工程電磁場分析的數(shù)理基礎 課件

1.5場向量的微分方程-波動方程MAXWELL微分方程組，在數(shù)學上多重耦合、多變量、求解困難.一般先導出由單個場向量所給定的解耦的微分方程。由MAXWELL方程組導出由場向量H、B、E、D或J所滿足的偏微分方程。1.5場向量的微分方程-波動方程MAXWELL微分方程組，1工程電磁場分析的數(shù)理基礎課件2H的導出方程：

對于線性、均勻且各向同性媒質(zhì)，設場域中無自由電荷，則由式（1-1）取旋度，并以：J=gE

代入，便得H的導出方程：對于線性、均勻且各向同性媒質(zhì)，設場域中無自由3由于

代入（1-27），即得同理可證

式（1-28）、（1-29）就是由一個場分量（H、B、E、D）所描述的一般齊次波動方程。

由于4在特定情況下，基于以上各場分量的導出方程可進一步分別歸結為：(1)理想介質(zhì)（g=0）中的電磁波方程（波動方程）

(2)良導電媒質(zhì)（g>>we）中的渦流方程（擴散或熱傳導方程）

在特定情況下，基于以上各場分量的導出方程可進一步分別歸結為5(3)正弦穩(wěn)態(tài)時變場中的渦流方程（相量形式的擴散或熱傳導方程）

(4)沒有自由電荷分布區(qū)域中的靜電場方程（拉普拉斯方程）

(5)沒有傳導電流分布區(qū)域中的恒定磁場方程（拉普拉斯方程）

(3)正弦穩(wěn)態(tài)時變場中的渦流方程（相量形式的擴散或熱傳導方程61.6位函數(shù)的微分方程

---位函數(shù)和波方程一個場向量的微分方程對應于三個標量微分方程。即在任一場點上，待求的自由度數(shù)是三個，因此離散化后的自由度數(shù)是相當可觀的。為減少待求自由度數(shù)，提高計算效率，同時，也為了簡化概念，構造簡便的數(shù)學模型，引入和應用各種電磁場位函數(shù)。(有源）1.6位函數(shù)的微分方程

---位函數(shù)和波方程一個場向量的微7位函數(shù)引入多種輔助函數(shù)，即位函數(shù)（如電位），然后由源（如電荷）求位函數(shù)，再由位函數(shù)計算電場或磁場。位函數(shù)有：矢量位A，標量位f，赫茲（Herz）矢量位P位函數(shù)引入多種輔助函數(shù)，即位函數(shù)（如電位），然后由源（如電荷8位函數(shù)定義如下(周希朗）位函數(shù)定義如下(周希朗）9可以證明，位函數(shù)滿足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數(shù)，因此也稱它們?yōu)椴ǎ▌樱┓匠?。可以證明，位函數(shù)滿足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數(shù)，10在無源無耗區(qū)，赫茲位滿足以下方程由赫茲位計算電場和磁場的公式為在無源無耗區(qū)，赫茲位滿足以下方程由赫茲位計算電場和磁場的公式11在直角坐標系中，矢量位的三個分量均滿足波動方程；在柱坐標系中，矢量位的z分量滿足波動方程；在球坐標系中，矢量位的所有分量均無法滿足波方程。故在球坐標系中，引入德拜（Deby）位，在直角坐標系中，矢量位的三個分量均滿足波動方程；故在球坐標系121.6.1動態(tài)場中的動態(tài)位方程由任意向量旋度的散度與任意標量梯度的旋度均恒等于零，對動態(tài)電磁場，可驗證有以上兩式分別定義了：動態(tài)向量位函數(shù)A(r,t)動態(tài)標量位函數(shù)j(r,t)

