勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)課件

第三節(jié)勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，也是對系統(tǒng)最基本的要求?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負(fù)載或能源的波動、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡工作點(diǎn)，并隨時間推移而發(fā)散，即使擾動消失了，也不可能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是控制理論的基本任務(wù)之一。

1常用的穩(wěn)定性分析方法有：1.勞斯－赫爾維茨（Routh－Hurwitz）判據(jù)：這是一種代數(shù)判據(jù)。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.2.根軌跡法：這是一種利用圖解來系統(tǒng)特征根的方法。它是以系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)為變量化出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在S平面的軌跡，從而全面了解閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨該參數(shù)的變化情況。3.奈魁斯特（Nyquist）判據(jù)：這是一種在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上建立起來的方法。它根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣避免了求解閉環(huán)系統(tǒng)特征根的困難。這一方法在工程上是得到了比較廣泛的應(yīng)用。4.李雅普諾夫方法上述幾種方法主要適用于線性系統(tǒng)，而李雅普諾夫方法不僅適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。該方法是根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的特征來決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。常用的穩(wěn)定性分析方法有：2一、穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的概念可以通過圖3-31所示的方法加以說明?？紤]置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時，我們施加一個很小的外力（擾動），圓錐體會稍微產(chǎn)生傾斜，外作用力撤消后，經(jīng)過若干次擺動，它仍會返回到原來的狀態(tài)。而當(dāng)圓錐體尖部朝下放置時，由于只有一點(diǎn)能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的外力（擾動）后，它就會傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來的狀態(tài)。

(a)穩(wěn)定的(b)不穩(wěn)定的圖3-31圓錐體的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定性的概念3

因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了最初的工作點(diǎn)，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來的工作點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，在單位理想脈沖作用下，這時系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為c(t)。若t

∞時，脈沖響應(yīng)這時，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的特征方程D(s)=0的根為si，由于單位脈沖傳遞函數(shù)的拉氏變換為1，系統(tǒng)輸出的拉式變換為：因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作4

瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散三種情況之一，它是決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。由于輸入量只影響到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并且兩者具有相同的特性，即如果輸入量r(t)是有界的：

|r(t)|<∞，t≥0則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也必定是有界的。則系統(tǒng)穩(wěn)定性可以歸結(jié)為，系統(tǒng)在任何一個有界輸入的作用下，其輸出是否有界的問題。

一個穩(wěn)定的系統(tǒng)定義為，在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩(wěn)定，又簡稱為BIBO穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散三種5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面內(nèi)的位置來確定。設(shè)單輸入單輸出線性系統(tǒng)的微分方程為，即(3.58)則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由上式左端決定，或者說系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式(3.59)

來分析。這時，在任何初始條件下，若滿足

(3.60)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面內(nèi)6則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。為了決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可求出式(3.59)的解。由數(shù)學(xué)分析知道，式(3.59)的特征方程式為(3.61)設(shè)上式有k個實(shí)根-pi（i=1，2，…，k），r對共軛復(fù)數(shù)根(-σj±jwj)(j=1，2，…，r)，k+2r=n，則齊次方程式(3.59)解的一般式為(3.62)式中系數(shù)Aj，Bj和Cj由初始條件決定。從式(3.62)可知：(1)若-pi<0，-sj<0（即極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部），則式(3.60)成立，系統(tǒng)最終能恢復(fù)至平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。7(3)若-pi或-sj中有一個或一個以上是正數(shù)，則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，c(t)將發(fā)散，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(4)只要-pi中有一個為零，或-sj中有一個為零（即有一對虛根），則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)輸出或者為一常值，或者為等幅振蕩，不能恢復(fù)原平衡狀態(tài)，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。總結(jié)上述，可以得出如下結(jié)論：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)，或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分。或它的所有特征根，均在S平面面的左半部分（見圖3-32）。圖3-32根平面(3)若-pi或-sj中有一個或8勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)課件9表3.4列舉了幾個簡單系統(tǒng)穩(wěn)定性的例子。需要指出的是，對于線性定常系統(tǒng)，由于系統(tǒng)特征方程根是由特征方程的結(jié)構(gòu)（即方程的階數(shù)）和系數(shù)決定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號和初始條件無關(guān)，僅由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定。如果系統(tǒng)中每個部分都可用線性定常微分方程描述，那么，當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定時，它在大偏差情況下也是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)中有的元件或裝置是非線性的，但經(jīng)線性化處理后可用線性化方程來描述，則當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，我們只能說這個系統(tǒng)在小偏差情況下是穩(wěn)定的，而在大偏差時不能保證系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的根。但求解高階特征方程的根是相當(dāng)麻煩的，往往需要求助于計(jì)算機(jī)。實(shí)際上，我們只希望了解特征方程的根在S平面上分布情況。所以，人們就希望能在不求解特征方程的情況下，來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面就介紹常用的勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)。表3.4列舉了幾個簡單系統(tǒng)穩(wěn)定性的例10

