基本不等式常見題型訓練

基本不等式常見題型訓練基本不等式常見題型訓練基本不等式常見題型訓練基本不等式常見題型訓練編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:必修5基本不等式基本題型訓練一、選擇題1.[2013·常州質(zhì)檢]已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x<0)，則f(x)有()A.最大值為0 B.最小值為0C.最大值為－4 D.最小值為－4答案：C解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－(－x＋eq\f(1,－x))－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，當且僅當－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時，等號成立．2.[2013·長沙質(zhì)檢]若0<x<1，則當f(x)＝x(4－3x)取得最大值時，x的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)答案：D解析：∵0<x<1，∴f(x)＝x(4－3x)＝eq\f(1,3)·3x(4－3x)≤eq\f(1,3)×(eq\f(3x＋4－3x,2))2＝eq\f(4,3)，當且僅當3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)時，取得“＝”，故選D.3.函數(shù)y＝eq\f(x2＋2x＋2,x＋1)(x>－1)的圖象最低點的坐標為()A.(1,2) B.(1，－2)C.(1,1) D.(0,2)答案：D解析：y＝eq\f(x＋12＋1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)≥2，當x＋1＝eq\f(1,x＋1)，即x＝0時，y最小值為2，故選D項．4.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝(eq\f(1,2))x2－2(x<0)，則m，n之間的大小關系是()A.m>n B.m<nC.m＝n D.m≤n答案：A解析：∵a>2，x<0，∴m＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\f(1,a－2))＋2＝4，n＝22－x2<22＝4，∴m>n，故選A.5.[2013·商丘模擬]若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，則9x＋3y的最小值為()A.12 B.2eq\r(3)C.3eq\r(2) D.6答案：D解析：依題意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x×3y)＝2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，當且僅當2x＝y(tǒng)＝1時取等號，因此9x＋3y的最小值是6，選D.6.已知a，b為正實數(shù)且ab＝1，若不等式(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))>m對任意正實數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.[4，＋∞) B.(－∞，1]C.(－∞，4] D.(－∞，4)答案：D解析：因為(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，當且僅當a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)時等號成立，即a＝b，x＝y(tǒng)時等號成立，故只要m<4即可，正確選項為D.二、填空題7.[2013·金版原創(chuàng)]規(guī)定記號“?”表示一種運算，即a?b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝eq\f(k?x,\r(x))的最小值為________．答案：13解析：1?k＝eq\r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq\r(k)－2＝0，∴eq\r(k)＝1或eq\r(k)＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝eq\f(1?x,\r(x))＝eq\f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥1＋2＝3，當且僅當eq\r(x)＝eq\f(1,\r(x))即x＝1時等號成立．8.[2013·西安質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________．答案：2解析：由題知，函數(shù)圖象恒過點A(1,1)，且點A在直線mx＋ny－2＝0上，所以m＋n＝2，其中mn>0，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))(m＋n)＝eq\f(1,2)(2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n))≥eq\f(1,2)×(2＋2)＝2，當且僅當m＝n＝1時取得最小值，故所求的最小值為2.9.[2013·鶴崗模擬]若a，b，c>0，且a2＋ab＋ac＋bc＝4，則2a＋b＋c答案：4解析：由已知得a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4，則2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2eq\r(a＋ba＋c)＝4，∴2a＋b＋c三、解答題10.[2013·梅州質(zhì)檢]已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0,3xy＝x＋y＋1))(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2eq\r(xy)＋1，∴3xy－2eq\r(xy)－1≥0，即3(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－1≥0，∴(3eq\r(xy)＋1)(eq\r(xy)－1)≥0，∴eq\r(xy)≥1，∴xy≥1，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．∴xy的最小值為1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·(eq\f(x＋y,2))2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴x＋y的最小值為2.11.[2013·房山區(qū)模擬]已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8；(2)(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9.證明：(1)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(a＋b,ab)＝2(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8(當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立)．(2)方法一∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋eq\f(1,a)＝1＋eq\f(a＋b,a)＝2＋eq\f(b,a)，同理，1＋eq\f(1,b)＝2＋eq\f(a,b)，∴(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝(2＋eq\f(b,a))(2＋eq\f(a,b))＝5＋2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))≥5＋4＝9.∴(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))≥9(當且僅當a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立)．方法二(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab).由(1)知，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8，故(1＋eq\f(1,a))(1＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥9.12.[2013·三明模擬]某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200m2的十字型區(qū)域．現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2(1)設總造價為S元，AD的長為xm，試建立S關于x的函數(shù)關系式；(2)計劃至少投入多少元，才能建造這個休閑小區(qū)．解：(1)設DQ＝y(tǒng)，則x2＋4xy＝200，y＝eq\f(200－x2,4x).S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×eq\f(1,2)y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0<x<10eq\r(2))．(2)S＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)≥38000＋2eq\r(16×108)＝118000，當且僅當4000x2＝eq\f(400000,x2)，即x＝eq\r(10)時，Smin＝118000(元)，即計劃至少要投入萬元才能建造這個休閑小區(qū)．11.某種商品原來每件售價為25元，年銷售量8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入eq\f(1,6)(x2－600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入eq\f(1,5)x萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和并求出此時商品的每件定價．11.【解】(1)設每件定價為x元，依題意得(8－eq\f(x－25,1)×x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.∴要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．(2)依題意，不等式ax≥