對勾函數(shù)模型

第十周對勾函數(shù)模型重點知識梳理1．對勾函數(shù)定義對勾函數(shù)是指形如：y＝ax＋eq\f(b,x)(ab>0)的一類函數(shù)，因其圖象形態(tài)極像對勾，因此被稱為“對勾函數(shù)”，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“耐克函數(shù)”或“耐克曲線”．2．對勾函數(shù)y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的性質(zhì)(1)定義域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，-2ab]∪[2ab(3)奇偶性：在定義域內(nèi)為奇函數(shù)．(4)單調(diào)性：(－∞，－eq\r(\f(b,a)))，(eq\r(\f(b,a))，＋∞)上是增函數(shù)；(－eq\r(\f(b,a))，0)，(0，eq\r(\f(b,a)))上是減函數(shù)．(5)漸近線：y軸與y=ax(或y=-ax)3．y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的單調(diào)區(qū)間的分界點：±eq\r(\f(b,a)).求分界點方法：令ax＝eq\f(b,x)?x＝±eq\r(\f(b,a)).特殊的，a>0時，y＝x＋eq\f(a,x)的單調(diào)區(qū)間的分界點：±eq\r(a).4．對勾函數(shù)應(yīng)用時主要是利用對勾函數(shù)單調(diào)性求其最值，解題時要先找出對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，然后求解．5．利用對勾函數(shù)求最值，常常用到如下的重要不等式：若a>0，b>0，則x>0時，ax＋eq\f(b,x)≥2eq\r(ab).當(dāng)且僅當(dāng)ax＝eq\f(b,x)，x＝eq\r(\f(b,a))時取等號．在應(yīng)用這個不等式時，要注意使用的前提條件是“一正、二定、三相等”，即加號兩邊的項ax和eq\f(b,x)都是正項，且二者乘積為定值，同時ax＝eq\f(b,x)中等號可取到．若等號取不到，則應(yīng)根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性求解．典型例題剖析例1已知f(x)＝x＋eq\f(5,x)，求f(x)在下列區(qū)間的最小值．(1)[1,2];(2)[3,4];(3)[－3，－1]．【解析】如圖，f(x)在(－∞，－eq\r(5))，(eq\r(5)，＋∞)上是增函數(shù)，在(－eq\r(5)，0)，(0，eq\r(5))上是減函數(shù)．(1)由對勾函數(shù)性質(zhì)可知f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(2)＝4eq\f(1,2).(2)因為f(x)在[3,4]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(3)＝4eq\f(2,3).(3)因為f(x)在[－3，－eq\r(5)]上單調(diào)遞增，在(－eq\r(5)，－1]上單調(diào)遞減，且f(－3)＝－4eq\f(2,3)，f(－1)＝－6，所以f(x)min＝－6.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))，求f(x)的最小值，并求此時x的值．【解析】f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))令t＝eq\r(x2＋4)，則t≥2，y＝t＋eq\f(1,t).∵y＝t＋eq\f(1,t)在[2，＋∞)單調(diào)遞增，∴當(dāng)t＝2時，ymin＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，此時，eq\r(x2＋4)＝2，x＝0.綜上，f(x)的最小值為eq\f(5,2)，此時x的值為0.例2求函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－2x－1,x＋2)(0≤x≤3)的值域．【解析】令t＝x＋2，則x＝t－2,2≤t≤5，y＝eq\f((t－2)2－2(t－2)－1,t)＝eq\f(t2－6t＋7,t)＝t＋eq\f(7,t)－6,2≤t≤5.∵y＝t＋eq\f(7,t)－6在[2，eq\r(7)]上單調(diào)遞減，在[eq\r(7)，5]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)t＝eq\r(7)時，ymin＝2eq\r(7)－6，且當(dāng)t＝2時，y＝2＋eq\f(7,2)－6＝－eq\f(1,2)，當(dāng)t＝5時，y＝5＋eq\f(7,5)－6＝eq\f(2,5)，∴ymax＝eq\f(2,5).綜上，f(x)的值域為[2eq\r(7)－6，eq\f(2,5)]．變式訓(xùn)練求函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－4x＋12,x－1)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，5))的值域．【解析】f(x)＝eq\f(x2－4x＋12,x－1)＝eq\f((x－1)2－2(x－1)＋9,x－1)＝x－1＋eq\f(9,x－1)－2，令t＝x－1，則f(t)＝t＋eq\f(9,t)－2，t∈[1,4]．結(jié)合y＝t＋eq\f(9,t)的圖象與性質(zhì)，可知當(dāng)t∈[1,3]時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)t∈[3,4]時，函數(shù)單調(diào)遞增，又f(1)＝8，f(3)＝4，f(4)＝eq\f(17,4)，所以f(x)∈[4,8]．