它們自動滿足MAXWELL方程組中（1-3）和（1-2）。1.6.1動態(tài)場中的動態(tài)位方程由任意向量旋度的散度與任意標13但須知，引入位函數(shù)表示場量B和E，含有任意性的成分。因為如果令則可給出同樣的B和E。位函數(shù)按照式（1-37）和（1-38）的變換，稱為規(guī)范變換，而保持B和E不變性，則稱為規(guī)范不變性。由于存在這一規(guī)范不變性，所以對應于一組B和E的值，可以有無窮多組A和j的取值，即位函數(shù)不是唯一的。但須知，引入位函數(shù)表示場量B和E，含有任意性的成分。14任意性可以導致隨意規(guī)定，要采用規(guī)范對A的散度施加約束條件。規(guī)范的選擇原則：１）唯一地確定相應的位函數(shù)值，２）可簡化相應的位函數(shù)方程。通常，對自由空間中的動態(tài)電磁場，引入如下的洛侖茲規(guī)范：任意性可以導致隨意規(guī)定，要采用規(guī)范對A的散度施加約束條件。15由此可導出簡單而且對稱的位函數(shù)方程組上兩式是分別關于動態(tài)向量位A和動態(tài)標量位j的非齊次波動方程，常稱為達朗貝爾方程。這兩個方程和式（1-39）（洛侖茲規(guī)范）一起構成了與MAXWELL方程組等價的一個方程組。由此可導出簡單而且對稱的位函數(shù)方程組16對于時諧電磁場，場空間中各場點的動態(tài)位A(r,t)和j(r,t)也可分別再用復相量表示為和，而相應的達朗貝爾方程的相量形式就成為式中：，稱為相位速度；w為正弦激勵的角頻率。對于時諧電磁場，場空間中各場點的動態(tài)位A(r,t)和j171.6.2磁準靜態(tài)場中的動態(tài)位方程

對于磁準靜態(tài)場，在忽略位移電流的前提下，式（1-39）即成為上式A的散度是施加的約束條件，被稱為庫侖規(guī)范。相應地，式（1-40）也就簡化為但注意，由于此時在導電媒質(zhì)內(nèi)伴隨有渦流與集膚效應，因而無從預先給定截流導體內(nèi)電流密度J的分布。換句話說，不可能依據(jù)式（1-45）直接求解動態(tài)位A。1.6.2磁準靜態(tài)場中的動態(tài)位方程對于磁準靜態(tài)場，在忽略18分析表明，在導電媒質(zhì)中流通的電流都遵從式（1-7），而其中的電流密度既應表征由外源施加的電流密度Js，又應表征媒質(zhì)內(nèi)感生的渦流密度Je，即代入式（1-36），可得分析表明，在導電媒質(zhì)中流通的電流都遵從式（1-7），而其中的19注意到在靜態(tài)極限情況下上式將歸結為，因此，可以對式（1-47）中每一項的物理意義作出判斷，即動態(tài)標量位j可看作為自由電荷系統(tǒng)（體、面、線電荷系統(tǒng)）所產(chǎn)生的標量位場，而動態(tài)向量位A則與時變的電流分布相聯(lián)系，從而可選擇渦流密度：注意到在靜態(tài)極限情況下上式將歸結為，20在以上分析基礎上，依據(jù)基本方程（1-14），結合關系式（1-46）、（1-47），可得描述磁準靜態(tài)場的動態(tài)位方程為上式兼容了場域中可能存在非線性媒質(zhì)的一般情況。若場域中媒質(zhì)為各向同性的線性媒質(zhì)，則引入庫侖規(guī)范，式（1-48）可簡化為在以上分析基礎上，依據(jù)基本方程（1-14），結合關系式（1-21對于正弦穩(wěn)態(tài)條件下的磁準靜態(tài)場，動態(tài)位方程（1-49）的相量形式即為解耦情況下的動態(tài)標量位j在設定場空間電荷密度r=0的前提下，應滿足拉普拉斯方程，即對于正弦穩(wěn)態(tài)條件下的磁準靜態(tài)場，動態(tài)位方程（1-49）的相量221.6.3靜態(tài)場中的位函數(shù)方程在靜態(tài)電場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-19）、（1-20），同理可以定義式中，標量位函數(shù)j(r)稱為電位函數(shù)?？蓪У玫葍r的位函數(shù)方程即泊松方程在無電荷分布的場域中，位函數(shù)j應滿足拉普拉斯方程1.6.3靜態(tài)場中的位函數(shù)方程在靜態(tài)電場情況下，根據(jù)其基本23在靜態(tài)磁場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-21）、（1-22），同樣可定義向量磁位函數(shù)A(r)，滿足從而等價的向量磁位函數(shù)的雙旋度方程為若場域中媒質(zhì)為各向同性的線性媒質(zhì)，則計入庫侖規(guī)范，式（1-56）可簡化為向量形式的泊松方程在靜態(tài)磁場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-21）、（1-22）24在無電流區(qū)域中，靜態(tài)磁場的基本方程（1-21）變成這樣，就可以引入標量磁位函數(shù)jm(r)，而令顯然，標量磁位恒滿足拉普拉斯方程在無電流區(qū)域中，靜態(tài)磁場的基本方程（1-21）變成25補充：（一）波方程的基本解在均勻、各向同性區(qū)域，基本解有平面波、柱面波、球面波。基本術語：等相面：在同一時刻，空間波動中相位相同的點連成的表面；等幅面：在同一時刻，空間波動中振幅相同的點連成的表面；平面波：等相面為平面的波；均勻平面波：等相面和等幅面重合的平面波；非均勻平面波：等相面與等幅面不重合的平面波；球面波：等相面為球面的波；柱面波：等相面為柱面的波。補充：（一）波方程的基本解在均勻、各向同性區(qū)域，基本解有平面26平面波在均勻、各向同性區(qū)域，直角坐標系中的波方程的基本解為均勻平面波。平面波的簡單表達式為式中平面波在均勻、各向同性區(qū)域，直角坐標系中的波方程的基本解為均27如略去時間因子，即用復矢量表示，則平面波電場為由Maxwell方程，可得平面波磁場的表達式相對于傳播方向，均勻平面波的電場、磁場只有橫向分量，因此稱為橫電磁波或TEM波。

