jī)數(shù)否是隨機(jī)數(shù)進(jìn)入循環(huán)平方取中法

——步驟任取一十進(jìn)制正整數(shù)確定一偶數(shù)位數(shù)n將所選26平方取中法——例題任取一正整數(shù)：45表示為偶數(shù)位的二進(jìn)制數(shù)：101101，共6位該數(shù)的平方為：，共6×2=12位取中間的六位，得：111101，該數(shù)的十進(jìn)制表達(dá)式為61……最終可以產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)：

45，61，17，36，34，16，32，0，……問題：應(yīng)用平方取中法時，可能遇到“退化〞的危險，即出現(xiàn)中間所取得值都為0，或形成重復(fù)循環(huán)序列的現(xiàn)象?！椒饺≈蟹ǖ南拗破椒饺≈蟹ā}任取一正整數(shù)：45問題：27同余法同余法是將一組數(shù)據(jù)通過一系列特定的數(shù)字運(yùn)算，最后利用一個數(shù)字的整除求余，所得的數(shù)值就是一個偽隨機(jī)數(shù)。因為這個計算過程，那么稱該求隨機(jī)數(shù)的方法為同余法。同余法的有三種：加同余法、乘同余法和混合同余法。其中以混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)統(tǒng)計性質(zhì)較好，因而獲得了最為廣泛的應(yīng)用。同余法具有計算簡便的優(yōu)點。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的遞推公式是：其中a稱為乘法因子，c稱為加法因子，M為模數(shù)〔為隨機(jī)數(shù)的周期〕。當(dāng)a=1時，加同余法；當(dāng)c=0時，乘同余法；當(dāng)a≠1、c≠0時，混合同余法。同余法同余法是將一組數(shù)據(jù)通過一系列特28(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生當(dāng)給定了一個初始值X0之后，就可以利用上式計算出序列X1，X2，…，Xn，…，再取于是y1，y2，…，yn就是所需要的(0，1)均勻分布得隨機(jī)序列。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生當(dāng)給定了一個初始值X0之后，就29同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

例題設(shè)a=5，c=3，M=8，取X0=1，那么循環(huán)疊代式：

利用上述疊代式，可以計算得到：X1=0，X2=3，X3=2，X4=5，X5=4，X6=7，X7=6，X8=1，X9=0，…y1=0.000，y2=0.375，y3=0.250，y4=0.625，y5=0.500，y6=0.875，y7=0.750，y8=0.125，X9=0.000，…我們可以看到此例中，這個隨機(jī)數(shù)序列的周期長度為8，即Xn+8=Xn。很明顯：利用同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列的周期不可能超過所取的模數(shù)M值、適當(dāng)?shù)腶、c和X0的值，就可以使隨機(jī)數(shù)序列的周期充分地長、以滿足實際的需要。假設(shè)利用組合的同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，那么可獲得大于模數(shù)的周期。同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

例題設(shè)a=5，30同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

產(chǎn)生的根本條件c和M互質(zhì)，即沒有大于1的公因子。M的每個質(zhì)數(shù)因子也是a-1的因子。假設(shè)4是M的因子，那么4也是a-1的因子。上述根本條件滿足后，混合同余法所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列的周期到達(dá)最大值M。同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

