(信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)學(xué)習(xí)輔導(dǎo))第2章

來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除第2章匹配濾波器2.1內(nèi)容提要及結(jié)構(gòu)本章介紹匹配濾波器的概念，討論一般匹配濾波器（既適用于白噪聲，也適用于色噪聲）普遍形式的沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)；進(jìn)一步討論白噪聲背景下的匹配濾波器的沖激響應(yīng)、傳輸函數(shù)和基本性質(zhì)；最后，應(yīng)用白化處理方法求廣義匹配濾波器的傳輸函數(shù)。本章內(nèi)容邏輯結(jié)構(gòu)如圖2.1圖圖2.1.1匹配濾波器色噪聲背景下的匹配濾波器一般匹配濾波器白噪聲背景下的匹配濾波器匹配濾波器的概念沖激響應(yīng)傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)白化處理方法性質(zhì)沖激響應(yīng)傳輸函數(shù)2.2目的及要求本章的目的是使學(xué)習(xí)者理解匹配濾波器的概念，熟悉匹配濾波器的作用及應(yīng)用條件；掌握一般匹配濾波器沖激響應(yīng)方程和傳輸函數(shù)的推導(dǎo)方法，通過(guò)傳輸函數(shù)理解匹配濾波器的作用；掌握白噪聲背景下匹配濾波器沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)，熟悉白噪聲背景下匹配濾波器的性質(zhì)；理解白化濾波器的概念，掌握白化處理方法及廣義匹配濾波器傳輸函數(shù)；熟悉物理可實(shí)現(xiàn)和物理不可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的特點(diǎn)，掌握物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)的求取方法。2.3學(xué)習(xí)要點(diǎn)2.●內(nèi)容提要：本小節(jié)主要簡(jiǎn)述匹配濾波器的產(chǎn)生思路、定義、特點(diǎn)、作用和研究思路?！耜P(guān)鍵點(diǎn)：理解匹配濾波器的使用條件，熟悉匹配濾波器的研究思路。1．匹配濾波器的產(chǎn)生思路由于信號(hào)在信道中傳輸時(shí)受到噪聲的污染，接收設(shè)備所接收的信號(hào)是信號(hào)加噪聲，接收設(shè)備要達(dá)到有效、可靠恢復(fù)被傳送信號(hào)的目的，需要盡可能地壓制或抑制噪聲，使信號(hào)在信號(hào)加噪聲中所占的比例盡可能大，從而減小噪聲對(duì)信號(hào)的影響，有利于對(duì)信號(hào)的處理。因此，以輸出信號(hào)與噪聲的功率比（簡(jiǎn)稱為信噪比）達(dá)到最大作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)設(shè)計(jì)接收設(shè)備就是一種減小噪聲影響的思路。2．匹配濾波器的定義在輸入為確定信號(hào)加平穩(wěn)噪聲的情況下，使輸出信噪比達(dá)到最大的線性系統(tǒng)稱為匹配濾波器。3．匹配濾波器的特點(diǎn)①匹配濾波器是線性系統(tǒng)，而且在大多數(shù)情況下限定為線性時(shí)不變系統(tǒng)。②輸入的確定信號(hào)已知。③輸入的噪聲是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，即已知噪聲的平均值和自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度。④所采用的最佳準(zhǔn)則是輸出信噪比最大準(zhǔn)則。⑤匹配濾波器具有較強(qiáng)的針對(duì)性，只能對(duì)輸入的已知確定信號(hào)匹配，而不可能對(duì)所有信號(hào)多匹配。4．匹配濾波器的作用一是使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；二是抑制噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)處理的影響。5．匹配濾波器研究思路在輸入信號(hào)模型為確定信號(hào)加平穩(wěn)噪聲的情況下，已知確定信號(hào)和平穩(wěn)噪聲的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度，采用最大信噪比準(zhǔn)則，求出匹配濾波器的沖激響應(yīng)或傳輸函數(shù)，為匹配濾波器的設(shè)計(jì)提供數(shù)學(xué)模型。