行列式的性質(zhì)及應(yīng)用

唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題目行列式的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)生王峰指導(dǎo)教師陳軍副教授年級(jí)2006級(jí)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系別數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2008年5月鄭重聲明本人的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是在指導(dǎo)教師陳軍老師的指導(dǎo)下獨(dú)立撰寫(xiě)完成的。如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過(guò)網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督。特此鄭重聲明。畢業(yè)論文作者：王峰2008年5月1日目錄題目…………1摘要…………1正文…………1?問(wèn)題的提出 1.排列……………………1三?行列式…………………1?n階行列式具有的性質(zhì)………………2?行列式的計(jì)算…………3（一）數(shù)字型行列式的計(jì)算 3（二）行列式的概念與性質(zhì)的例題………6（三）抽象行列式的計(jì)算…………………6（四）含參數(shù)行列式的計(jì)算………………7（五）關(guān)于|A|0的證明 7（六）特殊行列式的解法…………………8（七）拉普拉斯定理………9參考文獻(xiàn)……………………10致謝…………11外文頁(yè)………………………12行列式的性質(zhì)及計(jì)算王峰摘要在線性代數(shù)中,行列式是一個(gè)重要的基本工具,直接計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的,特別當(dāng)行列式的元素是字母時(shí)更加明顯,因此熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的。行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，應(yīng)當(dāng)在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練正確地計(jì)算三階,四階行列式，也會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式的值.計(jì)算行列式的基本方法是:按行（列）展開(kāi)公式,通過(guò)降階來(lái)實(shí)現(xiàn)。但在展開(kāi)之前往往先通過(guò)對(duì)行列式的恒等變形，以期新的行列式中能構(gòu)造出較多的零或有公因式，從而可簡(jiǎn)化計(jì)算,行列式計(jì)算的常用技巧有，三角化法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，公式法。關(guān)鍵詞三角化法遞推法數(shù)學(xué)歸納法公式法一.問(wèn)題的提出在實(shí)踐中存在許多解n元一次方程組的問(wèn)題，如fax+ax=b①<1111221Iax+ax=b2112222a x+a x H Fa x=b111 122 1nn1a x+a x H Fa x=b②< 12 1 22 2 2nn2ax+axH Fax=bn11 n22 nnnn對(duì)于①我們可以解出，但對(duì)于②，我們有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知識(shí)。二.排列定義1由1.2……n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。n級(jí)排列的總數(shù)為n-（n—1）-（n—2） 2-1=n!（n的階乘個(gè)）。定義2在一個(gè)排列中，如果一隊(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。例1決定以下9級(jí)排列的逆序數(shù)，從而決定它們的奇偶性134782695解逆序數(shù)為10，是偶排列。aa?…a11121naa?…a21222n???… aa?…an1n2nnn階行列式IA=n階行列式IA=定義（設(shè)為n階）：=工 (—1尸(j1j2…j”)aa?…a1j1 2j2 njnj1厶…丿”

