zw-模塊復(fù)習(xí)課直線與方程

XX大學(xué)XX老師高中數(shù)學(xué)·必修1智維私教985/211重點高校大學(xué)生實時一對一第三課

直線與方程

【網(wǎng)絡(luò)體系】

【核心速填】1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的范圍是______________.(2)(3)斜率的求法①依據(jù)直線方程;②依據(jù)傾斜角;③依據(jù)兩點的坐標(biāo).0°≤α<180°2.直線方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化3.兩條直線的位置關(guān)系設(shè)l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0則(1)平行?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A2C1-A1C2≠0;(2)相交?________________________________;(3)重合?A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)或(A2B2C2≠0).4.距離公式(1)兩點間的距離公式.已知點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則|P1P2|=___________________.(2)點到直線的距離公式.①點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=______________;②兩平行直線l1:Ax+By+C=0與l2:Ax+By+D=0的距離d=_________.【易錯提醒】1.明確直線的傾斜角與斜率的關(guān)系:(1)直線的斜率與傾斜角既有區(qū)別,又有聯(lián)系.它們都反映了直線的傾斜程度,本質(zhì)上是一致的.但傾斜角是角度,是傾斜度的直接體現(xiàn);斜率是實數(shù),是直線傾斜度的間接反映,用斜率比用傾斜角更方便.(2)傾斜角可正可零不可為負(fù),而斜率k不僅可正,可零,而且可以為負(fù).2.在利用直線的斜率處理平行與垂直的關(guān)系時,特別要注意直線的斜率不存在的情況.3.直線在y軸上的截距和直線與y軸交點到原點的距離的區(qū)別:(1)直線在y軸上的截距是它與y軸交點的縱坐標(biāo),截距是一個數(shù)值,可正、可負(fù)、可為零,而距離是一個非負(fù)數(shù).(2)當(dāng)截距非負(fù)時,它等于直線與y軸交點到原點的距離;當(dāng)截距為負(fù)時,它等于直線與y軸交點到原點距離的相反數(shù).4.點到直線的距離公式的應(yīng)用.在應(yīng)用點到直線的距離公式時,一定要把直線化為一般式,明確系數(shù)A,B,C.類型一直線的傾斜角與斜率【典例1】(1)直線Ax+By-1=0在y軸上的截距是-1,而且它的傾斜角是直線

的傾斜角的2倍,則(

)(2)若三點A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直線上,則實數(shù)b等于(

)A.2

B.3

C.9

D.-9【解析】(1)選B.因為

的斜率為

傾斜角為60°,故Ax+By-1=0的傾斜角為120°,斜率為

故

又Ax+By-1=0在y軸上的截距是-1,所以

所以(2)選D.由條件知kBC=kAC,所以所以b=-9.【延伸探究】若將題(1)中的“2倍”改為“”,又如何求解?【解析】選C.由于

的斜率為

傾斜角為60°,故Ax+By-1=0的傾斜角為30°,斜率為

故

又Ax+By-1=0在y軸上的截距是-1,所以

所以【方法技巧】求直線斜率的一般方法(1)已知直線上兩點,根據(jù)斜率公式

求斜率.(2)直線的傾斜角為90°,則直線的斜率不存在.(3)已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值,根據(jù)k=tanα來求斜率.(4)利用兩直線的平行或垂直關(guān)系求解:若兩直線平行,則斜率相等(指斜率存在的情況),若兩直線垂直,則斜率互為負(fù)倒數(shù)(指斜率存在且不為0的情況).【變式訓(xùn)練】直線x-y+1=0上一點P的橫坐標(biāo)是3,若該直線繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得直線l,則直線l的傾斜角為

,斜率為

.【解析】因為x-y+1=0的傾斜角為45°,所以l的傾斜角為45°+90°=135°且tan135°=-1,所以傾斜角為135°,斜率為-1.答案:135°

-1【補償訓(xùn)練】已知兩點A(-1,2),B(m,3),求:(1)直線AB的斜率k.(2)已知實數(shù)

求直線AB的斜率的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m=-1時,直線AB的斜率不存在;當(dāng)m≠-1時,(2)當(dāng)m=-1時,傾斜角當(dāng)m≠-1時,又則所以m+1∈當(dāng)

時,當(dāng)

時,所以類型二直線的平行與垂直【典例2】(1)直線y=-2x+a與直線y=(a2-6)x+2平行,則a=

.(2)已知直線(t+2)x+(1-t)y=1與直線(t-1)x+(2t+3)y+2=0互相垂直,則t的值為

.【解析】(1)由題意,解得a=-2.答案:-2(2)兩直線垂直,則(t+2)(t-1)+(1-t)(2t+3)=0,解得t=1或t=-1.答案:1或-1【方法技巧】兩直線平行與垂直的判定方法方程形式l1:y=k1x+b1l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同時為0)(A2,B2不同時為0)平行l(wèi)1∥l2?k1=k2,b1≠b2l1∥l2?A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0垂直l1⊥l2?k1k2=-1l1⊥l2?A1A2+B1B2=0【變式訓(xùn)練】已知過點A(-2,m)和B(m,4)的直線與直線2x+y-1=0垂直,則m的值為