如略去時間因子，即用復矢量表示，則平面波電場為由Maxwel28散射問題常用到角譜理想均勻平面波只在單一方向傳播，在角度域只有一條譜。復雜電磁波可分解為許多理想平面波的集合，表示成平面波角譜PWS（planewavespectrum）。從數(shù)學上看，每個平面波都是一個d函數(shù)。正如復雜時間信號經(jīng)過Fourier變換可表示為頻譜一樣，空間場的平面波譜概念非常重要。散射問題常用到角譜29柱面波在無源區(qū)域，赫茲位的波方程為可以證明有產(chǎn)生簡單理想柱面波的源為無限長電流線或磁流線柱面波在無源區(qū)域，赫茲位的波方程為可以證明有產(chǎn)生簡單理想柱面30工程電磁場分析的數(shù)理基礎課件31與平面波不同，式中電磁波傳播矢量的方向k和徑向矢量r的方向處處相同。因此球面波因子可表示為球面波

在球坐標下，引用赫茲位或德拜位，通過球坐標的波動方程和分離變量法可得到球面波的解。一個點源天線在遠區(qū)產(chǎn)生球面波。設理想點源處于球坐標的原點，球面波的基本解可表示為可見，電磁波的等幅面和等相面重合，它們分布在r等于常數(shù)的球面上。與平面波不同，式中電磁波傳播矢量的方向k和徑向矢量r的方向處32根據(jù)能量守恒定理，隨觀察面與理想點源間距離的增加，場強的振幅按1/r規(guī)律衰減。一般來說，只要等相面為球面，電磁波就是球面波。實際天線不是理想天線，它們都不能產(chǎn)生理想均勻球面波。故A=A(q,f)是方位角的函數(shù)，即天線有方向性。根據(jù)能量守恒定理，隨觀察面與理想點源間距離的增加，場強的振幅33（二）自由空間中Maxwell方程的解

--波方程解的導出在洛侖茲規(guī)范下，矢量位的矢量姆霍茲方程為標量位標量姆霍茲方程為在某些正交坐標系下，矢量姆霍茲方程可簡化為標量姆霍茲方程（三個）（二）自由空間中Maxwell方程的解