二、勞斯判據(jù)(一)系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(3.63)式中所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且an>0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)。證明如下：設(shè)式(3.63)有n個根，其中k個實(shí)根-pj(j=1，2，…，k)，r對復(fù)根-si±jwi(i=1，2，…，r)，n=k+2r。則特征方程式可寫為二、勞斯判據(jù)11

假如所有的根均在左半平面，即-pj<0，-si<0，則pj>0，si

>0。所以將各因子項(xiàng)相乘展開后，式（3.63）的所有系數(shù)都是正數(shù)。根據(jù)這一原則，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，首先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都為正數(shù)，假如有任一系數(shù)為負(fù)數(shù)或等于零（缺項(xiàng)），則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。但是，假若特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，并不能肯定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還要做進(jìn)一步的判別。因?yàn)樯鲜鏊f的原則只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件，而不是充分必要條件。

12

(二)勞斯判據(jù)

這是1877年由勞斯(Routh)提出的代數(shù)判據(jù)。1.若系統(tǒng)特征方程式設(shè)an>0，各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。2.按特征方程的系數(shù)列寫勞斯陣列表：(二)勞斯判據(jù)13表中直至其余bi項(xiàng)均為零。表中14

按此規(guī)律一直計(jì)算到n-1行為止。在計(jì)算過程中，為了簡化數(shù)值運(yùn)算，可將某一行中的各系數(shù)均乘一個正數(shù)，不會影響穩(wěn)定性結(jié)論。3.考察陣列表第一列元素的符號。假若勞斯陣列表中第一列所有元素均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于S平面的左半平面。假若第一列元數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列元素的符號的變化次數(shù)等于系統(tǒng)在S平面右半平面上的根的個數(shù)。例3.3系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下按此規(guī)律一直計(jì)算到n-1行為止。在計(jì)算過程中15

1126611061/66

455/6106第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實(shí)上，從因式分解可將特征方程寫為其根為-2，-3，，均具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0

116例3.3系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下

s4135

s3

240

s2

15

s1-60

s0

5

第一列系數(shù)有兩次變號（+1到-6，-6到+5），故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實(shí)部的根。例3.3系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)17例3.4已知系統(tǒng)特征方程式為解列寫勞斯陣列表

s5125S4316

s3

59（各系數(shù)均已乘3）S2

-1115（各系數(shù)均已乘5/2）S1

174（各系數(shù)均已乘11）

s0

15勞斯陣列表第一列有負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列元素的符號改變了兩次(5→－11→174)，所以，系統(tǒng)有兩個具有正實(shí)部的根。例3.4已知系統(tǒng)特征方程式為184.兩種特殊情況在勞斯陣列表的計(jì)算過程中，如果出現(xiàn)：(1)勞斯表中某行的第一列的元素為零，其余各列系數(shù)不為零（或沒有其余項(xiàng)），或不全為零，這時可用一個很小的正數(shù)e來代替這個零，從而使勞斯陣列表可以繼續(xù)運(yùn)算下去（否則下一行將出現(xiàn)∞）。第一列零元素的存在（其他元素為正），則說明系統(tǒng)特征方程有一對虛根，系統(tǒng)處干臨界狀態(tài)；如果第一列元素存在符號變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定根的個數(shù)由符號變化次數(shù)決定。例3.5設(shè)系統(tǒng)特征方程為s3+2s2+s+2=04.兩種特殊情況s3+2s2+s+19解勞斯陣列表為由于e的上下兩個系數(shù)(2和2)符號相同，則說明有一對虛根存在。上述特征方程可因式分解為例3.5設(shè)系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為s313s2

