點到直線的距離教案

《點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計新人教版高二第二冊（上）第七章第三節(jié)第4小節(jié)浮山中學(xué)數(shù)學(xué)組李善飛【教材分析】.教材的地位和作用“點到直線的距離”是高中課本第二冊（上冊）第七章第三節(jié)“直線”的最后一節(jié)，其主要內(nèi)容是：點到直線的距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式、定比分點公式、直線方程、兩直線的位置關(guān)系，同時也學(xué)習(xí)了用代數(shù)方程研究曲線性質(zhì)的“以數(shù)論形，數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。在這個基礎(chǔ)上，教材在第一章的最后安排了這一節(jié)。點到直線的距離公式是解決理論和實際問題的重要工具，它使學(xué)生對點與直線的位置關(guān)系的認識從定性的認識上升到定量的認識。點到直線的距離公式可用于研究曲線的性質(zhì)如求兩條平行線間的距離，求三角形的高，求圓心到直線的距離等等，借助它也可以求點的軌跡方程，如角平分線的方程，拋物線的方程等等。.教材的內(nèi)容安排和處理教參安排“點到直線的距離”這部分內(nèi)容的授課時間為2個課時。第一課時：側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶。第二課時：側(cè)重于公式的應(yīng)用。本節(jié)為第一課時?！窘虒W(xué)目的】1、知識目標：掌握點到直線距離的公式的推導(dǎo)及其運用；2、能力目標：培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、歸納等數(shù)學(xué)能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化（或化歸）、等數(shù)學(xué)思想、特殊與一般的方法以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與能力；3、德育目標：引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題，了解和感受探索問題的方式方法，在探索問題的過程中獲得成功的體驗?！窘虒W(xué)重點】公式的推導(dǎo)及其結(jié)論以及簡單的應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點】發(fā)現(xiàn)點到直線距離公式的推導(dǎo)方法?！窘虒W(xué)方法】啟導(dǎo)法、討論法?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景給出定義師：同學(xué)們到學(xué)校要到公路上乘車，怎么走到村邊的公路上，才使所走的路最短？生：垂直于公路走最短。［板書］點到直線的距離二、提出問題初探思路“求點P（-1,2）到直線l：2x+y-10=0的距離?！碧釂枌W(xué)生解題思路，估計學(xué)生的思路：先求過點的1的垂線11的方程；再聯(lián)立l、l,求垂足Q,最后用兩點間距離公式求Pq|。［使學(xué)生鞏固已學(xué)過的知識和方法，同

時也為問題二的解決作鋪墊。］三、自主探索推導(dǎo)公式已知點P（x0，y0）,直線l：Ax+By+C=0,求點P到直線l的距離.怎樣求點到直線距離呢？學(xué)生思考，做垂線找垂足Q，求線段PQ的長度.怎樣用點的坐標和直線方程求和表示點到直線距離呢？教師提示在解決問題時先可以考慮特殊情況，再考慮一般情況.學(xué)生提出平行于x軸和y軸的特殊情況.學(xué)生解決.板書:l:By+C=0,|PQ|=卜0-yl:Ax+C=0,|PQ|=|x-x當(dāng)AB中0時，如何求p^Q|?學(xué)生思考回答下列想法：思路一：［學(xué)生類比問題一，容易有思路］過P作0—

|A|P(x0,y0)PQ11于0—

|A|P(x0,y0)由PQ與l聯(lián)立方程組解得Q點坐標，然后利用兩 \點距離公式求得.教師繼續(xù)提出問題：（1）求線段長度可以構(gòu)造圖形嗎？（2）什么圖形？如何構(gòu)造？⑶第三個頂點在什么位置？ （4）特殊情況與一般情況有聯(lián)系嗎？學(xué)生探討得到：構(gòu)造三角形，把線段放在直角三角形中. 鳥1項）［老師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，抓住直角特征，構(gòu)造以垂線段為一直角邊的直角三 \角形。］思路二:過P點做x,y軸的平行線與直線l的交點R、S.在直角△PQR,或直角△PQS中，求邊長與角（角與直線傾斜角有關(guān)，但分情況），用余弦值.思路三：在直角△PRS中，求線段PR、PS、RS,利用等面積法（不涉及角和分情況），求得線段PQ長.學(xué)生分組練習(xí)，教師巡視，根據(jù)學(xué)生情況演示探索過程.（思路一）解：直線PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和（思路一）解：直線PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和B2X-ABy-AC-A^x一B?xx—x= e e e e-Q0 M+B2—A(^Ax+By+C)