--波方程解的導出在34而標量姆霍茲方程的格林函數(shù)為這里r’代表源點位置，r代表場點位置。因此有而標量姆霍茲方程的格林函數(shù)為35而標量位可由洛侖茲規(guī)范得到也可由標量位姆霍茲方程得到而標量位可由洛侖茲規(guī)范得到36于是電場E也有兩種表達式：注意這兩種表達式的不同。前者的兩個D算子都是對場點r，即都是作用在格林函數(shù)G上，導致積分核奇異點階次很高。然由于等效源無需被作用，在某些條件下如計算遠場，能化簡得到簡明的表達式。因而此表達式一般用于計算遠場。后者的兩個D算子，一個對場點r，作用在格林函數(shù)G上；一個對源點r’，作用在等效源上，因而積分核奇異點階次低于前者，一般用于計算近場。于是電場E也有兩種表達式：37因此也可得為簡潔，引入兩個積分微分算子L、K，分別定義為這樣電磁場E和H可寫成E=ZL(J);H=K(J)這里因此也可得38用相同的方法或電磁對偶原理可求出等效磁流產(chǎn)生的電磁場為H=L(J)/Z;E=-K(J)于是根據(jù)線性疊加原理，電流和磁流共同產(chǎn)生的電磁場為E=ZL(J)-K(J);H=L(J)/Z+K(J)用相同的方法或電磁對偶原理可求出等效磁流產(chǎn)生的電磁場為39（三）金屬體散射問題積分方程的建立假設有一個電磁波Ei、Hi照射到一個邊界為S的金屬體上，此金屬體自然會產(chǎn)生散射場。下面介紹如何建立一個積分方程來求解出散射場。在S上應用等效原理的第一形式可：散射場可等效為由S上的等效源在均勻介質(zhì)中產(chǎn)生的場。這組等源滿足 Jms=E×n Jes=n×H

由于金屬體表面的切向電場為零，因而上面的等效磁流源為零。（三）金屬體散射問題積分方程的建立假設有一個電磁波Ei、Hi40故散射場可只用等效電流J表達出 Es=ZL(J) Hs=K(J)根據(jù)總場為入射場與散射場之和可得 E=Ei+ZL(J) H=Hi+K(J)上第一式兩邊叉乘n，即金屬體表面的切向電場，應為零可得[Ei+ZL(J)]|t=0此式即為電場積分方程，它由電場邊界條件建立。上第二式兩邊叉乘n可得J-n×K(J)=n×Hi此式即為磁場積分方程，它由磁場邊界條件建立。故散射場可只用等效電流J表達出41原則上，電場積分方程和磁場積分方程是等價的，但從求解角度說，它們有不同的本質(zhì)。因為電場積分方程中，未知函數(shù)等效電流J只出現(xiàn)在算子L的積分里，而磁場積分方程中，J不僅出現(xiàn)在算子K的積分里，還出現(xiàn)在積分外，故在數(shù)學上它們分屬不同的積分類型，前者屬于第一類弗雷德霍姆積分方程，后者屬于第二類弗雷德霍姆積分方程。同樣地，根據(jù)等效原理還可對均勻介質(zhì)體散射問題建立積分方程；也可對非均勻介質(zhì)散射問題建立積分方程。原則上，電場積分方程和磁場積分方程是等價的，但從求解角度說，42演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！431.5場向量的微分方程-波動方程MAXWELL微分方程組，在數(shù)學上多重耦合、多變量、求解困難.一般先導出由單個場向量所給定的解耦的微分方程。由MAXWELL方程組導出由場向量H、B、E、D或J所滿足的偏微分方程。1.5場向量的微分方程-波動方程MAXWELL微分方程組，44工程電磁場分析的數(shù)理基礎課件45H的導出方程：

