2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 球 理

2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——球典型例題一AB-R例1.已知地球的半徑為R，球面上A,B兩點(diǎn)都在北緯45。圈上，它們的球面距離為3,A點(diǎn)在東經(jīng)30。上，求B點(diǎn)的位置及A,B兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度.分析：求點(diǎn)B的位置，如圖就是求ZAOiB的大小，只需求出弦AB的長(zhǎng)度.對(duì)于AB應(yīng)把它放在AOAB中求解，根據(jù)球面解：如圖，設(shè)球心為0解：如圖，設(shè)球心為0，北緯45。圈的中心為Oi，TOC\o"1-5"\h\zAB-R由A,B兩點(diǎn)的球面距離為3，所以ZA0B=3?-AOAB為等邊三角形.于是AB=R.\o"CurrentDocument"OA=OB=R-cos45o=R\o"CurrentDocument"由112,?OiA2+OiB2二AB2.即ZACB=2又A點(diǎn)在東經(jīng)30o上，故B的位置在東經(jīng)120o，北緯45?；蛘呶鹘?jīng)60o，北緯45o.兩點(diǎn)在其緯線圈上所對(duì)應(yīng)的劣弧說(shuō)明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案.典型例題二例2.用兩個(gè)平行平面去截半徑為R的球面，兩個(gè)截面圓的半徑為［二24cm，r2=15cm.兩截面間的距離為d=27cm，求球的表面積.分析：此類(lèi)題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形,利用方程思想計(jì)算可得.解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于A1B1,A2B2，上述大圓的垂直于A1B1的直徑交AB,AB,ABO,O1122于12如圖2．d+d=2712<d2+242=R21OO=d,OO112

d2+152=R22

，解得R=25.S=4兀R2=2500兀(cm2)圓說(shuō)明：通過(guò)此類(lèi)題目，明確球的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題需先將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解．典型例題三例3.自半徑為R的球面上一點(diǎn)M，引球的三條兩兩垂直的弦MA,MC,求MA2+MB2+MC2的值分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián).解：以MA,mb‘MC為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐M-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑．MA2+MB2+MC2=(2R)2二4R2.說(shuō)明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．典型例題四例4．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。治觯菏紫茸ズ们蚺c正方體的基本量半徑和棱長(zhǎng)，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系．解：設(shè)球的半徑為廠，正方體的棱長(zhǎng)為a，它們的體積均為"，TOC\o"1-5"\h\z4?！?V'3Vr3=V,r3=r=3：-則由34兀，皿，由a3=V'得a=3V.\o"CurrentDocument"3V-S=4兀r2=4兀(3)2=\4rV2\o"CurrentDocument"球4兀S=6a2=6(3：V)2=6VV?=V216V2正方體