產(chǎn)生的根本條件上述根本31隨機(jī)數(shù)生成器的周期當(dāng)遞推計算得到某個值和以前得到的某個值相等時，那么從該處開場生成的數(shù)據(jù)序列將和前一個相等值處的序列完全一樣〔從而隨機(jī)數(shù)序列Ui也會重復(fù)〕，且這個序列會不斷重復(fù)。這個被重復(fù)的序列長度稱為一個循環(huán)，其長度稱為隨機(jī)數(shù)生成器的周期。全周期生成器很明顯，線性同余生成器的周期小或等于m，如果周期長度就是m，那么該生成器稱為全周期生成器。通過仔細(xì)選擇參數(shù)以獲得滿足統(tǒng)計要求的盡可能長的全周期生成器是生成器設(shè)計的主要目標(biāo)。在4.1式中，假設(shè)c>0,那么又稱為混合線性同余生成器，假設(shè)c=0，那么稱為乘同余生成器。目前使用的大多數(shù)線性同余生成器都是乘同余生成器。隨機(jī)數(shù)生成器的周期32乘同余生成器的根本公式素數(shù)取模乘同余生成器〔primemodulusmultiplicativeLCG:PMMLCG〕,其算法思路如下:取m是小于2b的最大素數(shù)，而a的選擇要滿足特定的要求這樣的乘同余生成器就稱為素數(shù)取模乘同余生成器。它的循環(huán)周期為m–1，且每個循環(huán)中1,2,…,m-1這些整數(shù)嚴(yán)格地只出現(xiàn)一次。Law〔2021〕建議在PMMLGC中，取m=231-1,取a=630,360,016，這樣，周期長度約為21億。在Flexsim中，默認(rèn)的隨機(jī)數(shù)生成器也是這個PMMLGC。乘同余生成器的根本公式33隨機(jī)數(shù)流〔stream〕仿真軟件中一般會將整個隨機(jī)數(shù)序列分成假設(shè)干段，例如100,000個數(shù)一段，每段稱為一個隨機(jī)數(shù)流〔stream〕，每個流會指定一個編號，如0號流、1號流等等。每個流中的數(shù)都是根據(jù)公式遞推得到〔要變換到[0，1]區(qū)間〕每個流的遞推公式初始值，即種子〔每個流實際上由該流的種子唯一確定〕，都是事先設(shè)定好的〔有時也允許用戶自己指定〕。當(dāng)模型需要隨機(jī)數(shù)時，通常要指定流號，以告知系統(tǒng)從哪個流遞推計算取得下一個隨機(jī)數(shù)。例如在Flexsim中調(diào)用指數(shù)分布函數(shù)的形式為exponential(location,scale,stream)，其中第三個參數(shù)就是指定從哪個流求取下一個隨機(jī)數(shù)〔這個隨機(jī)數(shù)還要變換成符合指數(shù)分布的形式〕，如果省略流參數(shù)，那么默認(rèn)使用0號隨機(jī)數(shù)流。隨機(jī)數(shù)流〔stream〕34如果仿真模型中全部隨機(jī)因素都使用一個流，例如0號流，那么隨著模型的運(yùn)行，0號流的隨機(jī)數(shù)有可能會消耗完，這時會侵入下一個流取隨機(jī)數(shù)，以保證隨機(jī)數(shù)不重復(fù)。隨機(jī)數(shù)流〔stream〕Flexsim中系統(tǒng)已初始化了100個隨機(jī)數(shù)流〔0-99號〕可供直接使用，假設(shè)用戶需要更多隨機(jī)數(shù)流，就需要自己初始化更多的流，詳細(xì)信息請參考Flexsim聯(lián)機(jī)幫助。如果仿真模型中全部隨機(jī)因素都使用一個流，例如0號流，那么隨著35組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們?nèi)匀辉诓粩嗵剿髦芷诟L的隨機(jī)數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機(jī)數(shù)生成器生成最終的隨機(jī)數(shù)，其周期長度高達(dá)2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，36組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們?nèi)匀辉诓粩嗵剿髦芷诟L的隨機(jī)數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機(jī)數(shù)生成器生成最終的隨機(jī)數(shù)，其周期長度高達(dá)2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，37隨機(jī)變數(shù)的生成仿真模型運(yùn)行過程中需要的是一個個來自不同分布的隨機(jī)變數(shù)〔randomvariates〕，當(dāng)它需要一個來自某分布的隨機(jī)變數(shù)時，系統(tǒng)就會調(diào)用隨機(jī)數(shù)生成器從指定流中遞推計算取得下一個隨機(jī)數(shù)〔randomnumber〕，然后經(jīng)過某種變換轉(zhuǎn)換成所需的隨機(jī)變數(shù)供給模型使用。那么，系統(tǒng)是如何將[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換成不同分布的隨機(jī)變數(shù)的呢，研究人員開發(fā)了許多方法來執(zhí)行這種轉(zhuǎn)換，如逆變換法、卷積法、合成法、取舍法等。由于這些方法都是標(biāo)準(zhǔn)方法，各種仿真軟件實施的差異不大，建模人員無需對其做過多了解，感興趣的讀者可以參考〔班克斯等2007〕和〔Law2021〕隨機(jī)變數(shù)的生成仿真模型運(yùn)行過程中需要的是一個個來自不同分布的38隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件39常見隨機(jī)變量的分布常見隨機(jī)變量的分布40隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件41隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件42隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件43正態(tài)分布正態(tài)分布44補(bǔ)充資料：各種離散分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

在生產(chǎn)系統(tǒng)離散仿真時，我們常常使用離散分布的隨機(jī)變量來描述實際系統(tǒng)中的某些量。例如在企業(yè)原材料管理系統(tǒng)中，在一定時間內(nèi)，到達(dá)倉庫的物料數(shù)就是一個離散隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量的到達(dá)時間是一個隨機(jī)數(shù)，此隨機(jī)數(shù)滿足一定的概率分布。我們可以利用〔0，1〕均勻分布隨機(jī)數(shù)來產(chǎn)生各種離散分布的隨機(jī)數(shù)。離散分布的隨機(jī)數(shù)可以分為：均勻分布的離散隨機(jī)數(shù)、非均勻分布的離散隨機(jī)數(shù)補(bǔ)充資料：各種離散分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生在生產(chǎn)系統(tǒng)離散仿真時，我45均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個連續(xù)整數(shù)x1，x2，…，xN，我們以相等的概率從中選出一個數(shù)，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。每次取樣值，式中yk是

(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，。產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)選定產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的范圍：x1、xN均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個連續(xù)整數(shù)x1，x2，…，x46非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個x1，x2，…，xN，我們以相對應(yīng)的概率P1，P2，…，PN，滿足，從中選出一個數(shù)作為輸出，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散非均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個x1，x2，…，xN47非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法設(shè)所求非均勻離散分布隨機(jī)數(shù)的累積概率分布函數(shù)為F(x)，其中：F(0)=F0=0，F(xiàn)k=(k=1，2，…，N〕。設(shè)yi是一個(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)。考察yi，如果，那么把相應(yīng)的xk選出作為此次取樣的輸出值。生成n個(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)假設(shè)隨機(jī)數(shù)yi值∈[Fk-1，F(xiàn)k〕，取xk數(shù)xk服從特定分布非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法設(shè)所求非均勻離散分布隨機(jī)48非均勻的連續(xù)分布隨機(jī)數(shù)及其產(chǎn)生