對于線性、均勻且各向同性媒質(zhì)，設場域中無自由電荷，則由式（1-1）取旋度，并以：J=gE

代入，便得H的導出方程：對于線性、均勻且各向同性媒質(zhì)，設場域中無自由46由于

代入（1-27），即得同理可證

式（1-28）、（1-29）就是由一個場分量（H、B、E、D）所描述的一般齊次波動方程。

由于47在特定情況下，基于以上各場分量的導出方程可進一步分別歸結為：(1)理想介質(zhì)（g=0）中的電磁波方程（波動方程）

(2)良導電媒質(zhì)（g>>we）中的渦流方程（擴散或熱傳導方程）

在特定情況下，基于以上各場分量的導出方程可進一步分別歸結為48(3)正弦穩(wěn)態(tài)時變場中的渦流方程（相量形式的擴散或熱傳導方程）

(4)沒有自由電荷分布區(qū)域中的靜電場方程（拉普拉斯方程）

(5)沒有傳導電流分布區(qū)域中的恒定磁場方程（拉普拉斯方程）

(3)正弦穩(wěn)態(tài)時變場中的渦流方程（相量形式的擴散或熱傳導方程491.6位函數(shù)的微分方程

---位函數(shù)和波方程一個場向量的微分方程對應于三個標量微分方程。即在任一場點上，待求的自由度數(shù)是三個，因此離散化后的自由度數(shù)是相當可觀的。為減少待求自由度數(shù)，提高計算效率，同時，也為了簡化概念，構造簡便的數(shù)學模型，引入和應用各種電磁場位函數(shù)。(有源）1.6位函數(shù)的微分方程

---位函數(shù)和波方程一個場向量的微50位函數(shù)引入多種輔助函數(shù)，即位函數(shù)（如電位），然后由源（如電荷）求位函數(shù)，再由位函數(shù)計算電場或磁場。位函數(shù)有：矢量位A，標量位f，赫茲（Herz）矢量位P位函數(shù)引入多種輔助函數(shù)，即位函數(shù)（如電位），然后由源（如電荷51位函數(shù)定義如下(周希朗）位函數(shù)定義如下(周希朗）52可以證明，位函數(shù)滿足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數(shù)，因此也稱它們?yōu)椴ǎ▌樱┓匠獭？梢宰C明，位函數(shù)滿足以下形式的微分方程因上各式的解為波函數(shù)，53在無源無耗區(qū)，赫茲位滿足以下方程由赫茲位計算電場和磁場的公式為在無源無耗區(qū)，赫茲位滿足以下方程由赫茲位計算電場和磁場的公式54在直角坐標系中，矢量位的三個分量均滿足波動方程；在柱坐標系中，矢量位的z分量滿足波動方程；在球坐標系中，矢量位的所有分量均無法滿足波方程。故在球坐標系中，引入德拜（Deby）位，在直角坐標系中，矢量位的三個分量均滿足波動方程；故在球坐標系551.6.1動態(tài)場中的動態(tài)位方程由任意向量旋度的散度與任意標量梯度的旋度均恒等于零，對動態(tài)電磁場，可驗證有以上兩式分別定義了：動態(tài)向量位函數(shù)A(r,t)動態(tài)標量位函數(shù)j(r,t)