?4"216???誦①2＜邁麗，即S球＜S正方體.說(shuō)明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時(shí)運(yùn)算上的設(shè)計(jì)典型例題五例5．如圖1所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小.分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察R與r和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可.解：如圖2,球心01和°2在AC上，過(guò)O1，°2分別作AD'BC的垂線交于已'F.圖2貝卩由AB=1,AC=\得AO】=、：3r,CO^=v3R圖2??r+R+3(r+R)=\：3，?R+r=L=匯Q3+12（1）設(shè)兩球體積之和為V，44V=一兀(R3+r3)=兀(r+R)(R2-Rr+r2)則33—兀32(于)2-3—兀32(于)2-3R(羅-R)4—兀=33R2-3R+持)2R=當(dāng)4時(shí)，V有最小值.?當(dāng)時(shí)，3-^34時(shí)，體積之和有最小值.典型例題六例6.設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比.分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解決的．解：如圖，正四面體ABCD的中心為°,ABCD解：如圖，正四面體ABCD的中心為°,ABCD的中心為。1，則第一個(gè)球半徑為正四面體4—兀r33內(nèi)切球的表面積所以外接球的表面積4兀尺2一9內(nèi)切球的體積_外接球的體積—4冗R3327說(shuō)明：正四面體與球的接切問(wèn)題，可通過(guò)線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合r=-h的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑4（h為正四面體的高），且外接球的半徑R=3r典型例題七例7．把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離．分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2．解：由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，—；22_（2遼2_2J6h-\卩2_（2?"3）23_則正四面體的高'33?而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，2+跡故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為3．說(shuō)明：此類(lèi)型題目對(duì)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，并根據(jù)題意構(gòu)造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當(dāng)增加一點(diǎn)實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).典型例題八例8過(guò)球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）．A.有且只有一個(gè)B.—個(gè)或無(wú)窮多個(gè)C.無(wú)數(shù)個(gè)D.以上均不正確分析：對(duì)球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可以作一個(gè)大圓;當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)大圓，故選B.答案：B說(shuō)明：解此易選出錯(cuò)誤判斷A.其原因是忽視球心的位置.典型例題九1TOC\o"1-5"\h\z例9球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的6,經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4兀，那么這個(gè)球的半徑為（）.A.4x；3B.人3C.2D.山分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識(shí)求解.設(shè)球的半徑為R，小圓的半徑為r，則2兀廠=4兀，.?.丫=2.如圖所示，設(shè)三點(diǎn)A、B、C，0為球心，2兀兀ZAOB=ZBOC=ZCOA==-63.又???0A=OBAAOB是等邊三角形，同樣，ABOC、ACOA都是等邊三角形，得AABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)等于球半徑R.r為AABCr=—AB=—RR=tr=2J3的外接圓半徑，33，'v3.答案：B說(shuō)明：本題是近年來(lái)球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識(shí)點(diǎn)，是一道不可多得的好題．典型例題十例10半徑為R的球內(nèi)接一個(gè)各棱長(zhǎng)都相等的四棱錐.求該四棱錐的體積.分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示．解：T棱錐底面各邊相等，???底面是菱形.???棱錐側(cè)棱都相等，???側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓.???底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐.過(guò)該棱錐對(duì)角面作截面，設(shè)棱長(zhǎng)為a，則底面對(duì)角線AC二邁a，故截面SAC是等腰直角三角形.又因?yàn)镾AC是球的大圓的內(nèi)接三角形，所以AC=2R，即°=^2R.V=1S-SO=-R3??.高SO=R，體積3底3.說(shuō)明：在作四棱錐的截面時(shí)，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對(duì)稱截面（過(guò)棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個(gè)腰長(zhǎng)為斜高、底為底面邊長(zhǎng)的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形．可見(jiàn)，解決有關(guān)幾何體接切的問(wèn)題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵．解決此類(lèi)問(wèn)題的方法通常是先確定多面體的棱長(zhǎng)（或高或某個(gè)截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解．典型例題十一例11在球面上有四個(gè)點(diǎn)p、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a.求這個(gè)球的表面積.分析：'球面—"^2,因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑R.解：設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面半徑為r，球心到該圓面的距離為d，則R2=r2+d2由題意知P、A、B、C四點(diǎn)不共面，因而是以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐P—ABC（如圖所示）.^ABC的外接圓是球的截面圓.由PA、PB、PC互相垂直知，P在ABC面上的射影0'是MBC的垂心，又PA二PB二PC二a所以0'也是AABC的外心，所以AABC為等邊三角形,且邊長(zhǎng)為?2a，0'是其中心，從而也是截面圓的圓心.據(jù)球的截面的性質(zhì)，有00'垂直于00'所在平面，因此P、0'、0共線，三棱錐P-ABC是高為P0'的球內(nèi)接正三棱錐，從而d=R-P0'.由已知得心=a，"丄亍。，所以R2二r2+d2二r2+（R-P0'）2，可求得i亍:說(shuō)明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺(tái)切接問(wèn)題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切接問(wèn)題，一般過(guò)球心及多面體中特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化為平面問(wèn)題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系.典型例題十二例12已知棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD，E、F是棱AB、AC上的點(diǎn)，且AF=2FC,BE=2AE.求四面體AEFD的內(nèi)切球半徑和外接球半徑.分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把VD-AEF分成4個(gè)小體積（如圖）.解：設(shè)四面體AEFD內(nèi)切球半徑為r，球心N，外接球半徑R，球心M，連結(jié)NA、NE、NF、NDNF、ND，則?-VN-AEF+VN-AFD+VN-ADE+VN-EFD．四面體AEFD各面的面積為S二2S二2SAAEF9AABCS二2SAAFD3AABCS=1SAAED3AABCADEF各邊邊長(zhǎng)分別為EF='忑,SADEFVADEF9VADEF9ABCD2，V_1r(S+S+S+S)AEFD3AAEFAAFDAAEDADEFv'21八密3運(yùn)3爲(wèi)5汪、TOC\o"1-5"\h\z_-r(+++)232244?r_-?8如圖，如圖，AAEF是直角三角形，其個(gè)心是斜邊AF的中點(diǎn)G.設(shè)AABC中心為01，連結(jié)DOi，過(guò)G作平面AEF的垂線，M必在此垂線上,連結(jié)GOi、MD?.?MG丄平面ABC,丄平面ABC,.MG//DOMG丄GO1，1．在直角梯形GODM1中，在直角梯形GODM1中，GO=1MD二RMG=￡AM2一AG2=Jr2_1(DO-MG)2+GO2二MD2.(、6一JR2一1)2+1二R2^又*11，…解得：J6<10綜上，四面體AEFD的內(nèi)切球半徑為8，外接球半徑為2.說(shuō)明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心．對(duì)此多數(shù)同學(xué)束手無(wú)策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜．若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過(guò)各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部．本題在求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，各面為底面的四個(gè)三棱錐通過(guò)其體積關(guān)系求得半徑．這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視．典型例題十三例13一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分（圓臺(tái)）的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高PC=h，球取出后，水面高PH=x??AC?3rPC二3r

