文本講義講稿908u space

§9.8UnitarySpaces--OrthonormalBases酉空間–標(biāo)準(zhǔn)正交基9.11設(shè)V是復(fù)數(shù)域上線性空間若V上定義著正定Hermite(半雙線性)型g(內(nèi)積),§9.8UnitarySpaces--OrthonormalBases酉空間–標(biāo)準(zhǔn)正交基9.11設(shè)V是復(fù)數(shù)域上線性空間若V上定義著正定Hermite(半雙線性)型g(內(nèi)積),,orUnitarySpace.((Vg為酉空間).(有的作者要求維數(shù)有限)·以后討論中,故記g常是固定的(稱為酉空間Vg(α,β)α,βxTHy的固有內(nèi)積),后者是在V中取基α1,,αm后,H(αi,αj)g的方陣x,y分別為αβ的坐標(biāo)列.9.2.設(shè)V為酉空間,g(α,β)α,β為其內(nèi)積.(1)向量αV的長(zhǎng)度(或)定義為;αβV的距離定義為(2) αβV的夾角定義為(α,β)|α,β|||α||||β||cosθ．即定義的合理性如下：(|||α||||β||(α,βV)證明. 設(shè)α,βreiθ,即r|α,β|,θ為實(shí)數(shù)(從而e-iθα,βr, β,αre-iθ)t為實(shí)數(shù)變量,則||teiθαβ||2teiθαβ,teiθαβ0,即teiθα,teiθαteiθα,ββ,teiθαβ,βt2||α||2te-iθα,βteiθβ,α||β||2t2||α||22tr||β||20即即這是t的二次三項(xiàng)式,故其判別式β|2||α||2||β||20即得定理.1θcos1|α,β| αβ,αβα|| α,αUnitarySpace) (n)中,定內(nèi)積:.長(zhǎng)度:類似定義行向量空間n為酉空間(Space)記V[0,1區(qū)間上有限連續(xù)數(shù)集,為UnitarySpace) (n)中,定內(nèi)積:.長(zhǎng)度:類似定義行向量空間n為酉空間(Space)記V[0,1區(qū)間上有限連續(xù)數(shù)集,為上線性空間,對(duì)如下內(nèi)積是酉空間:函內(nèi)積:.長(zhǎng)度:酉空間V中向量αβ還滿足:||αβ||||α||||β||;||αβ||2|αβ||22||α||22||β||2.αβ||2αβ,αβ||α||2α,βα,β||β||2α,βα,βα,βα,βProof.(1)2Reα,β2||α||2||β||2(因:αβuviu,v),則 u2u2v2|α,β|2||α||2||β||2cos2θ).||||β||2|α||β2.故||αβ||2||α||2α,ββ,α||β||2(2)Addingthetwoformulae,weobtainwhatwewanted.·(αβ)π2(夾角90度),即α,β0(內(nèi)積為0)時(shí),稱αβ正交或垂直(orthogonal),記為αβ.·αW(向量集)是指:α正交于W中所有向量.:.· (unit)向量即長(zhǎng)為1的向量.21 2 1 1 f(x)g(x)dx |f(x)|2dx|g(x)|2dx0 0 0 1||f|| f,f1|f(x)|2dx2 0 1 f,gf(x)g(x)dx0|xyxy|2(|x|2|x|2)(|y|2|y|2)11 nn 1 n 1 n |x|2|x|21 n||1nx,yxTyxyxy11 nn定義.酉空間V中,由兩兩正交的 向量 的基,稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基(或笛卡爾基)(OrthonormalBasis,Cartesianbasis)設(shè)ε1,,εn是酉空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,αx1ε1定義.酉空間V中,由兩兩正交的 向量 的基,稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基(或笛卡爾基)(OrthonormalBasis,Cartesianbasis)設(shè)ε1,,εn是酉空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,αx1ε1xnεn以εi“從”:εi,αεi,x1ε1εi,xnεnixi=εi,αα到基投影).即:(α的坐標(biāo))Vg在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的方陣為HI,g(α,β)α,βxTy后者是在V中取基α1,,αm后,x,y分別為αβ的坐標(biāo)列引理9.17(Gram-SchmidtOrthonormalization(process))酉空間V中,α1,.αm,ε1,.εm”(兩兩正交 向量),且“正交化為α1αsε1εs (任意1sm).(α1,.αsε1,.εs的子空間相同)特別:V的任一基α1,.αn“正交化”為標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1,.εn,使過(guò)渡方陣Ttij為上三角方陣,且對(duì)角線元素為正實(shí)數(shù):,tii0.α1||α1||欲求εr,嘗試令r:假設(shè)已取得ε1,.εr1.要求: 與εi(1ir1)皆正交; 用εi(從左面)作內(nèi)積:0εi,riεi,αr,kiεi,αr(1ir1)故即可.得如此續(xù)行,即得正交化.T定義9.4若復(fù)方陣U滿足UUI,則稱U為(UnitaryMatrix),“標(biāo)準(zhǔn)正交方陣”. UTUI UUTIU為酉U1UTU的列“兩兩正交向量”(經(jīng)典酉空間(n)的標(biāo)準(zhǔn)正交基3注意:rrε1krεr1αr* *,.α) *1 n 1 n tnn U的“兩兩正交向量”.是酉空間,基{α1,,αn}和{β1,βn的過(guò)渡矩陣(β1,,βnU的“兩兩正交向量”.是酉空間,基{α1,,αn}和{β1,βn的過(guò)渡矩陣(β1,,βn)(α1,,αn)Q設(shè)V為Q,即{α1,,αn},{β1,βn,和Q三者中,若有兩者為標(biāo)準(zhǔn)正交的,則第3者也是標(biāo)準(zhǔn)正交的.對(duì)酉空間V的任一基α1,.αn,存在標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1,.εn,使過(guò)渡方陣Ttij為上三角方陣,且對(duì)角線元素為正實(shí)數(shù):,tii0.系2.對(duì)每個(gè)正定HermiteH,必有實(shí)上三角方陣Ttij(且對(duì)角線元素為正實(shí)數(shù)),使TTHTI.系3.A,存在唯一的上三角實(shí)方陣T(且對(duì)角線元素為正)使得UAT為酉方陣,A可唯一分解為AUT1(UT分解)空間W存在正交補(bǔ)(子空間)W(與W正系4.酉空間V的交的向量集),且VW┻W,即:VWWWW定義9.5.((等距)同構(gòu)),),.?:1