ε2s1（3ε-2）/ε<0s02S3

11S222S1

εS0

2s3+3s+2=0解勞斯陣列表為20(2)若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對稱的根。在這種情況下可做如下處理：a.利用第k－1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，它的次數(shù)總是偶數(shù)的；(2)若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，21

b.求輔助多項(xiàng)式對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替第k行；c.繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表；d.令輔助多項(xiàng)式等于零可求得關(guān)于原點(diǎn)對稱的根。例3.6系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為s3116S210160輔助多項(xiàng)式10s2+160S1

00↓求導(dǎo)數(shù)

200構(gòu)成新行20s+0s0160b.求輔助多項(xiàng)式對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替第k行；22從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號，所以沒有特征根位于右半平面。由輔助多項(xiàng)式10s2+

160

=

0，求得一對共軛虛根為±j4。

例3.7系統(tǒng)特征方程式為解勞斯陣列表如下：

s513-4

s4

26-8輔助多項(xiàng)式2s4+

6s2-

8

s3

000↓求導(dǎo)數(shù)

8120構(gòu)成新行8s3+

12s

s23-8

s1

100/3s0

-8從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號，所以沒有特征23勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半平面。由輔助多項(xiàng)式：可得s1,2=±１，s3,4=±j2，它們均關(guān)于原點(diǎn)對稱，其中一個根在S平面的右半平面。(三)勞斯判據(jù)的應(yīng)用應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且也可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2s4+

6s2-

8

=

0勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半241.穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)如圖3-33所示，令(3.64)即把虛軸左移s1。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得以z為變量的新特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線s=-s1)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s1。

s

=z

-s1

圖3-33穩(wěn)定裕量σ1

1.穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)s=z-s1圖3-3325例3.8檢驗(yàn)特征方程式是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個根在直線s=-１的右邊。解勞斯陣列表為s3213

s2

104s1

12.2s0

4第一列無符號改變，故沒有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程式，得即例3.8檢驗(yàn)特征方程式26則新的勞斯陣列表從表中可看出，第一列符號改變一次，故有一個根在Z平面的右半平面，即直線s=-（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1。2.分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-34所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程式為z

3

2-1

z

2

4-1

z

1

-1/2

z

0

-1則新的勞斯陣列表27圖3-34求K的范圍

列寫勞斯陣列表：

s3

15

s2

6

K

s1

s0

K

若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯表的第一列均為正數(shù)，即K>0，30-K>0所以0<K<30,其穩(wěn)定的臨界值為30。圖3-34求K的范圍列寫勞斯陣列表：28由此可以看出，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定限制。但是為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，則要求較大的K值，兩者是矛盾的。為了滿足兩方面的要求，必須采取校正的方法來處理。例3.9系統(tǒng)特征方程式為求系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數(shù)T的范圍？解勞斯表為

s41T100

s3

210

s2

T-

5100

s1

s0

100s4+

2s3+

Ts2+

10s

+

100

=

0由此可以看出，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定29由勞斯表可以看出，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須即T>25時，系統(tǒng)穩(wěn)定。

T-5>0，

，由勞斯表可以看出，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須T-5>0，30

第三節(jié)勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，也是對系統(tǒng)最基本的要求。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負(fù)載或能源的波動、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡工作點(diǎn)，并隨時間推移而發(fā)散，即使擾動消失了，也不可能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是控制理論的基本任務(wù)之一。

31常用的穩(wěn)定性分析方法有：1.勞斯－赫爾維茨（Routh－Hurwitz）判據(jù)：這是一種代數(shù)判據(jù)。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.2.根軌跡法：這是一種利用圖解來系統(tǒng)特征根的方法。它是以系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)為變量化出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在S平面的軌跡，從而全面了解閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨該參數(shù)的變化情況。3.奈魁斯特（Nyquist）判據(jù)：這是一種在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上建立起來的方法。它根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣避免了求解閉環(huán)系統(tǒng)特征根的困難。這一方法在工程上是得到了比較廣泛的應(yīng)用。4.李雅普諾夫方法上述幾種方法主要適用于線性系統(tǒng)，而李雅普諾夫方法不僅適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。該方法是根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的特征來決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。常用的穩(wěn)定性分析方法有：32一、穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性的概念可以通過圖3-31所示的方法加以說明。考慮置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時，我們施加一個很小的外力（擾動），圓錐體會稍微產(chǎn)生傾斜，外作用力撤消后，經(jīng)過若干次擺動，它仍會返回到原來的狀態(tài)。而當(dāng)圓錐體尖部朝下放置時，由于只有一點(diǎn)能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的外力（擾動）后，它就會傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來的狀態(tài)。