對于非均勻的連續(xù)分布的隨機(jī)數(shù)，我們同樣借助于(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)進(jìn)展變換或計算來產(chǎn)生。一般采用的變化方法為 1反函數(shù)法(逆變法)2函數(shù)變換法3卷積法

非均勻的連續(xù)分布隨機(jī)數(shù)及其產(chǎn)生對于非均勻的連續(xù)分布49反函數(shù)法(逆變法)反函數(shù)法也稱為概率積分變換法，這種方法所基于的原理是概率積分變換定理，可以簡述如下：1給定(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)yn(n=1，2，...)，如果F-1(yn)是隨機(jī)變量X的反累積分布函數(shù)，那么由公式2xn=F-1(yn)所計算的隨機(jī)數(shù)就是隨機(jī)變量X的取樣值。反函數(shù)法(逆變法)反函數(shù)法也稱為概率積分變換法，這種50反函數(shù)法(逆變法)的步驟求出y=F(x)的反函數(shù)：

x=F-1(y)。利用(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生程序取得yn。利用x=F-1(y)可得到需要的隨機(jī)數(shù)xn。反函數(shù)法(逆變法)的步驟求出y=F(x)的反函數(shù)：51指數(shù)分布

指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是累積分布函數(shù)為生成隨機(jī)數(shù)的逆函數(shù)為圖中取λ指數(shù)分布指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是52隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計檢驗

用任何一種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列在把它用到實際問題中去之前都必須進(jìn)展一些統(tǒng)計檢驗，看它是否能夠令人滿意地作為隨機(jī)變量的獨(dú)立取樣值(顯著性檢驗)，是否有較好的獨(dú)立性和均勻性。從理論上說，統(tǒng)計檢驗并不能得出完全肯定的結(jié)論，但是卻可以使我們有較大的把握獲得具有較好統(tǒng)計性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)序列。隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計檢驗用任何一種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列在把53數(shù)字特征檢驗

數(shù)字特征檢驗是采樣平均值、方差與理論平均值、方差差異的顯著性檢驗。在(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量X和X2的平均值及方差分別為數(shù)字特征檢驗數(shù)字特征檢驗是采樣平均值、方差與理論平54數(shù)字特征檢驗如果N個隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN是X的N個獨(dú)立觀測值，令那么它們的平均值和方差為數(shù)字特征檢驗如果N個隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN是X的N個獨(dú)立55數(shù)字特征檢驗根據(jù)中心極限定理：

漸近地服從正態(tài)N(0，1)

當(dāng)N足夠大。故當(dāng)給定顯著性水平后，即可根據(jù)正態(tài)分布表確定臨界值，據(jù)此判斷與X的平均值E(X)和與的平均值E(X2)之差異是否顯著，從而決定能否把x1，x2，…，xN看作是(0，1)均勻分布隨機(jī)變量X的N個獨(dú)立取樣值。

數(shù)字特征檢驗根據(jù)中心極限定理：56分布均勻性檢驗

分布均勻性檢驗又稱頻率檢驗，是對經(jīng)歷頻率和理論頻率之間的差異進(jìn)展檢驗。把(0，1)區(qū)間劃分成k等分，以(i=1，2，…，k)表示第i個小區(qū)間。如果xs是區(qū)間(0，1)上均勻分布的隨機(jī)變量X的一個取樣值，那么xs值落在任一小區(qū)間的概率Pi均應(yīng)等于這些小區(qū)間的長度1/k，故xsN個值落在任何一個小區(qū)間的平均數(shù)。設(shè)實際上x1，x2，…，xN中屬于第i個小區(qū)間的數(shù)目為ni，那么統(tǒng)計量漸近地服從自由度為K-1的分布。由的值可以衡量實際頻率與理論頻率的差異，也就是可以度量實際隨機(jī)數(shù)分布的均勻程度，當(dāng)兩者完全符合時，=0。分布均勻性檢驗分布均勻性檢驗又稱頻率檢驗，是對經(jīng)歷57問題的值處在多大范圍內(nèi)可以認(rèn)為的隨機(jī)數(shù)抽樣值是符合均勻性要求呢?首先確定一個判定標(biāo)準(zhǔn)α(稱為顯著度)，并且根據(jù)參數(shù)γ的值(γ稱為自由度，γ=k-1)，從表中查得的值。如果計算所得到的值小于，就認(rèn)為符合均勻性假設(shè)。因為它符合下式如果α=0.05，那么上式表示的概率為0.95，也就是說，對給定顯著度α而言，可以認(rèn)為這一隨機(jī)數(shù)樣本是均勻的。通常可取α=0.05~0.1。問題的值處在多大范圍內(nèi)可以認(rèn)為的隨機(jī)數(shù)抽樣值是58獨(dú)立性檢驗一個隨機(jī)數(shù)序列可以是均勻分布，但卻不一定是獨(dú)立的，也就是說有可能是互相關(guān)聯(lián)的。兩個隨機(jī)變量得相關(guān)系數(shù)反映了它們之間的線性相關(guān)程度。如果它們相互獨(dú)立，那么它們的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為0〔反之不一定〕。所以其值大小可以衡量相關(guān)程度。這里對獨(dú)立性檢驗主要是對隨機(jī)數(shù)序列中相隔一定間隔的數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)展檢驗。獨(dú)立性檢驗一個隨機(jī)數(shù)序列可以是均勻分布，但卻不一定是59獨(dú)立性檢驗

