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常微分方程答案-第三章常微分方程答案-第三章常微分方程答案-第三章資料僅供參考文件編號：2022年4月常微分方程答案-第三章版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：習題1.求方程通過點(0,0)的第三次近似解。解：，令，則為所求的第三次近似解。3.求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計。解：因為，，，所以，從而解得存在區(qū)間為，即。又因為在上連續(xù)，且由可得在上關于滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題GOTOBUTTONZEqnNum567725REFZEqnNum567725\!(1)在有唯一解。令，則誤差為：10.給定積分方程(*)其中是上的已知連續(xù)函數(shù)，是，上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當足夠小時(是常數(shù))，(*)在上存在唯一的連續(xù)解。證明：分四個步驟來證明。㈠.構造逐步逼近函數(shù)序列由是上的連續(xù)函數(shù)可得在上連續(xù)，故再由是，上的連續(xù)函數(shù)可得在上連續(xù)，由數(shù)學歸納法易證在上連續(xù)。㈡.證明函數(shù)列在上一致收斂?？紤]級數(shù)由知，的一致收斂性與級數(shù)GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(2)的一致收斂性等價。令，。由GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(2)有所以假設對正整數(shù)，有不等式則所以GOTOBUTTONZEqnNum375706REFZEqnNum375706\!(3)對任意正整數(shù)都成立。因為為正項級數(shù)，且當足夠小時，故收斂，從而由Weierstrass判別法，級數(shù)一致收斂，故級數(shù)GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(2)一致收斂，所以函數(shù)列在上一致收斂。㈢.證明是積分方程(*)在上的連續(xù)解。因為由㈠和㈡可得在上連續(xù)，在上一致收斂，故在上連續(xù)，且函數(shù)列在上一致收斂，所以對兩邊取極限可得從而所以是積分方程(*)在上的連續(xù)解。㈣.證明是積分方程(*)在上的唯一解。設是積分方程(*)在上的另一連續(xù)解，則令，則對都成立，上式兩邊對取最大值可得如果，則由上式有這與GOTOBUTTONZEqnNum96

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