0 0

M+B?_B( \Ax+By+Cy-y——vx—x)=—B—o--q e0Ao A2+B21A2+B2Ax+By+c\=0 0IAx+By+C\——Q- 0._L7A2+B2（思路二）解：在RtAPSQ中，已知IPSI、0,要求帆q|,只需求cos。。而已知/的方程，就知道tga（當(dāng)B關(guān)0時，tga=—2）,也就知道tg0,也B就知道sec0，就可以求出cos0；*.*0<90°,AJl+tg2。'A2YA2+B2

\!+B?在RtAPSQ中，已知|PS|,cosZQPS即COS0，則IPQI=IPSIcos。IAx+By+C

0 Q IB|IBX-1JA2+B2VA2+B2（思路三）解：設(shè)兒。，八），。\,/我\），火工）Ax+By+C=0,x=_色+。

R0 R A4n?? A.x+CAx+By+C=0?y=——o 0s sb因尸|=-xI

i)RAx+By+C——0 0 AAx+By+C

——00BRS\由I尸妹皮|=|pr|-ps|,pel=RS\而RS|=.f|Rp|2+1Psl2=代十小°7A^A^x+By+C? =-__°———0 AA2+B2lABl???pel=1Ax02B02CAA2+B2教師又提出：點到直線的距離是點與直線上的點距離的最小值嗎？那么能不能用不等式的知識解決呢？思路四：使用柯西不等式（師生共同）解：（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]>[A（x一x）+B（y一y）]2TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0\o"CurrentDocument"=[(Ax+By)-(Ax+By)]2=[(Ax+By+C)-(Ax+By+C)]200 00=(Ax+By+C)2 ( Ax+By+C=0)0 0兩邊開方后可得：\：,(x-x)2+(y-y)2>1Ax0+By0+C^0 0 v1A2+B2問：等號什么時候成立呢?x一xy一y y-yB答：當(dāng) a=二甘即2―=:時等號成立。AB x一xA0教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，不構(gòu)造三角形可以求嗎？（在前面學(xué)習(xí)的向量知識中，有向量的模.由于在證明兩直線垂直時已經(jīng)用到向量知識，且也提出過直線的法向量的概念.）能否用向量知識求解呢？思路五：已知直線/的法向量n，則PQ=九n,元=?九in，如何選取法向量？直線的方向向量fl,-A]，則法向量為fl,B],或（A,B），或其IB） IA）它.由師生一起分析得出取n=（A,B）.教師板演：PQ=1一x,y一y),九n=6A,九B)