例3某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元(科技成本)，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元(科技成本)，預(yù)計產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))(k>0，k為常數(shù)，n∈Z且n≥0)，若產(chǎn)品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元．(1)求k的值，并求出f(n)的表達式；(2)問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？【解析】(1)由g(n)＝eq\f(k,\r(n＋1))，當(dāng)n＝0時，由題意，可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)(10－eq\f(8,\r(n＋1)))－100n(n∈Z且n≥0)．(2)由f(n)＝(100＋10n)(10－eq\f(8,\r(n＋1)))－100n＝1000－80(eq\r(n＋1)＋eq\f(9,\r(n＋1)))≤1000－80×2eq\r(9)＝520，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(n＋1)＝eq\f(9,\r(n＋1))，即n＝8時取等號，所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元．變式訓(xùn)練建筑一個容積為800米3，深8米的長方體水池(無蓋)．池壁，池底造價分別為a元/米2和2a元/米2.底面一邊長為x米，總造價為y.寫出y與x的函數(shù)式，問底面邊長x為何值時總造價y最低，是多少？【解析】長方體底面積S＝eq\f(800,8)＝100米2，地面一邊長為x米，因此另一邊長為eq\f(100,x)米，池壁總面積為8·(2x＋eq\f(200,x))米2，∴總造價y＝100×2a＋(2x＋eq\f(200,x))·8·a＝200a＋16a(x＋eq\f(100,x))(x>0)．∵函數(shù)y＝200a＋16a(x＋eq\f(100,x))在(0,10]上是減函數(shù)，在(10，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝10時，總造價最低，且ymin＝520a(元)．跟蹤訓(xùn)練1．下列函數(shù)中最小值是4的是()A．y＝x＋eq\f(4,x)B．y＝x＋eq\f(2,x)C．y＝21＋x＋21－xD．y＝x2＋eq\f(1,x2＋1)＋3，(x≠0)2．函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)，x∈(1,3]的值域為()A．[eq\f(13,3)，5) B．[4,5)C．[eq\f(13,3)，4) D．(4,5)3．函數(shù)y＝－x＋eq\f(4,1－x)＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))的值域為____________．4．y＝2x2＋eq\f(3,1＋x2)的最小值是________．5．已知x>0，則2＋x＋eq\f(4,x)的最小值是________．6．函數(shù)y＝x＋eq\f(3,x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為____________．7．若函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)在區(qū)間(eq\r(5)，＋∞)上單調(diào)遞增，則a∈________________.8．建造一個容積為8m3，深為2m的無蓋水池，如果池底與池壁的造價每平方米分別是120元和80元，則水池的最低造價為____________元．9．某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成．已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000m2，人行道的寬分別為4m和10m(如圖所示)．(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比eq\f(A1B1,B1C1)＝x，求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬應(yīng)如何設(shè)計？10．如圖，某單位準(zhǔn)備修建一個面積為600平方米的矩形場地(圖中ABCD)的圍墻，且要求中間用圍墻EF隔開，使得ABEF為矩形，EFDC為正方形，設(shè)AB＝x米，已知圍墻(包括EF)的修建費用均為800元每米，設(shè)圍墻(包括EF)的修建總費用為y元．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x為何值時，設(shè)圍墻(包括EF)的的修建總費用y最??？并求出y的最小值．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x)(x∈[2，＋∞))．(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范圍．12．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)，x∈[1，＋∞)，a>0.(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為4，求實數(shù)a.13．為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10，k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小？并求出最小值．參考答案1．CA選項，由于x可取負(fù)值，顯然最小值不是4，排除A；B選項，由于x可取負(fù)值，顯然最小值也不是4，排除B；C選項，由于y＝2·2x＋eq\f(2,2x)＝2(2x＋eq\f(1,2x))，換元，令t＝2x，t>0，則y＝2(t＋eq\f(1,t))≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1即x＝0時，函數(shù)有最小值4，D選項，由于y＝x2＋eq\f(1,x2＋1)＋3＝x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)＋2，換元，令t＝x2＋1，t>1，則y＝t＋eq\f(1,t)＋2，函數(shù)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此y>4，排除D選項．