是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，它由n!項(xiàng)組成，其中帶正號(hào)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半，e（jjj）表示排列jj…j的逆序數(shù)。12?…n 12 n四．n階行列式具有的性質(zhì)aa….aaa?aii121nii21n1aa….aaa?a21222naa….aaa?aii121nii21n1aa….aaa?a21222n=1222n2???… ??????aa?…aaa?an1n2nnin2nnn1．性質(zhì)（1）行列互換，行列式不變。即O一行的公因子可以提出來(lái)或以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式）aa….aaa….aiii2iniii2in???? ???? kaka…ka=kaa?…aiii2iniii2in?????????????? aa?…aaa?…anin2nnnin2nn特殊形式（如果行列式中一行為零，2．性質(zhì)（2）即那么行列式為零）。aa…. aaa….aaa?aiii2iniii2iniii2in?????????????? ??????b+cb+c…b+c=bb…b+cc?ci i22n ni2ni2n?????????????? ??????aa?… aaa?…aaa?anin2nnnin2nnnin2nnO性質(zhì)如果行列式中兩行相同，4）4．3．性質(zhì)（3）如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外與原行列式的對(duì)應(yīng)行一樣0即那么行列式為零。（兩行相同就是說(shuō)兩行對(duì)應(yīng)元素都相同）。5．那么行列式為零。即aiiai2?ainaiiai2...ainaiiai2?ainaiiai2?ain????????=k?????kaiikai2?kainaiiai2?ain????????????????anian2?annanian2?ann性質(zhì)如果行列式中兩行成比例。6．性質(zhì)（6）把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變0即a11a12?a1na11a12?a1na11a?12a1na+caa+ca?a+caaa?acaca ?cai1 k1i2 k2inkni1i2ink1k2kn????????????????+????????aa?aaa?aaa?ak1k2knk1k2knk1k2kn????????????????????????aa?aaa?aaa?an1n2nnn1n2nnn1n2nna a…a11121n?????? aa…ai1 i2in...??? aa…ak1 k2kn?????? aa…an1 n2nn7．性質(zhì)（7）對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào)。即a a …-aaa?aaa?a11121n11121n11121n??? ????????????????aa …-aa+aa+a?a+aa+aa+a?a+ai1 i2ini1 k1i2 k2inkni1k1i2 k2in kn??? ????????????????aa …-aaa?a_a_a?_ak1 k2knk1k2kni1i2in??? ??????????????aa …-aaa?aaa?an1 n2nnn1n2nnn1n2nnaa?…aaa?…a11121n11121n?????????????? aa?…aaa?…ak1k2knk1k2kn?????????? ...? _a_a?… _aaa?…ai1i2ini1i2in????????????????aa….aaa….an1n2nnn1n2nn五.行列式的計(jì)算（一）數(shù)字型行列式的計(jì)算（四種方法）1.三角化法解把每行均加至第一行，提出公因式x+(n-l)a，再把第一行的-a倍分別加到第二行至第n行，得111…1111…1axa…ax-aD=[x+(n-1)a]naax…a=h+(n-1)a]x-a =[x+(n-1)a](x-a)aaa…xx-a2．遞推法1—aa-1 1-aa例4計(jì)算行列式D=-1 1-aa 之值。-11一aa-1 1一a解把各列均加至第1列，并按第1列展開(kāi)，得到遞推公式1 a1—aaD=-11-aa=D—a(-1)5+1a45-11-aa4-11—a例2計(jì)算行列式D=1-1b11-b1-1b2例2計(jì)算行列式D=1-1b11-b1-1b21-b2-1b31-b之值。1b1b1b1111b1b1b2=2=2-11-bb1b1b2333-11-b-11-b1解從第1行開(kāi)始,依次把每行加至下一行,得D=33xaaa3例3計(jì)算行列式D=之值。繼續(xù)使用這個(gè)遞推公式，有D=D+a4 D=D-a34 3 3 2而初始值D=1-a+a2，所以D=1-a+a2-a3+a4-a525例5計(jì)算行列式D例5計(jì)算行列式D=na1a2a3之值。an-1an解按第n行展開(kāi)，有D=xD+a(—1)n+i?(—1)n-i=xD+a,n n-1n n-1n從而遞推地得到D=xD+a(-1)n-(-1)n-2二xD+a,n-1 n-2n-1 n-2 n-1D二xD+an-2 n-3n-2D=ax+a212對(duì)這些等式分別用1,x,x2,…,xn-2相乘，然后相加，得到D=axn-1+axn-2+axn-3+ +ax+an 1 23．?dāng)?shù)學(xué)歸納法3n-1 na…a0…0111k小 a…ab...ba…a0…0111k111r例6證明①k1kkb...■??■??oc…c…b111k111ra…ab...b???……… k1kkr1rrc…cb…br1rkr1rr解我們對(duì)k用數(shù)學(xué)歸納法。a0…011cb?…b當(dāng)k=1時(shí)，①的左端為11111r按第一行展開(kāi)，就得到所要的結(jié)論。cr1br1...brr假設(shè)①對(duì)k=m-1，即左端行列式的左上角是m-1級(jí)時(shí)已經(jīng)成立，現(xiàn)在來(lái)看k=m的情形，按第