(a)穩(wěn)定的(b)不穩(wěn)定的圖3-31圓錐體的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定性的概念33

因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了最初的工作點(diǎn)，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來的工作點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，在單位理想脈沖作用下，這時系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為c(t)。若t

∞時，脈沖響應(yīng)這時，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的特征方程D(s)=0的根為si，由于單位脈沖傳遞函數(shù)的拉氏變換為1，系統(tǒng)輸出的拉式變換為：因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作34

瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散三種情況之一，它是決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。由于輸入量只影響到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并且兩者具有相同的特性，即如果輸入量r(t)是有界的：

|r(t)|<∞，t≥0則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也必定是有界的。則系統(tǒng)穩(wěn)定性可以歸結(jié)為，系統(tǒng)在任何一個有界輸入的作用下，其輸出是否有界的問題。

一個穩(wěn)定的系統(tǒng)定義為，在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩(wěn)定，又簡稱為BIBO穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散三種35線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面內(nèi)的位置來確定。設(shè)單輸入單輸出線性系統(tǒng)的微分方程為，即(3.58)則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由上式左端決定，或者說系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式(3.59)

來分析。這時，在任何初始條件下，若滿足

(3.60)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面內(nèi)36則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。為了決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可求出式(3.59)的解。由數(shù)學(xué)分析知道，式(3.59)的特征方程式為(3.61)設(shè)上式有k個實(shí)根-pi（i=1，2，…，k），r對共軛復(fù)數(shù)根(-σj±jwj)(j=1，2，…，r)，k+2r=n，則齊次方程式(3.59)解的一般式為(3.62)式中系數(shù)Aj，Bj和Cj由初始條件決定。從式(3.62)可知：(1)若-pi<0，-sj<0（即極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部），則式(3.60)成立，系統(tǒng)最終能恢復(fù)至平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。37(3)若-pi或-sj中有一個或一個以上是正數(shù)，則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，c(t)將發(fā)散，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(4)只要-pi中有一個為零，或-sj中有一個為零（即有一對虛根），則式(3.60)不滿足。當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)輸出或者為一常值，或者為等幅振蕩，不能恢復(fù)原平衡狀態(tài)，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)?？偨Y(jié)上述，可以得出如下結(jié)論：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的所有特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)，或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分?；蛩乃刑卣鞲?，均在S平面面的左半部分（見圖3-32）。圖3-32根平面(3)若-pi或-sj中有一個或38勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)課件39表3.4列舉了幾個簡單系統(tǒng)穩(wěn)定性的例子。需要指出的是，對于線性定常系統(tǒng)，由于系統(tǒng)特征方程根是由特征方程的結(jié)構(gòu)（即方程的階數(shù)）和系數(shù)決定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號和初始條件無關(guān)，僅由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定。如果系統(tǒng)中每個部分都可用線性定常微分方程描述，那么，當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定時，它在大偏差情況下也是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)中有的元件或裝置是非線性的，但經(jīng)線性化處理后可用線性化方程來描述，則當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，我們只能說這個系統(tǒng)在小偏差情況下是穩(wěn)定的，而在大偏差時不能保證系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的根。但求解高階特征方程的根是相當(dāng)麻煩的，往往需要求助于計(jì)算機(jī)。實(shí)際上，我們只希望了解特征方程的根在S平面上分布情況。所以，人們就希望能在不求解特征方程的情況下，來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面就介紹常用的勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)。表3.4列舉了幾個簡單系統(tǒng)穩(wěn)定性的例40

二、勞斯判據(jù)(一)系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(3.63)式中所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且an>0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)。證明如下：設(shè)式(3.63)有n個根，其中k個實(shí)根-pj(j=1，2，…，k)，r對復(fù)根-si±jwi(i=1，2，…，r)，n=k+2r。則特征方程式可寫為二、勞斯判據(jù)41

假如所有的根均在左半平面，即-pj<0，-si<0，則pj>0，si

>0。所以將各因子項(xiàng)相乘展開后，式（3.63）的所有系數(shù)都是正數(shù)。根據(jù)這一原則，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，首先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都為正數(shù)，假如有任一系數(shù)為負(fù)數(shù)或等于零（缺項(xiàng)），則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。但是，假若特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，并不能肯定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還要做進(jìn)一步的判別。因?yàn)樯鲜鏊f的原則只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件，而不是充分必要條件。

42

(二)勞斯判據(jù)

這是1877年由勞斯(Routh)提出的代數(shù)判據(jù)。1.若系統(tǒng)特征方程式設(shè)an>0，各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。2.按特征方程的系數(shù)列寫勞斯陣列表：(二)勞斯判據(jù)43表中直至其余bi項(xiàng)均為零。表中44

按此規(guī)律一直計(jì)算到n-1行為止。在計(jì)算過程中，為了簡化數(shù)值運(yùn)算，可將某一行中的各系數(shù)均乘一個正數(shù)，不會影響穩(wěn)定性結(jié)論。3.考察陣列表第一列元素的符號。假若勞斯陣列表中第一列所有元素均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于S平面的左半平面。假若第一列元數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列元素的符號的變化次數(shù)等于系統(tǒng)在S平面右半平面上的根的個數(shù)。例3.3系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下按此規(guī)律一直計(jì)算到n-1行為止。在計(jì)算過程中45

1126611061/66

455/6106第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實(shí)上，從因式分解可將特征方程寫為其根為-2，-3，，均具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0

146例3.3系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下

s4135

s3

240

s2

15

s1-60

s0

5

第一列系數(shù)有兩次變號（+1到-6，-6到+5），故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實(shí)部的根。例3.3系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)47例3.4已知系統(tǒng)特征方程式為解列寫勞斯陣列表

s5125S4316

s3

59（各系數(shù)均已乘3）S2

-1115（各系數(shù)均已乘5/2）S1

174（各系數(shù)均已乘11）

s0

15勞斯陣列表第一列有負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列元素的符號改變了兩次(5→－11→174)，所以，系統(tǒng)有兩個具有正實(shí)部的根。例3.4已知系統(tǒng)特征方程式為484.兩種特殊情況在勞斯陣列表的計(jì)算過程中，如果出現(xiàn)：(1)勞斯表中某行的第一列的元素為零，其余各列系數(shù)不為零（或沒有其余項(xiàng)），或不全為零，這時可用一個很小的正數(shù)e來代替這個零，從而使勞斯陣列表可以繼續(xù)運(yùn)算下去（否則下一行將出現(xiàn)∞）。第一列零元素的存在（其他元素為正），則說明系統(tǒng)特征方程有一對虛根，系統(tǒng)處干臨界狀態(tài)；如果第一列元素存在符號變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定根的個數(shù)由符號變化次數(shù)決定。例3.5設(shè)系統(tǒng)特征方程為s3+2s2+s+2=04.兩種特殊情況s3+2s2+s+49解勞斯陣列表為由于e的上下兩個系數(shù)(2和2)符號相同，則說明有一對虛根存在。上述特征方程可因式分解為例3.5設(shè)系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為s313s2

ε2s1（3ε-2）/ε<0s02S3

11S222S1

εS0

2s3+3s+2=0解勞斯陣列表為50(2)若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，則說明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對稱的根。在這種情況下可做如下處理：a.利用第k－1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，它的次數(shù)總是偶數(shù)的；(2)若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，51

b.求輔助多項(xiàng)式對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替第k行；c.繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表；d.令輔助多項(xiàng)式等于零可求得關(guān)于原點(diǎn)對稱的根。例3.6系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為s3116S210160輔助多項(xiàng)式10s2+160S1

00↓求導(dǎo)數(shù)

200構(gòu)成新行20s+0s0160b.求輔助多項(xiàng)式對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替第k行；52從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號，所以沒有特征根位于右半平面。由輔助多項(xiàng)式10s2+

160

=

0，求得一對共軛虛根為±j4。

例3.7系統(tǒng)特征方程式為解勞斯陣列表如下：

s513-4

s4

26-8輔助多項(xiàng)式2s4+

6s2-

8

s3

000↓求導(dǎo)數(shù)

8120構(gòu)成新行8s3+

12s

s23-8

s1

100/3s0

-8從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號，所以沒有特征53勞斯陣列表第一列變號一次，故有一個根在右半平面。由輔助多項(xiàng)式：可得s1,2=±１，s3,4=±j2，它們均關(guān)于原點(diǎn)對稱，其中一個根在S平面的右半平面。(三)勞斯判據(jù)的應(yīng)用應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且也可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2s4+

6s2-

8

=

0