綜上，答案為C.2．B由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時，表達式有最小值4，又函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增，f(1)＝5，f(3)＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3)，所以值域為[4,5)，答案為B.3．[6,7)解析y＝－x＋eq\f(4,1－x)＋3＝1－x＋eq\f(4,1－x)＋2，換元，令t＝1－x，則x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))時t∈(1,2]，y＝t＋eq\f(4,t)＋2，函數(shù)在(1,2]上單調(diào)遞減，若t＝1，則y＝1＋eq\f(4,1)＋2＝7，若t＝2，則y＝2＋eq\f(4,2)＋2＝6，故函數(shù)值域為[6,7)．4．2eq\r(6)－2解析換元，令t＝1＋x2，則t≥1，x2＝t－1，y＝2(t－1)＋eq\f(3,t)＝2t＋eq\f(3,t)－2，函數(shù)在[1，eq\r(\f(3,2))]上單調(diào)遞減，在[eq\r(\f(3,2))，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝eq\r(\f(3,2))時，函數(shù)有最小值2eq\r(6)－2.5．6解析由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時，表達式有最小值6.6．2eq\r(3)解析因為y＝x＋eq\f(3,x)在區(qū)間[1,eq\r(3)]上單調(diào)遞減，在[eq\r(3)，2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝eq\r(3)時函數(shù)有最小值2eq\r(3).7．(0,5]8．1760解析池底面積為eq\f(8,2)＝4cm2，設(shè)池底寬為xcm，則長為eq\f(4,x)cm，則水池的造價為4×120＋2(eq\f(4,x)×2＋x×2)×80＝480＋eq\f(1280,x)＋320x≥480＋2eq\r(\f(1280,x)×320x)＝1760.9．解析(1)設(shè)休閑區(qū)的寬為a米，則其長為ax米．由a2x＝4000，得a＝eq\f(20\r(10),\r(x))，則S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·eq\f(20\r(10),\r(x))＋160＝80eq\r(10)(2eq\r(x)＋eq\f(5,\r(x)))＋4160，即S＝80eq\r(10)(2eq\r(x)＋eq\f(5,\r(x)))＋4160.(2)S＝80eq\r(10)(2eq\r(x)＋eq\f(5,\r(x)))＋4160≥160eq\r(10)·eq\r(10)＋4160＝5760，當(dāng)且僅當(dāng)2eq\r(x)＝eq\f(5,\r(x))，即x＝時取等號，此時a＝40，ax＝100.所以要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A1B1C1D1應(yīng)設(shè)計為長100米，寬40米．10．解析(1)設(shè)AD＝t米，則由題意得xt＝600，且t>x，故t＝eq\f(600,x)>x，可得0<x<10eq\r(6)，則y＝800(3x＋2t)＝800(3x＋2×eq\f(600,x))＝2400(x＋eq\f(400,x))，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝2400(x＋eq\f(400,x))(0<x<10eq\r(6))．(2)y＝2400(x＋eq\f(400,x))≥2400×2eq\r(x·\f(400,x))＝96000，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(400,x)，即x＝20時等號成立．故當(dāng)x為20米時，y最小．y的最小值為96000元．11．解析(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，f(x)＝x＋eq\f(3,x)＋2.則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(3,x1x2))，∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－eq\f(3,x1x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．故f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝2時，f(x)有最小值f(2)＝eq\f(11,2).(2)∵f(x)>a恒成立，∴只需f(x)min>a.又∵f(x)min＝eq\f(11,2)，∴a<eq\f(11,2).12．解析(1)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)，x∈[1，＋∞)．令x＝eq\f(1,2x)(x>0)，得x＝eq\f(\r(2),2)?[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值．設(shè)1≤x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(eq\f(1,2x1)－eq\f(1,2x2))＝(x1－x2)(1－eq\f(1,2x1x2))<0，∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴fmin(x)＝f(1)＝eq\f(3