a ….iia01m...0a22?…a2m0…0a ?…a0???0a…a0…0一行展開(kāi)，有m1mmj=am2mmb…7+C ….Cb…b11C?…Cb111m 111r121m111r ………???……………...C ….Cb...bC…Cb…br1rm r1rrr2rmr1rraaa…a0…0212,i—12,i+12ma …aaa0…0…+(-l)i+ia m1m,i—1m,i+1mmb…bliC …CC…C111,i—11,i+11m111rc …CCCb…br1r,i—1r,i=1rmr1rraa00212,m—1aa00+?…+(一1)1+ma m1m,m—1bb1mCC…111,m—1111rCCbbr1r,m—1r1rra …aaaa …a22 2m212,i—12,i+12m=[a??? ??? ???+…+(—1)1+ia???………???111ia …aa…aa ?…am2 mmm1m,i—1m,i+1mma …ab???ba?…ab?…b212,m—1111r111m111r+?…+(—1)1+ma ?…?…]????…???—???…… 1ma …ab…ba….ab?…bm1m,m—1r1rrm1mmr1rr最后一個(gè)是根據(jù)按一行展開(kāi)的公式。abCd—ba—dC之值?！狢da—b—d—Cba例7計(jì)算行列式|A|二這里第二個(gè)等號(hào)是用了歸納法假定根據(jù)歸納法原理，①式普遍成立。4．公式法解由于AAt=(a2+b2+C2+d2)E，故用行列式乘法公式，得這里第二個(gè)等號(hào)是用了歸納法假定根據(jù)歸納法原理，①式普遍成立。4．公式法|A|2=|A|-|At=IAAt=(a2+b2+c2+d2)4

因A|中，a4系數(shù)是+1,所以|A|=（a2+b2+c2+d2）2。（二）行列式的概念與性質(zhì)的例題例8已知aaaaaa是6階行列式中的一項(xiàng)，試確定i,j的值及此項(xiàng)所帶的符號(hào)。2331ij645615解根據(jù)行列式的定義，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。因此，行指標(biāo)2,3,i，6,5，1應(yīng)取自1至6的排列，故i=4，同理可知j=2。直接計(jì)算行的逆序數(shù)與列的逆序數(shù)，有t（2,3,4,6,5,1）+T（3,1,2,4,6,5）亦知此項(xiàng)應(yīng)帶負(fù)號(hào)。（三）抽象行列式的計(jì)算例9已知a,a,&P,Y都是4例9已知a,a,&P,Y都是4維列向量，且巴，氷，a3,卩12=a，lP+Y,a3,a2,叩=b，則|2y,a,a,a=1 1 2 3）。解|卩+丫,a，a,中第1列是兩個(gè)數(shù)的和，用性質(zhì)3可將其拆成兩個(gè)行列式之和，再利用對(duì)換,提公因式等行列式性質(zhì)作恒等變行，就有|P+丫,a,a,a1 3 2 1=P,a,a,a+y,a,a,a_ _ 3 2 1321|P,a,|P,a,a,a|=|a,a,a,1 3 2 1123卩I,Y,a3,a2,aJ=HY,a1,a2a」于是|2y,a, ,^1=2(a-b)01111 一 、廠 廠例10若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為a,yj則行列式B-1—E=（ ）。23451111解由A?B，知B的特征值是a，亍,。那么B-1的特征值是2，3,4，5?于是B-1—E的特征值2345=(=(x-2)=(x-2)(x2-9x+18)是1，2,3,4。有公式得，B-1—E=24。（四）含參數(shù)行列式的計(jì)算x—31-1例11已知D=1x-51=0，求x。-11x—3解將第3行的-1倍加至第1行，有x—202—x10—1100D=1x—51=(x-2)1x—51=(x-2)1x—52—11x—3—11x—3—11x—4

以x—2,x—3,x—6。(五)關(guān)于|A|=0的證明解題思路：設(shè)證法|A|=TA|；反證法：如|A|豐0從A可逆找矛盾；構(gòu)造齊次方程組Ax二0，設(shè)法證明它有非零解；設(shè)法證矩陣的秩r(A)<n；證明0是矩陣A的一個(gè)特征值。例12設(shè)A2=A,A豐E(單位矩陣)，證明：|A|=0。證法一：如A|豐0，則A可逆，那么A=A-1A2=AtA=E.與已知條件A豐E矛盾。證法二：由A2=A，有A(A-E)=0,從而A-E的每一列都是齊次方程組Ax=0的解，又因A豐E，故Ax=0有非零解，從而|A|=0。證法三：證同上，由于A-E的每一列0(i=1,2,n都是Ax=0的解，所以ir(A-E)=r(0,0,…，0)<n-r(A)，又因A豐E，r(A一E)>0，故r(A)<n-r(A-E)<n，1 2n所以|A|=0。證法四：證同上，設(shè)0是A-E中非零列，則A0=0=00，則，0是A的特征值，故|A|=0。i i i(六)特殊行列式的解法x(x-x(x-1)22x2(x-1)22x(x-1)之值。3 3x2(x一1)3 3111.1aaa.a123na2a2a2.a2123n......???an-1an-2an-3.an-1定義：行列式d=稱為n級(jí)的范德蒙行列式。132n例13計(jì)算行列式|A|=xi(xi-1)x2(x一1)11解把1改寫(xiě)成x-(x-1)，第一行成為兩數(shù)之和，|A|可拆成兩個(gè)行列式之和，即i i