設(shè)給定N個隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN，我們計算前后距離為K的樣本相關(guān)系數(shù)rK：

，

k=1，2，…

式中為隨機(jī)數(shù)的方差，

為隨機(jī)數(shù)的平均值，。

獨(dú)立性檢驗設(shè)給定N個隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN，我們60獨(dú)立性檢驗如果各xi相互獨(dú)立，那么相關(guān)系數(shù)rK應(yīng)為0。在原假設(shè)rK=0之下，當(dāng)N充分大(例如N-K>50)時，統(tǒng)計量

漸近地服從正態(tài)分布N(0，1)。同時選定α=0.05，那么根據(jù)概率統(tǒng)計理論，當(dāng)|U|>196時(稱為差異顯著)，拒絕假設(shè)rK=0；反之，那么承受。獨(dú)立性檢驗如果各xi相互獨(dú)立，那么相關(guān)系數(shù)rK應(yīng)為0。在61人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。〞通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過閱讀文學(xué)作品，我們能提高文學(xué)鑒賞水平，培養(yǎng)文學(xué)情趣；通過閱讀報刊，我們能增長見識，擴(kuò)大自己的知識面。有許多書籍還能培養(yǎng)我們的道德情操，給我們巨大的精神力量，鼓舞我們前進(jìn)。人有了知識，就會具備各種分析能力，62隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計對于實際系統(tǒng)中隨機(jī)活動進(jìn)展研究時，往往由于眾多的隨機(jī)因素使得數(shù)學(xué)描述和分析變得十分困難，這時我們往往求助于計算機(jī)仿真。仿真為這類復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)的研究提供了一個方便有效的手段。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成63對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計對于實際系統(tǒng)中隨機(jī)活動進(jìn)展研究時，往往由于眾多的隨機(jī)因素使得數(shù)學(xué)描述和分析變得十分困難，這時我們往往求助于計算機(jī)仿真。仿真為這類復(fù)雜的隨機(jī)系統(tǒng)的研究提供了一個方便有效的手段。對于隨機(jī)性活動進(jìn)展研究所利用的數(shù)學(xué)工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計64隨機(jī)變量：對于隨機(jī)活動的不同結(jié)果我們可以用不同的數(shù)值與其對應(yīng)。這樣，就可以用一個變量來描述隨機(jī)活動，變量按一定的概率取某個值對應(yīng)于隨機(jī)活動按一定的概率取某個結(jié)果。離散型隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量只取有限個數(shù)值或可列無窮多個數(shù)值，那么稱此類隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量可以取值于某個區(qū)間中的任一數(shù)，我們稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量：對于隨機(jī)活動的不同結(jié)果我們可以用不同的數(shù)值與其對應(yīng)65離散型隨機(jī)變量

數(shù)學(xué)定義

數(shù)學(xué)定義：如果一個隨機(jī)變量x的一切可能取值為x1，x2，…，xn，…，并且X取值xn的概率為Pn，那么X為一個離散型隨機(jī)變量，{p1，p2，...，pn，...}稱為X的概率函數(shù)。其中Pn必須滿足以下兩個條件：〔1〕〔2〕離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)定義數(shù)學(xué)定義：如果一個隨機(jī)變量66離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量X的累積分布函數(shù)定義，當(dāng)X小于或等于某個給定值x的概率函數(shù)，記為P(X≤x)=F(x)。設(shè)隨機(jī)變量X可能取值x1，x2，…，xn，…，那么X的累積分布函數(shù)為其中為X取值的概率。由定義可見 當(dāng)x<y時，F(xiàn)(x)≤F(y)，即F(x)是個單調(diào)增加的函數(shù)。離散型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量X的累積分布67連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義：假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間(a，b)的概率為P(a<x≤b)=，那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的密度函數(shù)。對于密度函數(shù)f(x)有連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義：假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f(x)68連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)定義為隨機(jī)變量小于或等于x的概率。它用F(x)表示，即由累積分布函數(shù)定義可知，當(dāng)時，。累積分布函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的累積分布函69概率密度函數(shù)

/

累積分布函數(shù)隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a，b)內(nèi)的概率是。圖中給出了一個連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線。密度函數(shù)f(x)的值不能為負(fù)，要注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任意區(qū)間(a，b)上由f(x)曲線圍出的面積(圖中陰影局部)必然<1。從圖中也可以看到累積分布函數(shù)F(x)的值隨x值的增加而增加，而且它最終趨向極限值1。概率密度函數(shù)

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累積分布函數(shù)隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a，b)內(nèi)70隨機(jī)變量的數(shù)字特征

定義：隨機(jī)變量的數(shù)字特征是與它的分布有關(guān)的某些數(shù)值，例如平均值、最大可能值等，它們反映了隨機(jī)變量某些方面的特征。分類：根據(jù)隨機(jī)變量的種類：分別介紹離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義：隨機(jī)變量的數(shù)字特征是與它的分布有關(guān)71離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為離散隨機(jī)變量，其概率函數(shù)由下表給出：其中記，稱為X的平均值。數(shù)學(xué)方差Xx0x1x2……xn…P{X=Xi}P0P1P2……Pn…數(shù)學(xué)方差反映了各個隨機(jī)變量的采樣值偏離平均值的平均程度變化系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，反映了隨機(jī)數(shù)偏離平均值的變化程度。變化系數(shù)=離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為離散隨機(jī)變量，其概率函72連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)，那么該隨機(jī)變量的平均值m為：平均值又稱為數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)方差變化系數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的比值，反映了隨機(jī)數(shù)偏離平均值的變化程度。變化系數(shù)=數(shù)學(xué)方差反映了各個隨機(jī)變量的采樣值偏離平均值的平均程度連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征平均值：設(shè)X為隨機(jī)變量，其概率密度函73隨機(jī)變量的其它數(shù)字特征模值定義為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某處取峰值時的x值。當(dāng)有多個峰值時，取最大峰值作為模值。中間值：如果有一點Xm，隨機(jī)變量有一半值將落在這一點以下，那么由此點所定義的值Xm稱為中間值b中間值可以從累積分布函數(shù)曲線上求得，因為它是處的那個點。

在x=1處時f(x)均到達(dá)峰值，那么x=1就是隨機(jī)變量的模值。中間值：Xm=1.6783469隨機(jī)變量的其它數(shù)字特征模值定義為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某處74數(shù)理統(tǒng)計中的根本運(yùn)算規(guī)那么，X一隨機(jī)變量，那么E(αX)=αE(X)X，Y為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X一隨機(jī)變量，那么D(αX)=α2D(X)，X一隨機(jī)變量，那么D(X+α)=D(X)X，Y為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y)數(shù)理統(tǒng)計中的根本運(yùn)算規(guī)那么，X一75隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)變數(shù)〔RandomVariates〕離散隨機(jī)系統(tǒng)仿真模型中有許多隨機(jī)因素，在模型運(yùn)行過程中，需要系統(tǒng)不斷地從各種概率分布生成一些隨機(jī)的數(shù)值〔通過調(diào)用分布函數(shù)生成〕，如一個個顧客到達(dá)時間間隔〔可能服從指數(shù)分布〕，一個個機(jī)器效勞時間〔可能服從愛朗分布〕，這些從某種分布生成的隨機(jī)數(shù)值稱為隨機(jī)變數(shù)。隨機(jī)數(shù)〔Randomnumbers〕從[0,1]區(qū)間上的均勻分布生成的隨機(jī)變數(shù)為隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)的關(guān)系在仿真軟件中，各種不同分布的隨機(jī)變數(shù)都是由隨機(jī)數(shù)經(jīng)過某種變換得到的，因此，要得到隨機(jī)變數(shù)，首先需要生成[0,1]區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)隨機(jī)變數(shù)〔RandomVariates〕76隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)如何生成真正均勻分布的、獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)成為仿真軟件的一個重要根底。偽隨機(jī)數(shù)仿真軟件生成的隨機(jī)數(shù)序列實際上是利用數(shù)學(xué)公式遞推計算得出的，因此，這些隨機(jī)數(shù)實際上是事先就可以確定的，因而并非是真正隨機(jī)的，故又稱為偽隨機(jī)數(shù)。但是這些偽隨機(jī)數(shù)能夠通過均勻性和獨(dú)立性的統(tǒng)計檢驗，因而可以用于仿真研究。隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)如何生成真正均勻分布的、獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)成為仿真77隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件78隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)79(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的定義(0，1)均勻分布隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為累積分布函數(shù)(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的定義(0，1)均勻分布隨機(jī)變量x的80(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的說明隨機(jī)變量x落入?yún)^(qū)間(X1，X2)中的概率等于圖中陰影區(qū)的面積，其值為(X2-X1)，正比于區(qū)間(X1，X2)的大小。需要說明的是在計算機(jī)上表示連續(xù)變量只能是近似的，因為計算機(jī)中的數(shù)字只能是有限的位數(shù)。如果變量變化的最小步長可以到達(dá)計算機(jī)表示的最小值，并且在實際需要的精度之內(nèi)變量可以到達(dá)任意值，就可以把這個變量看成是連續(xù)的。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的說明隨機(jī)變量x落入81(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法物理過程：常用的物理裝置有放射粒子計數(shù)器、電子管隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器。利用電子噪聲或放射源去鼓勵一個周期為0~9的計數(shù)器，對計數(shù)器定時選行采樣就可以得到所需的隨機(jī)數(shù)的一位數(shù)。屢次重復(fù)此過程或者利用幾個計數(shù)器同時運(yùn)行，就可以得到任意位數(shù)的隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)表：利用物理過程可以得到大量隨機(jī)數(shù)，并將這些數(shù)制成表。在使用隨機(jī)數(shù)時就可以依一定的順序從表中取出隨機(jī)數(shù)。為了適應(yīng)實際需要的位數(shù)，對取出的隨機(jī)數(shù)可以進(jìn)展截斷或拼接處理。隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生程序：按照一定的算法計算出具有類似于均勻分布隨機(jī)變量的獨(dú)立取樣值性質(zhì)的數(shù)。因為這些數(shù)是按照定性的算法計算出來的，會有一定的周期性，因而被稱為偽隨機(jī)數(shù)。由于我們的目的是利用隨機(jī)數(shù)來對隨機(jī)活動的統(tǒng)計分析，只要偽隨機(jī)數(shù)的數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)能夠滿足實際需要就可以了。這些數(shù)理統(tǒng)計性質(zhì)包括均勻性、獨(dú)立性等。一般計算機(jī)上，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)為〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法物理過程：常用的物理裝置有82計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法