2.3.2匹配濾波器沖激響應(yīng)及傳輸函數(shù)●內(nèi)容提要：本小節(jié)所指的匹配濾波器是既適用于白噪聲，也適用于色噪聲的一般匹配濾波器。主要應(yīng)用最優(yōu)化的兩種方法推導(dǎo)出匹配濾波器的沖激響應(yīng)方程和傳輸函數(shù)，并歸納物理不可實(shí)現(xiàn)與物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的特點(diǎn)?！耜P(guān)鍵點(diǎn)：由匹配濾波器傳輸函數(shù)看出其能夠?qū)崿F(xiàn)使使輸出信噪比最大的物理意義，掌握獲得匹配濾波器沖激響應(yīng)方程和傳輸函數(shù)的最優(yōu)化方法，熟悉物理不可實(shí)現(xiàn)與物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的特點(diǎn)。1．匹配濾波器沖激響應(yīng)方程（1）匹配濾波器的已知條件設(shè)匹配濾波器的沖激響應(yīng)為，并假設(shè)確定信號(hào)加平穩(wěn)噪聲的匹配濾波器輸入信號(hào)模型為。其中：為確定信號(hào)，并存在于時(shí)間間隔內(nèi)；為平穩(wěn)噪聲，其均值為0，自相關(guān)函數(shù)為。（2）最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)匹配濾波器就是一個(gè)使線性時(shí)不變?yōu)V波器的輸出信噪比最大的最優(yōu)化問(wèn)題。輸出信噪比最大是最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。線性時(shí)不變?yōu)V波器時(shí)域形式的輸出信噪比為（2.3.式中：表示信噪比；為在時(shí)刻輸出信號(hào)，為在時(shí)刻輸出信號(hào)的功率；是未達(dá)到匹配濾波的沖激響應(yīng)。（2）匹配濾波器沖激響應(yīng)方程推導(dǎo)過(guò)程使輸出信噪比最大是一個(gè)無(wú)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)就是信噪比表示式。但是，信噪比表示式的分子和分母均是變化的，不方便求解最優(yōu)化。因?yàn)樵趯?shí)際中，很容易通過(guò)使輸入信號(hào)功率恒定，達(dá)到使輸出信號(hào)功率恒定。因此，通過(guò)限定輸出信號(hào)功率為常數(shù)，使輸出噪聲功率最小等效于使信噪比最大。于是，將這個(gè)無(wú)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題等效為有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日（Largrange）乘數(shù)法解這個(gè)問(wèn)題。針對(duì)這一最優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)為（2.3.式中：為拉格朗日乘數(shù)。由于是對(duì)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)擾動(dòng)法求解最優(yōu)化問(wèn)題。即令（2.3.式中：為一任意乘數(shù)；是定義于的任意函數(shù)。通過(guò)使（2.3.推導(dǎo)出匹配濾波器沖激響應(yīng)方程。從而得到匹配濾波器沖激響應(yīng)應(yīng)滿足的積分方程為（2.3.這就是匹配濾波器沖激響應(yīng)方程，它是匹配濾波器沖激響應(yīng)方程的普遍形式，即適用于白噪聲，也適用于色噪聲。匹配濾波器沖激響應(yīng)需要通過(guò)求解匹配濾波器沖激響應(yīng)方程得到。匹配濾波器沖激響應(yīng)方程的物理意義為：當(dāng)濾波器輸入端確知信號(hào)為，加性噪聲的自相關(guān)函數(shù)為時(shí)，則滿足這一積分方程的濾波器使輸出信噪比達(dá)到最大。2．匹配濾波器傳輸函數(shù)（1）匹配濾波器傳輸函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程設(shè)匹配濾波器的傳輸函數(shù)的為，輸入確定信號(hào)的頻譜為，輸入平穩(wěn)噪聲的功率譜密度為，線性時(shí)不變?yōu)V波器頻域形式的輸出信噪比為（2.3.6）式中：是未達(dá)到匹配濾波的傳輸函數(shù)。頻域形式的輸出信噪比是無(wú)約束條件最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。利用施瓦茲（Schwarz）不等式，求解使輸出功率信噪比達(dá)到最大的最優(yōu)化問(wèn)題。