|A|x x x1 2 3x（|A|x x x1 2 3x（x一1）x（x一1）x（x一1）1 1 2 2 3 3x2（x一1）x2（x一1）x2（x一1）1 1 2 2 3 3-（x一1）1x（x一1）IIx2（x一1）11-（x一1）2x（x一1）22x2（x一1）22-（x一1）3x（x一1）3 3x2（x一1）3 3分別記這兩個(gè)行列式為|B|和|C|,則由范德蒙行列式得,111B=xxxx—1x一1x—1123123x2—xx2一xx2—x11223 3111=xxxxxx=Rx-n（x123 123iix2x2x2i=11<j<i<3123c二—円(x—1)-n(x-x)TOC\o"1-5"\h\zi iji=1 1<j<i<3故A|=n(x—x)[Hx—R(x—1)]ij i i1<j<i<3 i=1 i=1(七)拉普拉斯定理設(shè)在行列式D中任意取定了k(1<k<n-1)個(gè)行，由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。(其中：①k級(jí)子式：在一個(gè)n級(jí)行列式D中任意選定k行k列(k<n)。位于這些行和列的交點(diǎn)上的k2個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)k級(jí)行列式M，稱為行列式D的一個(gè)k級(jí)子式。②余子式：在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的n—k級(jí)行列式M'稱為k級(jí)子式M的余子式。③代數(shù)余子式：設(shè)D的k級(jí)子式M在D中所在的行、列指標(biāo)分別是i,i…i；j,j，…j.TOC\o"1-5"\h\z12k1 2k則M的余子式M'前面加上符號(hào)(—1)(i1+i2+"*)+(j1+j2+…+jk)后稱為M的代數(shù)余子式)。12 140—121例14求行列式D=1 0 1 3。0 131解：在行列式D中取定第一、二行，得到六個(gè)子式：121114M=,M=,M=910-1202301212414M=,M=,M二4-125-11621它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為A=(—l)(i+2)+(i+2)M'=M',A=(—l)(i+2)+(i+3)M'=_M',111222A=(-1)(1+2)+(1+4)M'=M',A=(-1)(1+2)+(2+3)M'=M',3 3 3 4 4 4A=(-1)(1+2)+(2+4)M'=-M',A=(-1)(1+2)+(3+4)M'=M'555666根據(jù)拉普拉斯定理D=MA+MA++MA112266121311030-1?31一02?1114012113++0113-120124111410—+-11032101=(-1)x(-8)-2X(-3)+1x(-1)+5X1-6x3+(-7)x1=8+6-1+5-18-7=-7參考文獻(xiàn):北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).高等教育出版社，1988，51-96李正元李永樂(lè)袁蔭棠.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).國(guó)家行政學(xué)院出版社，2005，347-363。張賢科許甫華.高等代數(shù)學(xué).清華大學(xué)出版社，2000。致謝我的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）撰寫(xiě)工作自始至終都是在陳軍老師全面、具體的指導(dǎo)下進(jìn)行的，陳軍老師淵博的學(xué)識(shí)、敏銳的思維、民主而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，使我受益匪淺，終生難忘，陳老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和對(duì)工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠(yuǎn)激勵(lì)和鞭策我認(rèn)真學(xué)習(xí)、努力工作。感謝我的指導(dǎo)教師陳軍對(duì)我的關(guān)心、指導(dǎo)和教誨！感謝我的學(xué)友和朋友對(duì)我的關(guān)心和幫助！DeterminantofthenatureandtermsWangFengDirectedbyprof.chenJunAbstacrtLinearAlgebra,isanimportantdeterminantofthebasictools,directcalculationdeterminantisoftendifficultandcumbe