工程流體力學(xué)第二章課件

第二章流體靜力學(xué)第二章流體靜力學(xué)

本章任務(wù)：研究流體處于靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布規(guī)律及其應(yīng)用。內(nèi)容包括：一、作用在流體上的力二、流體微分平衡方程三、流體靜力學(xué)基本關(guān)系式四、液柱式測壓計(jì)五、液體的相對平衡六、靜止流體對壁面的作用力本章任務(wù)：研究流體處于靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布

一、作用在流體上的力

OZYX

dA1表面力（接觸力、面積力）

在靜止流體中，切應(yīng)力τ≡0壓強(qiáng)/法向壓應(yīng)力：切應(yīng)力τ：作用在流體上的力由表面力和質(zhì)量力兩種

一、作用在流體上的力OZYXdA1表面力（接觸力、2質(zhì)量力(體積力、非接觸力）均勻作用于流體質(zhì)點(diǎn)、大小與流體的質(zhì)量成正比的力，如：重力、慣性力、電磁力等等。其中，fx、fy、fz為單位質(zhì)量流體受到的體積力在x、y、z方向的分量。單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為：2質(zhì)量力(體積力、非接觸力）均勻作用于流體質(zhì)點(diǎn)、大小與

3流體靜壓強(qiáng)的特點(diǎn)(1)特點(diǎn)一:流體靜壓強(qiáng)引起的作用力總是垂直于作用面，且指向作用面的內(nèi)法線方向。abpdApdA3流體靜壓強(qiáng)的特點(diǎn)(1)特點(diǎn)一:流體靜壓強(qiáng)引起的作用力(2)特點(diǎn)二：流體內(nèi)部一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向相等，即靜壓強(qiáng)為標(biāo)量。xyoabG由于流體處于靜止：所以：取微元體、受力到如圖故得證(2)特點(diǎn)二：流體內(nèi)部一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向相等，即靜壓強(qiáng)微元體分析法的步驟：

1取合適的微元體

2受力分析

3建立方程yXCZPzPxPyPnBAodydzdx三維微元體微元體分析法的步驟：yXCZPzPxPyPnBAodyd

二、流體平衡微分方程

xz(鉛垂方向)xzdxdzdyfxfzfyyy1歐拉平衡方程1755年Euler二、流體平衡微分方程xz(鉛垂方向)xzdxdzdy即：靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)梯度僅與體積力有關(guān)，該方程表明了靜止流體在質(zhì)量力和表面力作用下保持平衡的條件。根據(jù)牛頓第二定理:類似地：流體平衡微分方程1755年歐拉Euler推出即：靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)梯度僅與體積力有關(guān)，該方程表明了靜止流體歐拉微分方程的矢量形式：靜止流體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的壓力差公式：

dp=(fxdx+fydy+fzdz)2、質(zhì)量力勢函數(shù)若流體均勻不可壓，有=常數(shù)，那么：

d（p/）=(fxdx+fydy+fzdz)=d(-π）歐拉微分方程的矢量形式：靜止流體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的壓力差公

可見：函數(shù)（-π）在各方向的偏導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)量力在此方向的分量，我們稱π為質(zhì)量力的勢函數(shù)，該函數(shù)反映了單位質(zhì)量流體具有的勢能。

其中：在重力場作用下的均勻不可壓靜止流體：π=gz可見：函數(shù)（-π）在各方向的偏導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)量力在此方向的

等壓面方程為：

fxdx+fydy+fzdz=0等壓面就是等勢面質(zhì)量力與等壓面處處垂直等壓面3、等壓面由流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面。zgz=const等壓面方程為：等壓面就是等勢面質(zhì)量力與

三、流體靜力學(xué)基本方程（重力場條件下）

--流體靜力學(xué)基本方程如果流體不可壓、均質(zhì)，那么：

∵fx=fy=0fz=-g

∴

dp/dz=-ρg

1流體靜力學(xué)基本方程三、流體靜力學(xué)基本方程（重力場條件下）--流體靜力學(xué)基本方應(yīng)用條件：流體靜止、均質(zhì)、不可壓1h2oo’z酒精水p應(yīng)用條件：流體靜止、均質(zhì)、不可壓1h2oo’z酒精水p

p/ρg：單位重量流體的壓強(qiáng)勢能，壓強(qiáng)能頭/壓強(qiáng)水頭z：單位重量流體具有的位置勢能，位置能頭p/ρg+z：單位重量流體具有的總勢能，叫靜能水頭/測管水頭流體靜力學(xué)基本公式表明：重力場作用下靜止不可壓均質(zhì)流體中單位重量流體所具有的總勢能不變—靜止流體中的能量守恒定理。p/ρg：單位重量流體的壓強(qiáng)勢能，壓強(qiáng)能頭/壓強(qiáng)水頭z問題：采用高位水箱供水時(shí)，水箱的安裝位置應(yīng)滿足什么要求？po2z2p1/gz1p2/g1總能線z基準(zhǔn)面問題：采用高位水箱供水時(shí)，水箱的安裝位置應(yīng)滿足什么要求？po