則以AB為底面直徑的圓錐容積為V=1—AC2-PC圓錐3=+兀（卞3r）2-3r=3兀r3球取出后，水面下降到EF，水的體積為VK=3兀EH2-PH=3兀(PHtan3°°)2PH=1祗3V=V-V=V-V又水圓錐球4=3兀r3——nr3解得x=答：球取出后，圓錐內(nèi)水平面高為^15r.說(shuō)明：抓住水的何種不變這個(gè)關(guān)鍵，本題迅速獲解典型例題十四例14球面上有三點(diǎn)A、B、C組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中AB=18,BC=24、AC=30，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，AABC是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式r2=R2—d2求出球半徑R.解：?.?AB=18，BC=24，AC=30，.?.AB2+BC2=AC2，AABC是以AC為斜邊的直角三角形.???AABC的外接圓的半徑為15,即截面圓的半徑丫=15，d=-R又球心到截面的距離為2，22R2-（2R）2=152???球的表面積為S=4R2-（2R）2=152???球的表面積為S=4兀R2=4兀（10卞3）2=1200兀說(shuō)明：涉及到球的截面的問(wèn)題，總是使用關(guān)系式廠=丫R2-d2解題，我們可以通過(guò)兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量.例如，過(guò)球0表面上一點(diǎn)A引三條長(zhǎng)度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為R，求弦AB的長(zhǎng)度.由條件可抓住A-BCD是正四面體，A、B、C、D為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心,d—a-R設(shè)AB=a，則截面BCD與球心的距離3，過(guò)點(diǎn)B、C、D的截面圓半徑r手，所以礙a)2二R2-（衛(wèi)a—R）2a二空6R3得3典型例題十五例15兀RA、B是半徑為R的球0的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為2，求過(guò)A、B的平面中，與球心的最大距離是多少？TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀兀\o"CurrentDocument"RZAOB=—-分析：A、B是球面上兩點(diǎn)，球面距離為2，轉(zhuǎn)化為球心角2，從而AB，分析：由關(guān)系式r2=R2―d2，丫越小，d越大，丫是過(guò)A、B的球的截面圓的半徑，所以AB為圓的直徑，r最?。猓???球面上A、B兩點(diǎn)的球面的距離為兀Z兀ZAOB=-AB2R當(dāng)AB成為圓的直徑時(shí),當(dāng)AB成為圓的直徑時(shí),r二-AB=至Rr取最小值，此時(shí)22d取最大值d=d=\R2一r2即球心與過(guò)A、B的截面圓距離最大值為2說(shuō)明：利用關(guān)系式r2=R2一d2不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑r與球心到截面的距離d之間的變化規(guī)律.此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點(diǎn)的球心角ZAOB有關(guān)，而球心角ZAOB又直接與AB長(zhǎng)度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索，繼續(xù)看下面的例子．典型例題十六例16正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2<6，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切.求球的表面積與體積．分析：球與正三棱錐四個(gè)面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點(diǎn)面距離?？梢杂玫润w積法解決．解：如圖，球°是正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球，°到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑R.PH是正三棱錐的高，即PH是正三棱錐的高，即PH=1.E是BC邊中點(diǎn)，H在AE上,■3--〒HE=2品二J2AABC的邊長(zhǎng)為26,???6.PE=?、汙??S=S=S=1BC-PE=3邁可以得到APABAPACAPBC2S=11(2y6)2二6込AABC4由等體積法，V二V+V+V+V由等體積法，P-ABC°-PAB°-PAC°-PBC°-ABC-x6\：3x1=—x3^2xRx3+—x6、：3xR333?得：2邊得：2邊2^3+3S=4兀R2=4兀G.6-2)2=8(5-2.6)兀球44-V=-nR3=兀(弋6-2)3?球33??說(shuō)明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑R來(lái)求出R，以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法.比如：四個(gè)半徑為R的球兩兩外切，其中三個(gè)放在桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，則第四個(gè)球離開(kāi)桌面的高度為多少？這里，四個(gè)球的球心這間的距離都是2R，四個(gè)球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為<62R的正四面體,2R的正四面體,可以計(jì)算正四面體的高為3，從而上面球離開(kāi)桌面的高度2462R+2—R為3典型例題十七例17例17求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫(huà)出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形CiCDDi，截球面得球的大圓圓°i.設(shè)球的半徑°°i=R，則它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為R；OB=°°?cot30。=、3R1，SO二OB-tan60。=^3R?運(yùn)二3RV=兀V=兀尺2?2R=2兀R3，柱V=-k?（、.3r）2?3R=3兀R3錐3V: