(北京專用)高考數(shù)學一輪復習第八章立體幾何第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積課件文

第二節(jié)空間(kōngjiān)幾何體的表面積和體積第一頁，共35頁。第二節(jié)空間(kōngjiān)幾何體的表面積和體積第一頁，總綱(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀空間(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式考點突破考點二空間幾何體的體積考點一空間幾何體的表面積考點三與球有關的切、接問題第二頁，共35頁?？偩V(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀空間(空間(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式教材(jiàocái)研讀第三頁，共35頁?？臻g(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式教材(jià幾個與球切、接有關的結(jié)論(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,①若球為正方體的外接球,則2R=

a;②若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;③若球與正方體的各棱相切,則2R=

a.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

?.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.第四頁，共35頁。幾個與球切、接有關的結(jié)論第四頁，共35頁。

1.(2016北京西城期末)一個幾何體的三視圖如圖所示,那么這個幾何體

的表面積是?()

A.16+2

B.16+2

C.20+2

D.20+2

B第五頁，共35頁。?A.16+2?

B.16+2?

C.20+答案

B由三視圖,得該幾何體是一個以直角梯形為底面的四棱柱,其

底面面積(miànjī)為?×(1+2)×2=3,底面周長為2+2+1+?=5+?,高為2,故四棱柱的表面積(miànjī)S=3×2+(5+?)×2=16+2?.故選B.第六頁，共35頁。答案

B由三視圖,得該幾何體是一個以直角梯形為底面的2.一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為

()A.

πB.

πC.16πD.24π答案

B設球的半徑為R,則由4πR2=16π,解得R=2,所以這個球的體積

為?πR3=?.B第七頁，共35頁。2.一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為?()答案3.(2016北京西城一模)一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后,

所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為

.

答案

第八頁，共35頁。3.(2016北京西城一模)一個棱長為2的正方體被一個平面截解析如圖所示,正方體被截去一個三棱錐P-ABC,故所得幾何體的體積V=23-

×

×1×1×2=8-

=

.

第九頁，共35頁。解析如圖所示,正方體被截去一個三棱錐P-ABC,第九頁，共4.(2017北京東城期末)一個四棱錐的三視圖如圖所示(單位:cm),這個四

棱錐的體積為

cm3.

答案(dáàn)72解析由已知中的三視圖可得,該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱

錐,其底面面積S=6×6=36cm2,高h=6cm,故棱錐的體積V=

Sh=72cm3.72第十頁，共35頁。4.(2017北京東城期末)一個四棱錐的三視圖如圖所示(單位考點(kǎodiǎn)一空間幾何體的表面積考點(kǎodiǎn)突破典例1(1)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面

體的三視圖,則該多面體的表面積為?()

A.18+36

B.54+18

C.90

D.81第十一頁，共35頁。考點(kǎodiǎn)一空間幾何體的表面積考點(kǎo(2)(2016北京朝陽一模)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面積是

()

A.3+

B.3+

C.1+2

D.1+2

第十二頁，共35頁。(2)(2016北京朝陽一模)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,答案(dáàn)(1)B(2)B解析(1)由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長為3),高為6,側(cè)

棱長為3?的斜四棱柱.其表面積S=2×32+2×3×3

+2×3×6=54+18

.故選B.(2)將三視圖還原成立體圖形并嵌在長方體中,如圖中四棱錐P-ABCD.

由三視圖得AB=2,P為A1B1的中點,BB1=1,第十三頁，共35頁。答案(dáàn)(1)B(2)B解析(1)由三視圖可∴PB=PA=?.∴PD=PC=?.易知△PCD的DC邊上(biānshànɡ)的高=?=2.S側(cè)=S△PAB+S△PBC+S△PAD+S△PCD=?×2×1+?×?×?+?×?×?+?×2×2=3+?.第十四頁，共35頁?！郟B=PA=?.第十四頁，共35頁。方法技巧空間幾何體表面積的求法(1)表面積是各個面的面積之和,求多面體的表面積,只需將它們沿著棱

剪開展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求

旋轉(zhuǎn)體的表面積,可以(kěyǐ)從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展

開后求表面積,但要弄清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中

的邊長關系.(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、

錐、臺體,先求出這些基本的柱、錐、臺體的表面積,再通過求和或作

差,求出不規(guī)則幾何體的表面積.第十五頁，共35頁。方法技巧第十五頁，共35頁。1-1如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互

相垂直的半徑.若該幾何體的體積是

,則它的表面積是?()

A.17πB.18πC.20πD.28πA答案

A由三視圖可知該幾何體是一個球被截去

后剩下的部分,設球的半徑為R,則

π=

×

πR3,解得R=2.故其表面積為

×4π×22+3×

×π×22=17π.選A.第十六頁，共35頁。1-1如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩1-2某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是

()

A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

B第十七頁，共35頁。1-2某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是?(答案

B如圖所示:將三棱錐置于長方體中.