yQ｛一.yQxxTQ0Ax0+By0+CA2+B2yQ—y0Ax0+By0+CA2+B2A（x+九A）+B（y+九B）+C—0,解得.?.九??.「QI—k|口―1Ax0+B0+C以F——0+B0+CA2+B2 AA2+B2教師評析：向量是新教材內(nèi)容，是一種很好的數(shù)學(xué)工具，和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新教材知識的交匯點.而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法.四、掌握公式學(xué)會應(yīng)用例1：求點P0（—1,2）到下列直線的距離：①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1例2：點（4,m）到直線4x-3y-1=0的距離為3,求m。師生共同總結(jié)出公式的結(jié)構(gòu)特征、公式的適用范圍、使用公式時應(yīng)注意的問題等等，即如下幾點：.公式的結(jié)構(gòu)特征：分子是將點的坐標代入直線方程一般式的左邊得到的代數(shù)式加絕對值，分母是<A2+B2。.公式的適用范圍：①該公式對于任何位置的點P（包括直線上的點）及任意直線都適合。②當(dāng)A=0或B=0時，公式仍成立，計算時常用圖形直接求解也可套用公式。.使用公式時應(yīng)注意的問題：使用點到直線距離的公式時，應(yīng)先將直線方程化為一般式。.用方程的觀點理解公式：該公式是含有6個量的方程，知道其中5個量可以求第6個量。五、學(xué)生小結(jié)教師點評①知識：點到直線的距離的公式推導(dǎo)以及應(yīng)用.②數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化（或化歸）、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般的方法.六、課外練習(xí)鞏固提高①課本習(xí)題7.3的第13題----14題；②總結(jié)寫出推導(dǎo)點到直線距離公式的多種方法.七、課后思《點到直線的距離》教學(xué)設(shè)計說明一、教材分析我主要從三方面：教材的地位和作用、教學(xué)目標分析、教學(xué)重點和難點來說明的.教學(xué)目標包括：知識、能力、德育等方面的內(nèi)容.我確定教學(xué)目標的依據(jù)有教學(xué)大綱、考試大綱的要求、新教材的特點、所教學(xué)生的實際情況.二、教學(xué)方法1、指導(dǎo)思想：“以生為本”的理念，在課堂中充分體現(xiàn)“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”.“授人以魚，不如授人以漁。”我體會到，必須在傳授知識給學(xué)生的同時，教給他們好的學(xué)習(xí)方法，就是讓他們“會學(xué)習(xí)”。2、教學(xué)方法：啟導(dǎo)法、討論法.啟導(dǎo)法屬于啟發(fā)式教學(xué)，它符合辯證唯物主義內(nèi)因和外因相互作用的觀點，符合教學(xué)論中的自覺性、積極性、鞏固性、可接受性，教學(xué)與發(fā)展相結(jié)合，教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一等原則。啟導(dǎo)法的關(guān)鍵是通過教學(xué)中的引導(dǎo)、啟發(fā)、充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。在教學(xué)中，我采用啟導(dǎo)法，引導(dǎo)學(xué)生探索公式推導(dǎo)的思路并完成公式推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、嚴密性、批判性等，滲透數(shù)學(xué)思想。三、教學(xué)過程這節(jié)課在：“創(chuàng)設(shè)情景提出問題——提出問題初探思路——自主探索推導(dǎo)公式一一掌握公式學(xué)會應(yīng)用一一學(xué)生小結(jié)教師點評一一課外練習(xí)鞏固提高”六個環(huán)節(jié)中，始終以學(xué)生為本.教師主導(dǎo)，學(xué)生自主探究，將問題解決.首先提出學(xué)生自己親歷的問題，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望，從而引出數(shù)學(xué)問題.通過一系列問題引導(dǎo)學(xué)生通過圖形觀察，進而思考、分析、歸納總結(jié)選擇較好的方法具體實施.學(xué)生分組練習(xí)，落實計算能力，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)能力.關(guān)于思路五，在課本中沒有出現(xiàn)這樣的證法，我在課堂上選取這樣的證法.主要是考慮到：向量是新教材內(nèi)容，是一種很好的數(shù)學(xué)工具，和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新教材知識的交匯點.而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法，這樣思路五的給出不僅符合新教材的要求，也為今后的學(xué)習(xí)方法奠定了基礎(chǔ).我選擇練習(xí)目的：熟悉公式結(jié)構(gòu)，記憶并簡單應(yīng)用公式，主要通過學(xué)生口答完成.我強調(diào)注意在公式中直線方程的一般式.例1的選取來自課本，但是課本只有一種特殊點的解法.我把本例題進行挖掘，引導(dǎo)學(xué)生多角度考慮問題.例2是公式的逆應(yīng)用。在整個過程中讓學(xué)生注意體會解題方法中的靈活性.在整節(jié)課的處理中，采取了知識、方法來源于課本，挖掘其深度、廣度，符合現(xiàn)代教學(xué)要求.四、教學(xué)評價學(xué)生在學(xué)習(xí)點到直線的距離公式時，經(jīng)常會出現(xiàn)以下兩個問題：.使用公式時，未將直線方程寫成一般式，隨意改寫方程；.遇到A=0或B=0的情形，不會套公式或用數(shù)形結(jié)合沒有加絕對值算出的結(jié)果是負的；課堂上，老師可以通過巡堂，或提問等方式來發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤，而采取直接講解，或采取實物投影學(xué)生的錯誤解答，組織學(xué)生集體討論，并