由施瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件得到匹配濾波器傳輸函數(shù)表示式。從而得到匹配濾波器傳輸函數(shù)為（2.3.這就是匹配濾波器傳輸函數(shù)的普遍形式，它即適用于白噪聲，也適用于色噪聲。（2）匹配濾波器傳輸函數(shù)的特點(diǎn)由匹配濾波器傳輸函數(shù)可以看出，匹配濾波器傳輸函數(shù)的幅頻特性與信號(hào)頻譜的幅度成正比，與噪聲的功率譜密度成反比；對(duì)于某個(gè)頻率點(diǎn)，信號(hào)越強(qiáng)，該頻率點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)越大，噪聲越強(qiáng)，加權(quán)越小?？梢?jiàn)，匹配濾波器具有抑制噪聲的作用。3．物理不可實(shí)現(xiàn)與物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器（1）物理不可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器物理不可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器也稱作非因果匹配濾波器：是指物理上不可能實(shí)現(xiàn)或不滿足因果規(guī)律的匹配濾波器。物理不可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的沖激響應(yīng)滿足：，。物理不可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的傳輸函數(shù)的極、零點(diǎn)分布在左半平面和右半平面。（2）物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器也稱作因果匹配濾波器：是指物理上可能實(shí)現(xiàn)或滿足因果規(guī)律的匹配濾波器。物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的沖激響應(yīng)滿足：，；，。物理可實(shí)現(xiàn)匹配濾波器的傳輸函數(shù)的極、零點(diǎn)都在左半平面。2.3.3●內(nèi)容提要：本小節(jié)根據(jù)白噪聲的功率譜密度為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)為函數(shù)的特點(diǎn)，由一般匹配濾波器的沖激響應(yīng)方程和傳輸函數(shù)，得出白噪聲背景下匹配濾波器的沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)，并討論白噪聲背景下匹配濾波器的性質(zhì)。●關(guān)鍵點(diǎn)：熟悉白噪聲的特點(diǎn)，掌握白噪聲背景下匹配濾波器的沖激響應(yīng)、傳輸函數(shù)和性質(zhì)。1．白噪聲與色噪聲（1）白噪聲白噪聲是一種功率譜密度在整個(gè)頻帶內(nèi)為常數(shù)的隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為函數(shù)。（2）色噪聲色噪聲是功率譜密度在整個(gè)頻帶內(nèi)的分布為非均勻的隨機(jī)信號(hào)或隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)不再是函數(shù)。2．白噪聲背景下匹配濾波器的沖激響應(yīng)設(shè)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為，由一般匹配濾波器的沖激響應(yīng)方程，得到白噪聲背景下匹配濾波器沖激響應(yīng)為（2.3.8）由此可見(jiàn)：白噪聲背景下匹配濾波器的沖激響應(yīng)是輸入的已知確定信號(hào)沿時(shí)間軸反褶，并延遲時(shí)間。因此，如果設(shè)計(jì)白噪聲背景下匹配濾波器，需要知道輸入確定信號(hào)的波形。白噪聲背景下匹配濾波器的輸出信噪比為（2.3.9）式中：為輸入信號(hào)能量。由式（2.3.9）可見(jiàn)：白噪聲背景下匹配濾波器的輸出信噪比只與輸入信號(hào)能量和白噪聲功率潛密度有關(guān)，而與輸入信號(hào)的波形和噪聲的概率分布無(wú)關(guān)。3．白噪聲背景下匹配濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)白噪聲的功率譜密度為，由一般匹配濾波器的傳輸函數(shù)，得到白噪聲背景下匹配濾波器傳輸函數(shù)為（2.3.10）式中：。通常取。