命題的形式及等價關系課件

命題的形式及等價關系命題的形式及等價關系1一、命題與推出關系(一)命題的證明1、命題的概念(1)命題：可以判斷真假的語句叫命題(proposition)，一般用陳述句．(2)真命題：即正確的命題．(3)假命題：即錯誤的命題．注意(Ⅰ)判斷命題的真假應寫“真命題、假命題”，

而不寫“正確、錯誤”．(Ⅱ)真命題與假命題都必須要證明．一、命題與推出關系(一)命題的證明1、命題的概念(1)命22、命題的證明方法(1)真命題——推理證明(a)直接法：從已知條件出發(fā)，依學過的公理、定理、公式進行逐步推理，從而得出結論．(b)間接法(反證法)：假設結論不成立,推出與已知條件、公理、定理等矛盾，從而假設不成立，命題得證．(2)假命題——舉反例舉反例：舉出一個滿足命題條件，不滿足命題結論的例子即可．舉反例是判斷、證明假命題的重要方法！2、命題的證明方法(1)真命題——推理證明(a)直接法：從已3(二)推出關系1、推出關系：若命題α成立可以推出命題β也成立，則就說由α可以推出β，記作讀作“α推出β”．由條件α可以推出結論β成立，記作由條件α不能推出結論β成立，記作說明：表示α為條件，β為結論的命題是真命題．表示α為條件，β為結論的命題是假命題．2、α與β等價：叫做α與β等價．3、推出關系的傳遞性：(二)推出關系1、推出關系：若命題α成立可以推出命題β也成4真命題與假命題都必須要證明！(1)真命題——推理證明(2)假命題——舉反例注意真命題與假命題都必須要證明！(1)真命題——推理證明(2)5

●命題與推出關系原命題原命題的逆命題。逆命題

交換原命題的條件和結論，所得的命題叫做

●命題與推出關系原命題原命題的逆命題。逆命題6把原命題的條件和結論都換成它們的否定形式，所得到的命題是原命題的________把原命題的結論的否定作條件，把條件的否定作結論，所得到的命題是原命題的__________否命題。逆否命題。否命題。逆否命題。7命題的形式及等價關系課件8原命題：如果兩個數(shù)都是整數(shù)，那么這兩個數(shù)的和為整數(shù)二、四種命題形式命題：兩個整數(shù)的和是整數(shù)．條件：如果兩個數(shù)都是整數(shù)結論：那么這兩個數(shù)的和是整數(shù)逆命題：如果兩個數(shù)的和為整數(shù)那么這兩個數(shù)都是整數(shù)否命題：如果兩個數(shù)不都是整數(shù)那么這兩個數(shù)的和不為整數(shù)逆否命題：如果兩個數(shù)的和不為整數(shù)那么這兩個數(shù)不都是整數(shù)互否互否互逆互逆互逆否原命題：二、四種命題形式命題：兩個整數(shù)的和是整數(shù)．條件：如果9

例題：把下列命題寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題。（1）.負數(shù)的平方是正數(shù)

“若p則q”的形式是___________________

逆命題是_________________________否命題是__________________________逆否命題___________________________

若一個數(shù)是負數(shù),則它的平方是正數(shù).若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負數(shù).若一個數(shù)不是負數(shù),則它的平方不是正數(shù).若一個數(shù)平方不是正數(shù),則它不是負數(shù).例題：把下列命題寫成“若p則q”的形式，并寫四種命題的相互關系互否互否互逆互逆互逆否否命題：如果，那么逆命題：如果，那么原命題：如果，那么逆否命題：如果，那么四種命題的相互關系互否互否互逆互逆互逆否否命題：逆命題：原命11練習二：選擇題1.命題“兩條對角線不相等的四邊形不是平行四邊形。”是命題“平行四邊形的兩條對角線相等?！钡模ǎ?/p>

A.逆命題B.逆否命題

C.否命題D.非四種命題關系2.若命題p的否命題為r,命題r的逆命題為s,則命題p的逆命題t與s的關系是（）

A.互為逆命題B.互為否命題C.互為逆否命題D.同一個命題BB練習二：選擇題BB練習1、填空(口答)：（1）命題“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”的逆命題是_________（2）命題“線段的垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等”的否命題是___

（3）命題“對頂角相等”的逆否命題是_____若一個整數(shù)可以被5整除，則它的末位是0。

若一個點不在線段的垂直平分線上，則它到這條線段兩端點的距離不相等。若兩個角不相等，則它們不是對頂角。練習1、填空(口答)：（2）命題“線段的垂直平分線上的點與這13

逆命題:角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.

練習2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題否命題:到一個角的兩邊距離不相等的點,都不在這個角的平分線上.

逆否命題:不在這個角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離不相等.逆命題:角的平分線上的點,到這個角的練習2寫出下列命題的14

逆命題:兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)?原命題：兩個三角形全等,則它們的面積相等.練習2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題并判斷其真假否命題:兩個三角形不全等,則它們的面積不相等.逆否命題:兩個三角形的面積不相等,則它們不全等.假假真真逆命題:兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)?原命題：兩個三角15練習3寫出否命題1、若實數(shù)a,b滿足a+b<4，則a=1且b=2；若實數(shù)a,b滿足a+b≥4，則a≠1或b≠2；練習3寫出否命題1、若實數(shù)a,b滿足a+b<4，則a=1且16注：三種命題中最難寫的是否命題。2、（1）“或”的否定為“且”，（2）“且”的否定為“或”，（3）“都”的否定為“不都”。1、要寫出一個命題的另外三個命題,關鍵是分清命題的題設和結論,即把原命題寫成

“若α,則β”的形式兩個關注點注：三種命題中最難寫的是否命題。2、（1）“17幾種重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”“至少有一個”“一個也沒有”“都不是”“至少有一個是”幾種重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”182）原命題：若a=0,則ab=0。逆命題：若ab=0,則a=0。否命題：若a≠0,則ab≠0。逆否命題：若ab≠0,則a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四種命題的真假看下面的例子：1）原命題：若x=2或x=3,則x2-5x+6=0。逆命題：若x2-5x+6=0,則x=2或x=3。否命題：若x≠2且x≠3,則x2-5x+6≠0。逆否命題：若x2-5x+6≠0，則x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命題：若a>b,則ac2>bc2。逆命題：若ac2>bc2,則a>b。否命題：若a≤b,則ac2≤bc2。逆否命題：若ac2≤bc2,則a≤b。（假）（真）（真）（假）2）原命題：若a=0,則ab=0。逆命題：若ab=想一想？（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。由以上三例及總結我們能發(fā)現(xiàn)什么？即(1)原命題與逆否命題同真假。原命題的逆命題與否命題同真假。（1）原命題為真，則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真?？偨Y：(兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系).想一想？（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其

一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:四種命題的真假之間的關系如下：兩個命題互為逆否命題，它們同真（假）即：原命題與逆否命題同真同假

逆命題與否命題同真同假

四種命題的真假之間的關系如下：22例2若m≤0或n≤0，則m+n≤0。寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并分別指出其假。分析：搞清四種命題的定義及其關系，注意“且”“或”的否定為“或”“且”。解：逆命題：若m+n≤0，則m≤0或n≤0。否命題：若m>0且n>0,則m+n>0.逆否命題：若m+n>0,則m>0且n>0.（真）（真）（假）小結：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命題真假等價。例2若m≤0或n≤0，則m+n≤0。寫出其逆命題、否命題等價命題:

若A、B是兩個命題，AB，BA，那么A、B叫做等價命題.

性質(zhì)：如果兩個命題互為逆否命題，那么這兩個命題是等價命題．

說明：

(1)原命題和它的逆否命題同真同假．

(2)逆命題和它的否命題同真同假．

(3)當判斷某個命題真假有困難時，可轉化為判斷它

的逆否命題的真假．等價命題:24證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．已知：∠A、∠B、∠C

是△ABC的三個內(nèi)角．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角．證明：一個三角形中不能有已知：∠A、∠B、∠C是例2.判斷下列命題的真假,并說明理由:(1)若實數(shù)a、b滿足a+b≠3,則a≠1且b≠2；

其逆否命題是：若實數(shù)a=1或b=2，則a+b=3.(2)若實數(shù)a與b的積不是有理數(shù)，則a，b至少有一個不是有理數(shù)．其逆否命題是：若實數(shù)a，b都是有理數(shù)，則a與b的積是有理數(shù)．假真例2.判斷下列命題的真假,并說明理由:假真26反證法的步驟一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立以假設為條件，結合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結論這與“......”相矛盾所以假設不成立，所求證的命題成立假設待證命題不成立，或是命題的反面成立。反證法的步驟一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立[能力測試]寫出下列各結論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負數(shù)a不垂直于ba∥b[能力測試]寫出下列各結論的反面：a<0b是0或負數(shù)a不垂直反證法證：假設若_________時,則___________,

∴x2+y2>0與x2+y2=0矛盾,若_________時,則___________,

∴x2+y2>0與x2+y2=0矛盾,所以假設不成立,從而______________成立。x、y至少有一個不為0x≠

0x2>0例證明：若x2+y2=0,則y≠

0y2>0x=y=0。x=y=0。反證：假設x、y至少有一個不為0x≠0x2>0例反證法證明證：假設_________或_________,由于____________時,_________________,與(x-a)(x-b)≠0矛盾,又_________時,_________________,與(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假設不成立,從而_________________。x=ax=bx=a(x-a)(x-b)=0x=b(x-a)(x-b)=0x≠a且x≠b用反證法證明,若(x-a)(x-b)≠0,則x≠a且x≠b.反證法證明證：假設_________或_________例2證明:例2證明:1.用反證法證明（填空）：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角不小于60°已知：如圖，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的內(nèi)角求證：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一個角不小于600.證明：假設所求證的結論不成立，即∠Ａ＿＿60°，∠Ｂ＿＿60°，∠Ｃ＿＿60°則∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜1800這于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾所以假設＿＿＿＿＿＿，所以，所求證的結論成立．＜＜＜三角形三個內(nèi)角的和等于180°不成立ＡＢＣ1.用反證法證明（填空）：已知：如圖，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△假設l3∥l2，即l3與l2相交，記交點為P2.已知：如圖，直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3∥l1，l3∥l2求證：而l1∥l2,l3∥l1這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾，所以假設不成立，即l3∥l2證明：l1l3l2P假設l3∥l2，即l3與l2相交，記交點為P2.已知：如圖，求證:若一個整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個數(shù)也是偶數(shù).假設這個數(shù)是奇數(shù),可以設為2k+1,證:則有而不是偶數(shù)這與原命題條件矛盾.例題3:求證:若一個整數(shù)的平方是偶數(shù),則這個數(shù)也是偶數(shù).假設這個數(shù)是用反證法證明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根,則b2-4ac>0.2.用反證法證明:在△ABC中,若∠C是直角,則∠B一定是銳角.演練反饋用反證法證明:若方程ax2+bx+c=0(a說明當證明某個命題比較困難時，可以證明它的逆否命題來代替證明原命題．證明步驟：1、寫出所要證明命題的逆否命題；2、證明所寫的逆否命題；3、結論：“由于逆否命題正確，所以原命題正確”．“正難則反”說明當證明某個命題比較困難時，可以證明它的逆否命題來代替證明36(1)真命題——推理證明(2)假命題——舉反例小結1、會判斷命題的真假并證明：2、四種命題形式及相互關系3、等價命題(1)互為逆否的兩個命題等價命題，它們同真同假．（4真或4假或2真2假）(2)“正難則反”4、幾種否定形式（熟記）(1)真命題——推理證明(2)假命題——舉反例小結1、會37練習練習382、判斷下列命題的真假，并說明理由2、判斷下列命題的真假，并說明理由39命題的形式及等價關系命題的形式及等價關系40一、命題與推出關系(一)命題的證明1、命題的概念(1)命題：可以判斷真假的語句叫命題(proposition)，一般用陳述句．(2)真命題：即正確的命題．(3)假命題：即錯誤的命題．注意(Ⅰ)判斷命題的真假應寫“真命題、假命題”，

而不寫“正確、錯誤”．(Ⅱ)真命題與假命題都必須要證明．一、命題與推出關系(一)命題的證明1、命題的概念(1)命412、命題的證明方法(1)真命題——推理證明(a)直接法：從已知條件出發(fā)，依學過的公理、定理、公式進行逐步推理，從而得出結論．(b)間接法(反證法)：假設結論不成立,推出與已知條件、公理、定理等矛盾，從而假設不成立，命題得證．(2)假命題——舉反例舉反例：舉出一個滿足命題條件，不滿足命題結論的例子即可．舉反例是判斷、證明假命題的重要方法！2、命題的證明方法(1)真命題——推理證明(a)直接法：從已42(二)推出關系1、推出關系：若命題α成立可以推出命題β也成立，則就說由α可以推出β，記作讀作“α推出β”．由條件α可以推出結論β成立，記作由條件α不能推出結論β成立，記作說明：表示α為條件，β為結論的命題是真命題．表示α為條件，β為結論的命題是假命題．2、α與β等價：叫做α與β等價．3、推出關系的傳遞性：(二)推出關系1、推出關系：若命題α成立可以推出命題β也成43真命題與假命題都必須要證明！(1)真命題——推理證明(2)假命題——舉反例注意真命題與假命題都必須要證明！(1)真命題——推理證明(2)44

●命題與推出關系原命題原命題的逆命題。逆命題

交換原命題的條件和結論，所得的命題叫做

●命題與推出關系原命題原命題的逆命題。逆命題45把原命題的條件和結論都換成它們的否定形式，所得到的命題是原命題的________把原命題的結論的否定作條件，把條件的否定作結論，所得到的命題是原命題的__________否命題。逆否命題。否命題。逆否命題。46命題的形式及等價關系課件47原命題：如果兩個數(shù)都是整數(shù)，那么這兩個數(shù)的和為整數(shù)二、四種命題形式命題：兩個整數(shù)的和是整數(shù)．條件：如果兩個數(shù)都是整數(shù)結論：那么這兩個數(shù)的和是整數(shù)逆命題：如果兩個數(shù)的和為整數(shù)那么這兩個數(shù)都是整數(shù)否命題：如果兩個數(shù)不都是整數(shù)那么這兩個數(shù)的和不為整數(shù)逆否命題：如果兩個數(shù)的和不為整數(shù)那么這兩個數(shù)不都是整數(shù)互否互否互逆互逆互逆否原命題：二、四種命題形式命題：兩個整數(shù)的和是整數(shù)．條件：如果48

例題：把下列命題寫成“若p則q”的形式，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題。（1）.負數(shù)的平方是正數(shù)

“若p則q”的形式是___________________

逆命題是_________________________否命題是__________________________逆否命題___________________________

若一個數(shù)是負數(shù),則它的平方是正數(shù).若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負數(shù).若一個數(shù)不是負數(shù),則它的平方不是正數(shù).若一個數(shù)平方不是正數(shù),則它不是負數(shù).例題：把下列命題寫成“若p則q”的形式，并寫四種命題的相互關系互否互否互逆互逆互逆否否命題：如果，那么逆命題：如果，那么原命題：如果，那么逆否命題：如果，那么四種命題的相互關系互否互否互逆互逆互逆否否命題：逆命題：原命50練習二：選擇題1.命題“兩條對角線不相等的四邊形不是平行四邊形。”是命題“平行四邊形的兩條對角線相等?！钡模ǎ?/p>

A.逆命題B.逆否命題

C.否命題D.非四種命題關系2.若命題p的否命題為r,命題r的逆命題為s,則命題p的逆命題t與s的關系是（）

A.互為逆命題B.互為否命題C.互為逆否命題D.同一個命題BB練習二：選擇題BB練習1、填空(口答)：（1）命題“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”的逆命題是_________（2）命題“線段的垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等”的否命題是___

（3）命題“對頂角相等”的逆否命題是_____若一個整數(shù)可以被5整除，則它的末位是0。

若一個點不在線段的垂直平分線上，則它到這條線段兩端點的距離不相等。若兩個角不相等，則它們不是對頂角。練習1、填空(口答)：（2）命題“線段的垂直平分線上的點與這52

逆命題:角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.

練習2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題否命題:到一個角的兩邊距離不相等的點,都不在這個角的平分線上.

逆否命題:不在這個角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離不相等.逆命題:角的平分線上的點,到這個角的練習2寫出下列命題的53

逆命題:兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)?原命題：兩個三角形全等,則它們的面積相等.練習2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題并判斷其真假否命題:兩個三角形不全等,則它們的面積不相等.逆否命題:兩個三角形的面積不相等,則它們不全等.假假真真逆命題:兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)?原命題：兩個三角54練習3寫出否命題1、若實數(shù)a,b滿足a+b<4，則a=1且b=2；若實數(shù)a,b滿足a+b≥4，則a≠1或b≠2；練習3寫出否命題1、若實數(shù)a,b滿足a+b<4，則a=1且55注：三種命題中最難寫的是否命題。2、（1）“或”的否定為“且”，（2）“且”的否定為“或”，（3）“都”的否定為“不都”。1、要寫出一個命題的另外三個命題,關鍵是分清命題的題設和結論,即把原命題寫成