用計算機(jī)程序通過計算產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都是偽隨機(jī)數(shù)，它具有一定的周期性。計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的特點：實用性強(qiáng)、簡單易操作、產(chǎn)生速度快、計算機(jī)存儲空間的要求低。計算機(jī)上用數(shù)字方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的一般要求有：

1.

產(chǎn)生的數(shù)值序列要具有分布的均勻性、抽樣的隨機(jī)性、試驗的獨(dú)立性以及前后的一致性。

2.

產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)要有足夠長的周期，以滿足你真的實際需要。

3.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的速度要快，占用的內(nèi)存空間要小。計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法用計算機(jī)程序通過計算產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都是83隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件84隨機(jī)數(shù)生成器隨機(jī)數(shù)生成器(Randomnumbergenerator)在仿真軟件中，采用某種方法來生成[0,1]區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)的程序稱為隨機(jī)數(shù)生成器。不同仿真軟件的隨機(jī)數(shù)生成器采用的隨機(jī)數(shù)生成方法可能不同，由于隨機(jī)數(shù)的質(zhì)量直接關(guān)系到仿真結(jié)果是否可信，因此，建模人員需要了解仿真軟件的隨機(jī)數(shù)生成器是否是高質(zhì)量的生成器。隨機(jī)數(shù)生成器種類繁多，以下介紹幾個仿真軟件中比較常見的隨機(jī)數(shù)生成器。隨機(jī)數(shù)生成器隨機(jī)數(shù)生成器(Randomnumbergen85計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的通常方法是利用一個遞推公式：給定了k個初始值，就可以利用這個遞推公式推算出第k+1個數(shù)Xk+1：遞推公式有多種形式，其中最常見的有兩種：

-平方取中法

-同余法

計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的算法計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的通常方法是86平方取中法這是最早產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一種方法，一個二進(jìn)制n位數(shù)X，自乘后一般得到一個2n位數(shù)X2。設(shè)平方后得到：取X0中間的n位數(shù)(設(shè)n為偶數(shù))作出如下的二進(jìn)制n位數(shù)：重復(fù)上述過程，可得二進(jìn)制n為數(shù)序列，，…。令，那么，，…就是所需要的(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)序列。平方取中法這是最早產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一種方法，一個87平方取中法

——步驟任取一十進(jìn)制正整數(shù)確定一偶數(shù)位數(shù)n將所選十進(jìn)制數(shù)化為n位的二進(jìn)制數(shù)平方運(yùn)算得到2n位的二進(jìn)制數(shù)取2n位二進(jìn)制數(shù)的中間n位作為生成的隨機(jī)數(shù)生成的隨機(jī)數(shù)=上一隨機(jī)數(shù)否是隨機(jī)數(shù)進(jìn)入循環(huán)平方取中法

——步驟任取一十進(jìn)制正整數(shù)確定一偶數(shù)位數(shù)n將所選88平方取中法——例題任取一正整數(shù)：45表示為偶數(shù)位的二進(jìn)制數(shù)：101101，共6位該數(shù)的平方為：，共6×2=12位取中間的六位，得：111101，該數(shù)的十進(jìn)制表達(dá)式為61……最終可以產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)：

45，61，17，36，34，16，32，0，……問題：應(yīng)用平方取中法時，可能遇到“退化〞的危險，即出現(xiàn)中間所取得值都為0，或形成重復(fù)循環(huán)序列的現(xiàn)象?！椒饺≈蟹ǖ南拗破椒饺≈蟹ā}任取一正整數(shù)：45問題：89同余法同余法是將一組數(shù)據(jù)通過一系列特定的數(shù)字運(yùn)算，最后利用一個數(shù)字的整除求余，所得的數(shù)值就是一個偽隨機(jī)數(shù)。因為這個計算過程，那么稱該求隨機(jī)數(shù)的方法為同余法。同余法的有三種：加同余法、乘同余法和混合同余法。其中以混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)統(tǒng)計性質(zhì)較好，因而獲得了最為廣泛的應(yīng)用。同余法具有計算簡便的優(yōu)點。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的遞推公式是：其中a稱為乘法因子，c稱為加法因子，M為模數(shù)〔為隨機(jī)數(shù)的周期〕。當(dāng)a=1時，加同余法；當(dāng)c=0時，乘同余法；當(dāng)a≠1、c≠0時，混合同余法。同余法同余法是將一組數(shù)據(jù)通過一系列特90(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生當(dāng)給定了一個初始值X0之后，就可以利用上式計算出序列X1，X2，…，Xn，…，再取于是y1，y2，…，yn就是所需要的(0，1)均勻分布得隨機(jī)序列。(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生當(dāng)給定了一個初始值X0之后，就91同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