由式（2.3.10）可見(jiàn)：白噪聲背景下匹配濾波器的傳輸函數(shù)為輸入的已知確定信號(hào)頻譜的共軛，并附加相移。因此，白噪聲背景下匹配濾波器的幅頻特性等于輸入確定信號(hào)的幅頻特性，或者說(shuō)二者是相匹配的。4．白噪聲背景下匹配濾波器的性質(zhì)（1）在所有線性濾波器中，匹配濾波器輸出的信噪比最大，其數(shù)值等于。（2）匹配濾波器的輸出信噪比，僅與輸入信號(hào)能量和白噪聲的功率譜密度有關(guān)，而與輸入信號(hào)的波形、噪聲的分布律無(wú)關(guān)。（3）匹配濾波器的幅頻特性與輸入信號(hào)的幅頻特性一致，而匹配濾波器的相頻特性與輸入信號(hào)的相頻特性相反，并有一附加的相位項(xiàng)。匹配濾波器的幅頻特性與輸入信號(hào)的幅頻特性一致，說(shuō)明匹配濾波器對(duì)輸入信號(hào)中較強(qiáng)的頻率成分給以較大的權(quán)重，而對(duì)輸入信號(hào)中較弱的頻率成分，則給以較小的權(quán)重。匹配濾波器的相頻特性與輸入信號(hào)的相位譜互補(bǔ)（除線性相位項(xiàng)而外）。它說(shuō)明，不管輸入信號(hào)有怎樣復(fù)雜的非線性相位譜，經(jīng)過(guò)匹配濾波器以后，這些非線性相位譜將全部被補(bǔ)償?shù)?，輸出信?hào)僅保留有線性相位譜。這就意味著輸出信號(hào)的各不同頻率成分將在某一時(shí)刻達(dá)到同一相位，振幅代數(shù)相加，從而形成輸出信號(hào)的峰值。至于噪聲，由于它固有的隨機(jī)性，匹配濾波器的相位特性對(duì)它沒(méi)有任何影響。因此，匹配濾波器對(duì)信號(hào)的各頻率分量起到同相相加的作用，而對(duì)噪聲仍按照隨機(jī)相位的情形相加，從而輸出端的信噪比得到提高。（4）為了保證匹配濾波器的物理可實(shí)現(xiàn)性，匹配濾波器傳輸函數(shù)的極、零點(diǎn)必須在左半平面。（5）匹配濾波輸出的觀測(cè)時(shí)刻選擇在輸入信號(hào)的末尾（6）匹配濾波器對(duì)于波形相似而振幅和時(shí)延參量不同的信號(hào)具有適應(yīng)性。（7）匹配濾波器對(duì)于頻移信號(hào)不具有適應(yīng)性。（8）匹配濾波器與相關(guān)器是完全等效的。（9）匹配濾波器的輸出信號(hào)是輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。對(duì)于輸入信號(hào)，匹配濾波器的輸出信號(hào)為（2.3.11）式中：表示輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。2.3.4色噪聲背景下的匹配濾波器●內(nèi)容提要：色噪聲背景下的匹配濾波器一般稱為廣義匹配濾波器，其沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)可以由一般匹配濾波器的沖激響應(yīng)方程和傳輸函數(shù)得到，但往往比較困難。通常采用白化處理方法求廣義匹配濾波器的傳輸函數(shù)。廣義匹配濾波器的沖激響應(yīng)通過(guò)對(duì)傳輸函數(shù)的拉普拉斯逆變換得到。本小節(jié)主要討論白化處理方法以及通過(guò)白化處理方法求廣義匹配濾波器傳輸函數(shù)的方法?！耜P(guān)鍵點(diǎn)：理解廣義匹配濾波器和的白化處理物理意義，掌握白化處理方法和求廣義匹配濾波器傳輸函數(shù)的方法。1．白化處理方法白化處理方法：先將含有色噪聲的輸入信號(hào)先通過(guò)一個(gè)白化濾波器，把色噪聲變?yōu)榘自肼?，然后讓白化濾波器輸出通過(guò)白噪聲背景下的匹配濾波器，從而實(shí)現(xiàn)色噪聲背景下的匹配濾波。這樣，就可將在白噪聲下得到的結(jié)果應(yīng)用到色噪聲情況中。通過(guò)白化處理方法，廣義匹配濾波器等效為白化濾波器與白噪聲背景下匹配濾波器的級(jí)聯(lián)，它們的傳輸函數(shù)分別為和，如圖2.3.1所示。在圖2.3.1中，第一個(gè)濾波器用來(lái)作為白化濾波器，將輸入色噪聲變換成白噪聲，因此，在它的輸出端為已知信號(hào)與相加白噪聲之和。第二個(gè)濾波器則是在白噪聲下對(duì)于信號(hào)的匹配濾波器。2．白化濾波器白化濾波器是將輸入色噪聲變換成白噪聲的濾波器。設(shè)色噪聲的功率譜密度為，則白化濾波器的傳輸函數(shù)為（2.3.式中：噪聲的功率譜密度可分解為，其中；的零、極點(diǎn)都在的左半平面，的零、極點(diǎn)都在的右半平面。白化濾波器白化濾波器白噪聲背景下匹配濾波器色噪聲白噪聲圖2.3.13．白噪聲下的匹配濾波器由于輸入確定信號(hào)也通過(guò)了白化濾波器，白化濾波器的輸出確定信號(hào)的頻譜為（2.3.由于白化濾波