此長方體的長為5、寬為4、高為4,三棱錐為P-ABC,P在底面內(nèi)的

射影為P',SP-ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC=

×2

×6+

×4×5+

×5×4+

×5×4=6

+10+10+10=30+6

.故選B.第十八頁，共35頁。答案

B如圖所示:將三棱錐置于長方體中.=6?+10典例2(1)(2016北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所示,則其體積

為?()

A.

B.

C.

D.

考點二空間幾何體的體積第十九頁，共35頁。典例2(1)(2016北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為

.

答案(1)A(2)

第二十頁，共35頁。(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,解析(1)根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長方體中,如圖中三棱錐P-

AEC.

由三視圖得EC=2,CC1=1,BC=

,所以體積V=

·S△AEC·1=

×

×1=

.(2)由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體,將該幾何體還第二十一頁，共35頁。解析(1)根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長方體中,如圖中三棱原到長方體中,如圖所示,該幾何體為四棱柱ABCD-A'B'C'D'.

故該四棱柱的體積V=Sh=

×(1+2)×1×1=

.第二十二頁，共35頁。原到長方體中,如圖所示,該幾何體為四棱柱ABCD-A'B'C方法技巧空間幾何體體積的求法(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體,則可直接利

用公式進行求解.其中,等體積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體,則將不規(guī)則的幾何體通過分割

或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,再利用(lìyòng)公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直

觀圖,然后根據(jù)條件求解.第二十三頁，共35頁。方法技巧第二十三頁，共35頁。2-1

(2017北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積

為?()

A.60

B.30

C.20

D.10D第二十四頁，共35頁。2-1

(2017北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖答案

D本題考查三視圖的相關知識,三棱錐體積的計算,考查學生的

空間想象能力.根據(jù)三視圖將三棱錐P-ABC還原到長方體中,如圖所示,∴VP-ABC=

×

×3×5×4=10.故選D.

第二十五頁，共35頁。答案

D本題考查三視圖的相關知識,三棱錐體積的計算,典例3體積為8的正方體的頂點都在同一(tóngyī)球面上,則該球的表面積為?()A.12πB.?πC.8πD.4π考點三與球有關的切、接問題命題(mìngtí)角度一正方體的外接球答案

A解析設正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.設球的半徑為R,則2R=

a,即R=

,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.A第二十六頁，共35頁。典例3體積為8的正方體的頂點都在同一(tóngyī)球面上命題角度二直棱柱的外接與內(nèi)切球典例4(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB

=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

?()A.

B.2

C.

D.3

(2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB

=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是?()A.4πB.

C.6πD.

第二十七頁，共35頁。命題角度二直棱柱的外接與內(nèi)切球第二十七頁，共35頁。解析(1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的中點M.連接

OA,AM,

又AM=

BC=

,OM=

AA1=6,所以球O的半徑R=OA=

=

.(2)易知AC=10.設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則

×6×8=

×(6+8+1答案(1)C(2)B第二十八頁，共35頁。解析(1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的0)·r,所以r=2,因為2r=4>3,所以最大球的直徑2R=3,即R=?.此時(cǐshí)球的體積V=?πR3=?.故選B.第二十九頁，共35頁。0)·r,所以r=2,因為2r=4>3,所以最大球的直徑2R命題角度三正棱錐的外接與內(nèi)切球典例5(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊

長為2,則該球的表面積為?()A.

B.16πC.9πD.

(2)若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則

=

.第三十頁，共35頁。命題角度三正棱錐的外接與內(nèi)切球第三十頁，共35頁。答案(dáàn)(1)A(2)?解析(1)如圖所示,設球的半徑為R,底面中心為O',球心為O,由題意得AO'=

.

∵PO'=4,∴OO'=4-R,在Rt△AOO'中,∵AO2=AO'2+OO'2,∴R2=(

)2+(4-R)2,解得R=

,第三十一頁，共35頁。答案(dáàn)(1)A(2)?解析(1)如圖所示∴該球的表面積為4πR2=4π×

=

.(2)設正四面體內(nèi)切球的半徑為r,正四面體的棱長為a,則正四面體的表

面積S1=4×?·a2=

a2,其內(nèi)切球的半徑為正四面體高的?,即r=

×

a=

a,因此內(nèi)切球的表面積S2=4πr2=

,則

=

=

.第三十二頁，共35頁?！嘣撉虻谋砻娣e為4πR2=4π×?=?.第三十二頁，共35頁方法指導“切”“接”問題(wèntí)處理的注意事項(1)“切”的處理解決與球的內(nèi)切問題(wèntí)時要找準切點.(2)“接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在同一球面上即為球的外接問題(wèntí).解決這類

問題(wèntí)的關鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的

半徑.第三十三頁，共35頁。方法指導第三十三頁，共35頁。3-1三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC=120°,PA=AB=AC=2,則

此三棱錐外接球的體積(tǐjī)為

.答案

π

π第三十四頁，共35頁。3-1三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC解析設△ABC外接圓的半徑為r,三棱錐外接球的半徑為R,∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴BC=

=

=2

,∴2r=

=4,∴r=2,由題意知PA⊥平面ABC,則將三棱錐補成三棱柱可得R=

=

,∴此三棱錐外接球的體積為

π·(

)3=

π.第三十五頁，共35頁。解析設△ABC外接圓的半徑為r,第三十五頁，共35頁。第二節(jié)空間(kōngjiān)幾何體的表面積和體積第一頁，共35頁。第二節(jié)空間(kōngjiān)幾何體的表面積和體積第一頁，總綱(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀空間(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式考點突破考點二空間幾何體的體積考點一空間幾何體的表面積考點三與球有關的切、接問題第二頁，共35頁。總綱(zǒnggāng)目錄教材(jiàocái)研讀空間(空間(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式教材(jiàocái)研讀第三頁，共35頁?？臻g(kōngjiān)幾何體的表面積與體積公式教材(jià幾個與球切、接有關的結(jié)論(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,①若球為正方體的外接球,則2R=

a;②若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;③若球與正方體的各棱相切,則2R=

a.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

?.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.第四頁，共35頁。幾個與球切、接有關的結(jié)論第四頁，共35頁。

1.(2016北京西城期末)一個幾何體的三視圖如圖所示,那么這個幾何體

的表面積是?()

A.16+2

B.16+2

C.20+2

D.20+2

B第五頁，共35頁。?A.16+2?

B.16+2?

C.20+答案

B由三視圖,得該幾何體是一個以直角梯形為底面的四棱柱,其

底面面積(miànjī)為?×(1+2)×2=3,底面周長為2+2+1+?=5+?,高為2,故四棱柱的表面積(miànjī)S=3×2+(5+?)×2=16+2?.故選B.第六頁，共35頁。答案

B由三視圖,得該幾何體是一個以直角梯形為底面的2.一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為

()A.

πB.

πC.16πD.24π答案

B設球的半徑為R,則由4πR2=16π,解得R=2,所以這個球的體積

為?πR3=?.B第七頁，共35頁。2.一個球的表面積是16π,那么這個球的體積為?()答案3.(2016北京西城一模)一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后,

所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為

.

答案

第八頁，共35頁。3.(2016北京西城一模)一個棱長為2的正方體被一個平面截解析如圖所示,正方體被截去一個三棱錐P-ABC,故所得幾何體的體積V=23-

×

×1×1×2=8-

=

.

第九頁，共35頁。解析如圖所示,正方體被截去一個三棱錐P-ABC,第九頁，共4.(2017北京東城期末)一個四棱錐的三視圖如圖所示(單位:cm),這個四

棱錐的體積為

cm3.

答案(dáàn)72解析由已知中的三視圖可得,該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱

錐,其底面面積S=6×6=36cm2,高h=6cm,故棱錐的體積V=

Sh=72cm3.72第十頁，共35頁。4.(2017北京東城期末)一個四棱錐的三視圖如圖所示(單位考點(kǎodiǎn)一空間幾何體的表面積考點(kǎodiǎn)突破典例1(1)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面

體的三視圖,則該多面體的表面積為?()

A.18+36

B.54+18

C.90

D.81第十一頁，共35頁?？键c(kǎodiǎn)一空間幾何體的表面積考點(kǎo(2)(2016北京朝陽一模)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面積是

()

A.3+

B.3+

C.1+2

D.1+2

第十二頁，共35頁。(2)(2016北京朝陽一模)已知某四棱錐的三視圖如圖所示,答案(dáàn)(1)B(2)B解析(1)由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形(邊長為3),高為6,側(cè)

棱長為3?的斜四棱柱.其表面積S=2×32+2×3×3

+2×3×6=54+18

.故選B.(2)將三視圖還原成立體圖形并嵌在長方體中,如圖中四棱錐P-ABCD.

