線性方程與非線性方程的概述與運用

線性方程與非線性方程的概述與運用線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!

問題背景和研究目的解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。

求解一般非線性方程沒有通用的解析方法，但如果

在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則

可以認(rèn)為問題已能夠解決，至少可以滿足實際需要。本節(jié)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：二分法，迭代法（牛頓法）。同時要求大家學(xué)會如何利用Matlab

來求方程的近似解。2.6非線性方程近似根線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!相關(guān)概念

如果f(x)

是一次多項式，稱上面的方程為線性方程；

否則稱之為非線性方程。

線性方程與非線性方程線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!問題：如何求連續(xù)的非線性方程實根的近似值。根的隔離

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一個根。通過根的隔離，可假設(shè)此區(qū)間內(nèi)存在唯一根x*。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!算法二分法設(shè)方程在區(qū)間[a,b]

內(nèi)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，給定精度要求，若有|f(x)|<

，則x

就是f(x)

在區(qū)間(a,b)

內(nèi)的近似根。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!若收斂，即，假設(shè)(x)

連續(xù)，則收斂性分析迭代法的收斂性即注：若得到的點列發(fā)散，則迭代法失效！線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!定義：迭代法收斂性判斷如果存在

x*的某個鄰域

=(x*-,x*+),

使得對

x0

開始的迭代

xk+1

=

(xk)都收斂,則稱該迭代法在

x*

附近局部收斂。定理1：設(shè)

(x)

在某個鄰域

內(nèi)連續(xù)，且對

x都有|’(x)|L<1,則迭代局部收斂。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!收斂階為了進(jìn)一步研究收斂速度問題，引入階的概念：記，如果

(p=1時還要求0<c<1)則稱迭代是p階收斂的。p=1時，稱為線性收斂，p>1時稱為超線性收斂。p越大收斂越快。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!牛頓迭代公式牛頓法的優(yōu)點

牛頓法是目前求解非線性方程(組)的主要方法對于單重根迭代2階收斂，收斂速度較快，特別是當(dāng)?shù)c充分靠近精確解時。牛頓法的缺點

對重根收斂速度只有線性收斂

對初值的選取很敏感，要求初值接近精確解在實際計算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）獲得精確解的一個粗糙近似，然后再用牛頓法求解。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!Matlab解方程的函數(shù)roots(p)：多項式的所有零點，p

是多項式系數(shù)向量。fzero(f,x0)：求f=0

在x0

附近的根，f

可以使用inline、字符串、或@，但不能是方程或符號表達(dá)式！solve(f,x)：求方程關(guān)于指定自變量x的解，

f

可以是用字符串表示的方程、符號表達(dá)式或符號方程；

solve也可解方程組(包含非線性)；得不到解析解時，給出數(shù)值解。A\b：解線性方程組Ax=b。

線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!作業(yè)每題分別用兩種一步迭代法（要求寫出迭代格式）：1）Newton迭代法；2）自己構(gòu)造的非牛頓切線或割線法迭代格式（需討論收斂性）根據(jù)迭代格式用計算機(jī)（器）求下列非線性方程的根：線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!Altken迭代法Altken迭代法用差商

近似微商設(shè)x*

是方程的根，則由微分中值定理可得線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!基本思想二分法將隔離區(qū)間進(jìn)行對分，判斷出解在某個子區(qū)間內(nèi)，然后再對該子區(qū)間對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。

適用范圍求有根區(qū)間內(nèi)的單根或奇數(shù)重實根。

數(shù)學(xué)原理：介值定理設(shè)

f(x)

在[a,b]

上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則由介值定理可得，在

(a,b)

內(nèi)至少存在一點

使得f()=0。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!收斂性分析二分法收斂性設(shè)方程的根為x*(an,bn

)，又，所以0(n

)根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列

{[an,bn

]}

，在(an,bn

)中含有方程的根。二分法總是收斂的二分法的收斂速度較慢通常用來給出根的一個較為粗糙的近似。線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!簡單迭代法基本思想構(gòu)造

f(x)=0

的一個等價方程：從某個初值x0

出發(fā)，構(gòu)造迭代格式得到一個迭代序列k=0,1,2,......

(x)

的不動點f(x)=0x=(x)等價變換f(x)

的零點(x)稱為迭代函數(shù)線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!迭代法的收斂性判據(jù)定理2.1：全局收斂定理2.2：全局發(fā)散定理2.3：局部收斂與發(fā)散定理2.4：收斂速度線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!迭代法收斂性判斷定理2：設(shè)，且對

x[a,b]，有(x)[a,b]；對

x[a,b]，有|’(x)|L<1；則對

x0[a,b]

，由迭代

xk+1

=

(xk)得到的點列都收斂（全局收斂），且L越小，迭代收斂越快線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!牛頓迭代法令：

基本思想：用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法設(shè)非線性方程f(x)=0

,f(x)在xk

處作Taylor展開牛頓迭代公式k=0,1,2,......線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!牛頓迭代法大范圍收斂性線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!其他Matlab相關(guān)函數(shù)g=diff(f,x)：求符號表達(dá)式

f

關(guān)于

x

的導(dǎo)數(shù)g=diff(f)：求符號表達(dá)式

f

關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,x,n)：求

f

關(guān)于

x

的

n階導(dǎo)數(shù)

diff

f是符號表達(dá)式，也可以是字符串默認(rèn)變量由findsym(f,1)確定>>

symsx>>

f=sin(x)+3*x^2;>>

g=diff(f,x)>>

g=diff('sin(x)+3*x^2','x')線性方程與非線性方程的概述與運用共23頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!迭代法的加速設(shè)迭代xk+1

=

(xk)

，第k

步和第k+1

步得到的近似根分別為xk

和(xk)，令其中wk

稱為加權(quán)系數(shù)或