它們自動滿足MAXWELL方程組中（1-3）和（1-2）。1.6.1動態(tài)場中的動態(tài)位方程由任意向量旋度的散度與任意標56但須知，引入位函數(shù)表示場量B和E，含有任意性的成分。因為如果令則可給出同樣的B和E。位函數(shù)按照式（1-37）和（1-38）的變換，稱為規(guī)范變換，而保持B和E不變性，則稱為規(guī)范不變性。由于存在這一規(guī)范不變性，所以對應于一組B和E的值，可以有無窮多組A和j的取值，即位函數(shù)不是唯一的。但須知，引入位函數(shù)表示場量B和E，含有任意性的成分。57任意性可以導致隨意規(guī)定，要采用規(guī)范對A的散度施加約束條件。規(guī)范的選擇原則：１）唯一地確定相應的位函數(shù)值，２）可簡化相應的位函數(shù)方程。通常，對自由空間中的動態(tài)電磁場，引入如下的洛侖茲規(guī)范：任意性可以導致隨意規(guī)定，要采用規(guī)范對A的散度施加約束條件。58由此可導出簡單而且對稱的位函數(shù)方程組上兩式是分別關于動態(tài)向量位A和動態(tài)標量位j的非齊次波動方程，常稱為達朗貝爾方程。這兩個方程和式（1-39）（洛侖茲規(guī)范）一起構成了與MAXWELL方程組等價的一個方程組。由此可導出簡單而且對稱的位函數(shù)方程組59對于時諧電磁場，場空間中各場點的動態(tài)位A(r,t)和j(r,t)也可分別再用復相量表示為和，而相應的達朗貝爾方程的相量形式就成為式中：，稱為相位速度；w為正弦激勵的角頻率。對于時諧電磁場，場空間中各場點的動態(tài)位A(r,t)和j601.6.2磁準靜態(tài)場中的動態(tài)位方程

對于磁準靜態(tài)場，在忽略位移電流的前提下，式（1-39）即成為上式A的散度是施加的約束條件，被稱為庫侖規(guī)范。相應地，式（1-40）也就簡化為但注意，由于此時在導電媒質(zhì)內(nèi)伴隨有渦流與集膚效應，因而無從預先給定截流導體內(nèi)電流密度J的分布。換句話說，不可能依據(jù)式（1-45）直接求解動態(tài)位A。1.6.2磁準靜態(tài)場中的動態(tài)位方程對于磁準靜態(tài)場，在忽略61分析表明，在導電媒質(zhì)中流通的電流都遵從式（1-7），而其中的電流密度既應表征由外源施加的電流密度Js，又應表征媒質(zhì)內(nèi)感生的渦流密度Je，即代入式（1-36），可得分析表明，在導電媒質(zhì)中流通的電流都遵從式（1-7），而其中的62注意到在靜態(tài)極限情況下上式將歸結為，因此，可以對式（1-47）中每一項的物理意義作出判斷，即動態(tài)標量位j可看作為自由電荷系統(tǒng)（體、面、線電荷系統(tǒng)）所產(chǎn)生的標量位場，而動態(tài)向量位A則與時變的電流分布相聯(lián)系，從而可選擇渦流密度：注意到在靜態(tài)極限情況下上式將歸結為，63在以上分析基礎上，依據(jù)基本方程（1-14），結合關系式（1-46）、（1-47），可得描述磁準靜態(tài)場的動態(tài)位方程為上式兼容了場域中可能存在非線性媒質(zhì)的一般情況。若場域中媒質(zhì)為各向同性的線性媒質(zhì)，則引入庫侖規(guī)范，式（1-48）可簡化為在以上分析基礎上，依據(jù)基本方程（1-14），結合關系式（1-64對于正弦穩(wěn)態(tài)條件下的磁準靜態(tài)場，動態(tài)位方程（1-49）的相量形式即為解耦情況下的動態(tài)標量位j在設定場空間電荷密度r=0的前提下，應滿足拉普拉斯方程，即對于正弦穩(wěn)態(tài)條件下的磁準靜態(tài)場，動態(tài)位方程（1-49）的相量651.6.3靜態(tài)場中的位函數(shù)方程在靜態(tài)電場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-19）、（1-20），同理可以定義式中，標量位函數(shù)j(r)稱為電位函數(shù)。可導得等價的位函數(shù)方程即泊松方程在無電荷分布的場域中，位函數(shù)j應滿足拉普拉斯方程1.6.3靜態(tài)場中的位函數(shù)方程在靜態(tài)電場情況下，根據(jù)其基本66在靜態(tài)磁場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-21）、（1-22），同樣可定義向量磁位函數(shù)A(r)，滿足從而等價的向量磁位函數(shù)的雙旋度方程為若場域中媒質(zhì)為各向同性的線性媒質(zhì)，則計入庫侖規(guī)范，式（1-56）可簡化為向量形式的泊松方程在靜態(tài)磁場情況下，根據(jù)其基本方程組（1-21）、（1-22）67在無電流區(qū)域中，靜態(tài)磁場的基本方程（1-21）變成這樣，就可以引入標量磁位函數(shù)jm(r)，而令顯然，標量磁位恒滿足拉普拉斯方程在無電流區(qū)域中，靜態(tài)磁場的基本方程（1-21）變成68補充：（一）波方程的基本解在均勻、各向同性區(qū)域，基本解有平面波、柱面波、球面波?；拘g語：等相面：在同一時刻，空間波動中相位相同的點連成的表面；等幅面：在同一時刻，空間波動中振幅相同的點連成的表面；平面波：等相面為平面的波；均勻平面波：等相面和等幅面重合的平面波；非均勻平面波：等相面與等幅面不重合的平面波；球面波：等相面為球面的波；柱面波：等相面為柱面的波。補充：（一）波方程的基本解在均勻、各向同性區(qū)域，基本解有平面69平面波在均勻、各向同性區(qū)域，直角坐標系中的波方程的基本解為均勻平面波。平面波的簡單表達式為式中平面波在均勻、各向同性區(qū)域，直角坐標系中的波方程的基本解為均70如略去時間因子，即用復矢量表示，則平面波電場為由Maxwell方程，可得平面波磁場的表達式相對于傳播方向，均勻平面波的電場、磁場只有橫向分量，因此稱為橫電磁波或TEM波。