由三視圖得AB=2,P為A1B1的中點,BB1=1,第十三頁，共35頁。答案(dáàn)(1)B(2)B解析(1)由三視圖可∴PB=PA=?.∴PD=PC=?.易知△PCD的DC邊上(biānshànɡ)的高=?=2.S側(cè)=S△PAB+S△PBC+S△PAD+S△PCD=?×2×1+?×?×?+?×?×?+?×2×2=3+?.第十四頁，共35頁?！郟B=PA=?.第十四頁，共35頁。方法技巧空間幾何體表面積的求法(1)表面積是各個面的面積之和,求多面體的表面積,只需將它們沿著棱

剪開展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求

旋轉(zhuǎn)體的表面積,可以(kěyǐ)從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展

開后求表面積,但要弄清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中

的邊長關系.(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、

錐、臺體,先求出這些基本的柱、錐、臺體的表面積,再通過求和或作

差,求出不規(guī)則幾何體的表面積.第十五頁，共35頁。方法技巧第十五頁，共35頁。1-1如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互

相垂直的半徑.若該幾何體的體積是

,則它的表面積是?()

A.17πB.18πC.20πD.28πA答案

A由三視圖可知該幾何體是一個球被截去

后剩下的部分,設球的半徑為R,則

π=

×

πR3,解得R=2.故其表面積為

×4π×22+3×

×π×22=17π.選A.第十六頁，共35頁。1-1如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩1-2某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是

()

A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

B第十七頁，共35頁。1-2某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是?(答案

B如圖所示:將三棱錐置于長方體中.

此長方體的長為5、寬為4、高為4,三棱錐為P-ABC,P在底面內(nèi)的

射影為P',SP-ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC+S△ABC=

×2

×6+

×4×5+

×5×4+

×5×4=6

+10+10+10=30+6

.故選B.第十八頁，共35頁。答案

B如圖所示:將三棱錐置于長方體中.=6?+10典例2(1)(2016北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所示,則其體積

為?()

A.

B.

C.

D.

考點二空間幾何體的體積第十九頁，共35頁。典例2(1)(2016北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為

.

答案(1)A(2)

第二十頁，共35頁。(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,解析(1)根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長方體中,如圖中三棱錐P-

AEC.

由三視圖得EC=2,CC1=1,BC=

,所以體積V=

·S△AEC·1=

×

×1=

.(2)由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體,將該幾何體還第二十一頁，共35頁。解析(1)根據(jù)三視圖將幾何體還原并嵌到長方體中,如圖中三棱原到長方體中,如圖所示,該幾何體為四棱柱ABCD-A'B'C'D'.

故該四棱柱的體積V=Sh=

×(1+2)×1×1=

.第二十二頁，共35頁。原到長方體中,如圖所示,該幾何體為四棱柱ABCD-A'B'C方法技巧空間幾何體體積的求法(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體,則可直接利

用公式進行求解.其中,等體積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體,則將不規(guī)則的幾何體通過分割

或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,再利用(lìyòng)公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直

觀圖,然后根據(jù)條件求解.第二十三頁，共35頁。方法技巧第二十三頁，共35頁。2-1

(2017北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積

為?()

A.60

B.30

C.20

D.10D第二十四頁，共35頁。2-1

(2017北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖答案

D本題考查三視圖的相關知識,三棱錐體積的計算,考查學生的

空間想象能力.根據(jù)三視圖將三棱錐P-ABC還原到長方體中,如圖所示,∴VP-ABC=

×

×3×5×4=10.故選D.

第二十五頁，共35頁。答案

D本題考查三視圖的相關知識,三棱錐體積的計算,典例3體積為8的正方體的頂點都在同一(tóngyī)球面上,則該球的表面積為?()A.12πB.?πC.8πD.4π考點三與球有關的切、接問題命題(mìngtí)角度一正方體的外接球答案

A解析設正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.設球的半徑為R,則2R=

a,即R=

,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選A.A第二十六頁，共35頁。典例3體積為8的正方體的頂點都在同一(tóngyī)球面上命題角度二直棱柱的外接與內(nèi)切球典例4(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB

=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

?()A.

B.2

C.

D.3

(2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB

=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是?()A.4πB.

C.6πD.

第二十七頁，共35頁。命題角度二直棱柱的外接與內(nèi)切球第二十七頁，共35頁。解析(1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的中點M.連接

OA,AM,

又AM=

BC=

,OM=

AA1=6,所以球O的半徑R=OA=

=

.(2)易知AC=10.設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則

×6×8=

×(6+8+1答案(1)C(2)B第二十八頁，共35頁。解析(1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的0)·r,所以r=2,因為2r=4>3,所以最大球的直徑2