例題設(shè)a=5，c=3，M=8，取X0=1，那么循環(huán)疊代式：

利用上述疊代式，可以計算得到：X1=0，X2=3，X3=2，X4=5，X5=4，X6=7，X7=6，X8=1，X9=0，…y1=0.000，y2=0.375，y3=0.250，y4=0.625，y5=0.500，y6=0.875，y7=0.750，y8=0.125，X9=0.000，…我們可以看到此例中，這個隨機(jī)數(shù)序列的周期長度為8，即Xn+8=Xn。很明顯：利用同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列的周期不可能超過所取的模數(shù)M值、適當(dāng)?shù)腶、c和X0的值，就可以使隨機(jī)數(shù)序列的周期充分地長、以滿足實際的需要。假設(shè)利用組合的同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，那么可獲得大于模數(shù)的周期。同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

例題設(shè)a=5，92同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

產(chǎn)生的根本條件c和M互質(zhì)，即沒有大于1的公因子。M的每個質(zhì)數(shù)因子也是a-1的因子。假設(shè)4是M的因子，那么4也是a-1的因子。上述根本條件滿足后，混合同余法所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列的周期到達(dá)最大值M。同余法產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)

產(chǎn)生的根本條件上述根本93隨機(jī)數(shù)生成器的周期當(dāng)遞推計算得到某個值和以前得到的某個值相等時，那么從該處開場生成的數(shù)據(jù)序列將和前一個相等值處的序列完全一樣〔從而隨機(jī)數(shù)序列Ui也會重復(fù)〕，且這個序列會不斷重復(fù)。這個被重復(fù)的序列長度稱為一個循環(huán)，其長度稱為隨機(jī)數(shù)生成器的周期。全周期生成器很明顯，線性同余生成器的周期小或等于m，如果周期長度就是m，那么該生成器稱為全周期生成器。通過仔細(xì)選擇參數(shù)以獲得滿足統(tǒng)計要求的盡可能長的全周期生成器是生成器設(shè)計的主要目標(biāo)。在4.1式中，假設(shè)c>0,那么又稱為混合線性同余生成器，假設(shè)c=0，那么稱為乘同余生成器。目前使用的大多數(shù)線性同余生成器都是乘同余生成器。隨機(jī)數(shù)生成器的周期94乘同余生成器的根本公式素數(shù)取模乘同余生成器〔primemodulusmultiplicativeLCG:PMMLCG〕,其算法思路如下:取m是小于2b的最大素數(shù)，而a的選擇要滿足特定的要求這樣的乘同余生成器就稱為素數(shù)取模乘同余生成器。它的循環(huán)周期為m–1，且每個循環(huán)中1,2,…,m-1這些整數(shù)嚴(yán)格地只出現(xiàn)一次。Law〔2021〕建議在PMMLGC中，取m=231-1,取a=630,360,016，這樣，周期長度約為21億。在Flexsim中，默認(rèn)的隨機(jī)數(shù)生成器也是這個PMMLGC。乘同余生成器的根本公式95隨機(jī)數(shù)流〔stream〕仿真軟件中一般會將整個隨機(jī)數(shù)序列分成假設(shè)干段，例如100,000個數(shù)一段，每段稱為一個隨機(jī)數(shù)流〔stream〕，每個流會指定一個編號，如0號流、1號流等等。每個流中的數(shù)都是根據(jù)公式遞推得到〔要變換到[0，1]區(qū)間〕每個流的遞推公式初始值，即種子〔每個流實際上由該流的種子唯一確定〕，都是事先設(shè)定好的〔有時也允許用戶自己指定〕。當(dāng)模型需要隨機(jī)數(shù)時，通常要指定流號，以告知系統(tǒng)從哪個流遞推計算取得下一個隨機(jī)數(shù)。例如在Flexsim中調(diào)用指數(shù)分布函數(shù)的形式為exponential(location,scale,stream)，其中第三個參數(shù)就是指定從哪個流求取下一個隨機(jī)數(shù)〔這個隨機(jī)數(shù)還要變換成符合指數(shù)分布的形式〕，如果省略流參數(shù)，那么默認(rèn)使用0號隨機(jī)數(shù)流。隨機(jī)數(shù)流〔stream〕96如果仿真模型中全部隨機(jī)因素都使用一個流，例如0號流，那么隨著模型的運(yùn)行，0號流的隨機(jī)數(shù)有可能會消耗完，這時會侵入下一個流取隨機(jī)數(shù)，以保證隨機(jī)數(shù)不重復(fù)。隨機(jī)數(shù)流〔stream〕Flexsim中系統(tǒng)已初始化了100個隨機(jī)數(shù)流〔0-99號〕可供直接使用，假設(shè)用戶需要更多隨機(jī)數(shù)流，就需要自己初始化更多的流，詳細(xì)信息請參考Flexsim聯(lián)機(jī)幫助。如果仿真模型中全部隨機(jī)因素都使用一個流，例如0號流，那么隨著97組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們?nèi)匀辉诓粩嗵剿髦芷诟L的隨機(jī)數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機(jī)數(shù)生成器生成最終的隨機(jī)數(shù)，其周期長度高達(dá)2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，98組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們?nèi)匀辉诓粩嗵剿髦芷诟L的隨機(jī)數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器〔CombinedMultipleRecursiveGenerator：CombinedMRG〕這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機(jī)數(shù)生成器生成最終的隨機(jī)數(shù)，其周期長度高達(dá)2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，99隨機(jī)變數(shù)的生成仿真模型運(yùn)行過程中需要的是一個個來自不同分布的隨機(jī)變數(shù)〔randomvariates〕，當(dāng)它需要一個來自某分布的隨機(jī)變數(shù)時，系統(tǒng)就會調(diào)用隨機(jī)數(shù)生成器從指定流中遞推計算取得下一個隨機(jī)數(shù)〔randomnumber〕，然后經(jīng)過某種變換轉(zhuǎn)換成所需的隨機(jī)變數(shù)供給模型使用。那么，系統(tǒng)是如何將[0，1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)換成不同分布的隨機(jī)變數(shù)的呢，研究人員開發(fā)了許多方法來執(zhí)行這種轉(zhuǎn)換，如逆變換法、卷積法、合成法、取舍法等。由于這些方法都是標(biāo)準(zhǔn)方法，各種仿真軟件實施的差異不大，建模人員無需對其做過多了解，感興趣的讀者可以參考〔班克斯等2007〕和〔Law2021〕隨機(jī)變數(shù)的生成仿真模型運(yùn)行過程中需要的是一個個來自不同分布的100隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件101常見隨機(jī)變量的分布常見隨機(jī)變量的分布102隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件103隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件104隨機(jī)數(shù)和隨機(jī)變數(shù)生成課件105正態(tài)分布正態(tài)分布106補(bǔ)充資料：各種離散分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