.【解析】由題意可得

解得m=2.答案:2【補償訓(xùn)練】與直線7x+24y=5平行,并且距離等于3的直線方程是

.【解析】設(shè)所求直線為7x+24y+m=0(m≠-5).把直線7x+24y=5整理為一般式得7x+24y-5=0.由兩平行直線間的距離公式得:解得m=70或-80,故所求直線方程為7x+24y+70=0或7x+24y-80=0.答案:7x+24y+70=0或7x+24y-80=0類型三

距離問題【典例3】已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點.(1)點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程.(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.【解析】(1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以即2λ2-5λ+2=0,所以λ=或λ=2.所以l的方程為x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交點P(2,1),過P作任一直線l,設(shè)d為點A到l的距離,則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時等號成立).所以dmax=|PA|=【方法技巧】距離公式的運用(1)距離問題包含兩點間的距離,點到直線的距離,兩平行直線間的距離.(2)牢記各類距離的公式并能直接應(yīng)用,解決距離問題時,往往將代數(shù)運算與幾何圖形的直觀分析相結(jié)合.(3)這類問題是高考考查的熱點,在高考中常以選擇題、填空題出現(xiàn),主要考查距離公式以及思維能力.【變式訓(xùn)練】求經(jīng)過點A(2,-1),且到點B(-1,1)的距離為3的直線方程.【解析】(1)斜率存在時,由點斜式,設(shè)所求直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由題設(shè),點B(-1,1)到此直線的距離為3,即=3,解得k=于是所求直線的方程為y+1=(x-2),即5x-12y-22=0.(2)當(dāng)直線斜率不存在時,直線方程為x=2,也適合題意,故本題所求直線方程為x=2,5x-12y-22=0.【補償訓(xùn)練】直線l過點A(3,4),且與點B(-3,2)的距離最遠(yuǎn),則直線l的方程為(

)A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0C.3x+y+13=0

D.3x+y-13=0【解析】選D.當(dāng)l⊥AB時符合要求,因為

所以kl=-3,所以直線l的方程為y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.類型四

對稱問題【典例4】(1)已知點A(x,5)關(guān)于點(1,y)的對稱點為(-2,-3),則點P(x,y)到原點的距離是(

)(2)已知A(2,4)與B(3,3)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為

.【解析】(1)選D.由題意知,所以P(4,1),其到原點的距離為(2)由題意,l⊥AB,故kl·kAB=-1,kAB==-1,所以kl=1,又A(2,4)與B(3,3)的中點在直線l上,故直線為y-=x-,即x-y+1=0.答案:x-y+1=0【方法技巧】對稱問題的求解策略(1)點關(guān)于點的對稱問題,是對稱問題中最基礎(chǔ)最重要的一類,其余幾類對稱問題均可以化歸為點關(guān)于點的對稱問題進行求解.熟練掌握和靈活運用中點坐標(biāo)公式是處理這類問題的關(guān)鍵.(2)點關(guān)于直線的對稱問題是點關(guān)于點的對稱問題的延伸,處理這類問題主要抓住兩個方面:①兩點連線與已知直線斜率乘積等于-1;②兩點的中點在已知直線上.(3)直線關(guān)于點的對稱問題,可轉(zhuǎn)化為直線上的點關(guān)于此點對稱的問題,這里需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.【變式訓(xùn)練】已知直線l1:y=2x+3,.若l2與l1關(guān)于y軸對稱,則l2的方程為

;若l3與l1關(guān)于x軸對稱,則l3的方程為

;若l4與l1關(guān)于y=x對稱,則l4的方程為

.【解析】因為l2與l1關(guān)于y軸對稱,所以l2:y=-2x+3;又l1:y=2x+3過點

,l3與l1關(guān)于x軸對稱,所以l3:y=-2x-3;l4與l1關(guān)于y=x對稱,則l4:x=2y+3.答案:y=-2x+3

y=-2x-3

x=2y+3【補償訓(xùn)練】已知直線l1:2x-y-8=0和直線l:3x+y-2=0,求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程.【解析】取直線l1上一點A(4,0),它關(guān)于直線l的對稱點為B(x,y),線段AB的中點為由kAB·kl=-1及點C在直線l上,得即解之得B(-2,-2),由得所以直線l1與直線l的交點為P(2,-4).所以直線l2的方程為:即x+2y+6=0.拓展類型

數(shù)形結(jié)合思想【典型例題】(1)已知點A(-1,-2),B(2,3),若直線l:x+y-c=0與線段AB有公共點,則直線l在y軸上的截距的取值范圍是(

)A.[-3,5] B.[-5,3]C.[3,5]

D.[-5,-3](2)求函數(shù)f(x)=