如略去時間因子，即用復矢量表示，則平面波電場為由Maxwel71散射問題常用到角譜理想均勻平面波只在單一方向傳播，在角度域只有一條譜。復雜電磁波可分解為許多理想平面波的集合，表示成平面波角譜PWS（planewavespectrum）。從數(shù)學上看，每個平面波都是一個d函數(shù)。正如復雜時間信號經(jīng)過Fourier變換可表示為頻譜一樣，空間場的平面波譜概念非常重要。散射問題常用到角譜72柱面波在無源區(qū)域，赫茲位的波方程為可以證明有產(chǎn)生簡單理想柱面波的源為無限長電流線或磁流線柱面波在無源區(qū)域，赫茲位的波方程為可以證明有產(chǎn)生簡單理想柱面73工程電磁場分析的數(shù)理基礎課件74與平面波不同，式中電磁波傳播矢量的方向k和徑向矢量r的方向處處相同。因此球面波因子可表示為球面波

在球坐標下，引用赫茲位或德拜位，通過球坐標的波動方程和分離變量法可得到球面波的解。一個點源天線在遠區(qū)產(chǎn)生球面波。設理想點源處于球坐標的原點，球面波的基本解可表示為可見，電磁波的等幅面和等相面重合，它們分布在r等于常數(shù)的球面上。與平面波不同，式中電磁波傳播矢量的方向k和徑向矢量r的方向處75根據(jù)能量守恒定理，隨觀察面與理想點源間距離的增加，場強的振幅按1/r規(guī)律衰減。一般來說，只要等相面為球面，電磁波就是球面波。實際天線不是理想天線，它們都不能產(chǎn)生理想均勻球面波。故A=A(q,f)是方位角的函數(shù)，即天線有方向性。根據(jù)能量守恒定理，隨觀察面與理想點源間距離的增加，場強的振幅76（二）自由空間中Maxwell方程的解

--波方程解的導出在洛侖茲規(guī)范下，矢量位的矢量姆霍茲方程為標量位標量姆霍茲方程為在某些正交坐標系下，矢量姆霍茲方程可簡化為標量姆霍茲方程（三個）（二）自由空間中Maxwell方程的解

--波方程解的導出在77而標量姆霍茲方程的格林函數(shù)為這里r’代表源點位置，r代表場點位置。因此有而標量姆霍茲方程的格林函數(shù)為78而標量位可由洛侖茲規(guī)范得到也可由標量位姆霍茲方程得到而標量位可由洛侖茲規(guī)范得到79于是電場E也有兩種表達式：注意這兩種表達式的