“若α,則β”的形式兩個關注點注：三種命題中最難寫的是否命題。2、（1）“56幾種重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”“至少有一個”“一個也沒有”“都不是”“至少有一個是”幾種重要否定形式“且”“或”“是”“不是”“都是”“不都是”572）原命題：若a=0,則ab=0。逆命題：若ab=0,則a=0。否命題：若a≠0,則ab≠0。逆否命題：若ab≠0,則a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四種命題的真假看下面的例子：1）原命題：若x=2或x=3,則x2-5x+6=0。逆命題：若x2-5x+6=0,則x=2或x=3。否命題：若x≠2且x≠3,則x2-5x+6≠0。逆否命題：若x2-5x+6≠0，則x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3)原命題：若a>b,則ac2>bc2。逆命題：若ac2>bc2,則a>b。否命題：若a≤b,則ac2≤bc2。逆否命題：若ac2≤bc2,則a≤b。（假）（真）（真）（假）2）原命題：若a=0,則ab=0。逆命題：若ab=想一想？（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。由以上三例及總結我們能發(fā)現(xiàn)什么？即(1)原命題與逆否命題同真假。原命題的逆命題與否命題同真假。（1）原命題為真，則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真?？偨Y：(兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系).想一想？（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其

一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:一般地,四種命題的真假性,有而且僅有下面四種情況:四種命題的真假之間的關系如下：兩個命題互為逆否命題，它們同真（假）即：原命題與逆否命題同真同假

逆命題與否命題同真同假

四種命題的真假之間的關系如下：61例2若m≤0或n≤0，則m+n≤0。寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并分別指出其假。分析：搞清四種命題的定義及其關系，注意“且”“或”的否定為“或”“且”。解：逆命題：若m+n≤0，則m≤0或n≤0。否命題：若m>0且n>0,則m+n>0.逆否命題：若m+n>0,則m>0且n>0.（真）（真）（假）小結：在判斷四種命題的真假時，只需判斷兩種命題的真假。因為逆命題與否命題真假等價，逆否命題與原命題真假等價。例2若m≤0或n≤0，則m+n≤0。寫出其逆命題、否命題等價命題:

若A、B是兩個命題，AB，BA，那么A、B叫做等價命題.

性質(zhì)：如果兩個命題互為逆否命題，那么這兩個命題是等價命題．

說明：

(1)原命題和它的逆否命題同真同假．

(2)逆命題和它的否命題同真同假．

(3)當判斷某個命題真假有困難時，可轉化為判斷它

的逆否命題的真假．等價命題:63證明：一個三角形中不能有兩個角是直角．已知：∠A、∠B、∠C

是△ABC的三個內(nèi)角．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角．證明：一個三角形中不能有已知：∠A、∠B、∠C是例2.判斷下列命題的真假,并說明理由:(1)若實數(shù)a、b滿足a+b≠3,則a≠1且b≠2；

其逆否命題是：若實數(shù)a=1或b=2，則a+b=3.(2)若實數(shù)a與b的積不是有理數(shù)，則a，b至少有一個不是有理數(shù)．其逆否命題是：若實數(shù)a，b都是有理數(shù)，則a與b的積是有理數(shù)．假真例2.判斷下列命題的真假,并說明理由:假真65反證法的步驟一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立以假設為條件，結合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結論這與“......”相矛盾所以假設不成立，所求證的命題成立假設待證命題不成立，或是命題的反面成立。反證法的步驟一、提出假設二、推理論證三、得出矛盾四、結論成立[能力測試]寫出下列各結論的反面：（1）a//b；

（2）a≥0；（3）b是正數(shù)；（4）a⊥ba<0b是0或負數(shù)a不垂直于ba∥b[能力測試]寫出下列各結論的反面：a<0b是0或負數(shù)a不垂直反證法證：假設若_________時,則___________,

∴x2+y2>0與x2+y2=0矛盾,若_________時,則___________,

∴x2+y2>0與x2+y2=0矛盾,所以假設不成立,從而______________成立。x、y至少有一個不為0x≠

0x2>0例證明：若x2+y2=0,則y≠

0y2>0x=y=0。x=y=0。反證：假設x、y至少有一個不為0x≠0x2>0例反證法證明證：假設_________或_________,由于____________時,_________________,與(x-a)(x-b)≠0矛盾,又_________時,_________________,與(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假設不成立,