在生產(chǎn)系統(tǒng)離散仿真時，我們常常使用離散分布的隨機(jī)變量來描述實際系統(tǒng)中的某些量。例如在企業(yè)原材料管理系統(tǒng)中，在一定時間內(nèi)，到達(dá)倉庫的物料數(shù)就是一個離散隨機(jī)變量。該隨機(jī)變量的到達(dá)時間是一個隨機(jī)數(shù)，此隨機(jī)數(shù)滿足一定的概率分布。我們可以利用〔0，1〕均勻分布隨機(jī)數(shù)來產(chǎn)生各種離散分布的隨機(jī)數(shù)。離散分布的隨機(jī)數(shù)可以分為：均勻分布的離散隨機(jī)數(shù)、非均勻分布的離散隨機(jī)數(shù)補(bǔ)充資料：各種離散分布隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生在生產(chǎn)系統(tǒng)離散仿真時，我107均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個連續(xù)整數(shù)x1，x2，…，xN，我們以相等的概率從中選出一個數(shù)，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。每次取樣值，式中yk是

(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，。產(chǎn)生〔0，1〕均勻分布的隨機(jī)數(shù)選定產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的范圍：x1、xN均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個連續(xù)整數(shù)x1，x2，…，x108非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個x1，x2，…，xN，我們以相對應(yīng)的概率P1，P2，…，PN，滿足，從中選出一個數(shù)作為輸出，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散非均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生給定N個x1，x2，…，xN109非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法設(shè)所求非均勻離散分布隨機(jī)數(shù)的累積概率分布函數(shù)為F(x)，其中：F(0)=F0=0，F(xiàn)k=(k=1，2，…，N〕。設(shè)yi是一個(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)?？疾靬i，如果，那么把相應(yīng)的xk選出作為此次取樣的輸出值。生成n個(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)假設(shè)隨機(jī)數(shù)yi值∈[Fk-1，F(xiàn)k〕，取xk數(shù)xk服從特定分布非均勻離散分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法設(shè)所求非均勻離散分布隨機(jī)110非均勻的連續(xù)分布隨機(jī)數(shù)及其產(chǎn)生

對于非均勻的連續(xù)分布的隨機(jī)數(shù)，我們同樣借助于(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)進(jìn)展變換或計算來產(chǎn)生。一般采用的變化方法為 1反函數(shù)法(逆變法)2函數(shù)變換法3卷積法

非均勻的連續(xù)分布隨機(jī)數(shù)及其產(chǎn)生對于非均勻的連續(xù)分布111反函數(shù)法(逆變法)反函數(shù)法也稱為概率積分變換法，這種方法所基于的原理是概率積分變換定理，可以簡述如下：1給定(0，1)均勻分布隨機(jī)數(shù)yn(n=1，2，...)，如果F-1(yn)是隨機(jī)變量X的反