2帕斯卡原理基準(zhǔn)面

封閉容器p0z1H1zhPascal原理：液體可以將液面壓強(qiáng)等值地傳遞到液體各處—Pascal原理。

應(yīng)用：液壓傳動(dòng)、千斤頂可見，液體內(nèi)的壓強(qiáng)與液面下的淹沒深度h成正比。2帕斯卡原理基準(zhǔn)面封閉容器p0z1H1zh當(dāng)踩下制動(dòng)踏板時(shí)，在踏板處通過杠桿原理把制動(dòng)力放大了3倍，再通過液壓機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)活塞把制動(dòng)力又放大了3倍。放大以后的制動(dòng)力推動(dòng)活塞移動(dòng)，活塞推動(dòng)蹄片帶動(dòng)剎車卡鉗緊緊的夾住制動(dòng)碟，由蹄片與制動(dòng)碟產(chǎn)生的強(qiáng)大摩擦力，讓車減速。這就是簡單的制動(dòng)模型。通過它我們就可以理解制動(dòng)系統(tǒng)的基本原理了汽車制動(dòng)系統(tǒng)的模型當(dāng)踩下制動(dòng)踏板時(shí)，在踏板處通過杠桿原理把制動(dòng)力放大了3倍，再

3

絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)1點(diǎn)的絕對壓強(qiáng):1點(diǎn)的相對壓強(qiáng)（表壓強(qiáng)）:基準(zhǔn)面

敞口容器paz1H1zh真空度（pv）：表壓強(qiáng)為負(fù)時(shí)習(xí)慣用真空度來表示。真空度＝大氣壓強(qiáng)－絕對壓強(qiáng)pv=pa-p相對壓強(qiáng)＝絕對壓強(qiáng)－大氣壓強(qiáng)3絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)1點(diǎn)的絕對壓強(qiáng):1點(diǎn)的相對壓強(qiáng)（表相對壓強(qiáng)pg＝p-pa<0

絕對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)pg＝p-pa>0絕對壓強(qiáng)

絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度之間的關(guān)系相對壓強(qiáng)pg＝p-pa<0絕對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)pg＝p-phh玻璃管插在水中玻璃管插在水銀中問題：在(a)、(b)兩種情況下，問玻璃管內(nèi)自由液面液體側(cè)的相對壓強(qiáng)是大于零還是小于零？hh玻璃管插在水中玻璃管插在水銀中問題：在(a)、(b)兩種單位名稱單位符號

單位換算關(guān)系應(yīng)力單位法

帕

Pa1Pa=1N/m2液柱高度法

米水柱mH2O1mH2O=9.8103Pa液柱高度法毫米汞柱mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa工程大氣壓法1公斤力壓強(qiáng)Kg/cm21Kg/cm2=9.8104N/m2壓強(qiáng)度量：單位名稱單位符號單位換算關(guān)系應(yīng)力單位法帕

4

可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布（重力場下)

∵fx=fy=0fz=-g

∴

dp/dz=-ρg

確定密度沿高度z分布規(guī)律后，積分上式即可。4可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布（重力場下)∵fx=f

四、液柱式測壓計(jì)p2/gpo2p1/g1

大氣壓力計(jì)原理水銀大氣壓pah單管壓力計(jì)

U形管壓力計(jì)

微壓計(jì)

大氣壓力計(jì)h1Mh2ρ1paρ2A12U型管單管壓力計(jì)四、液柱式測壓計(jì)p2/gpo2p1/g1大氣壓力

1、U型液壓計(jì)

h1Mh2ρ1paρ2A12

pMg=ρ2gh2-ρ1gh1測點(diǎn)壓強(qiáng)大于大氣壓若ρ1ρ2，即被測介質(zhì)為氣體，U型管內(nèi)工作介質(zhì)為液體時(shí)，可以不及氣體介質(zhì)自重引起的壓強(qiáng)。那么：

pMg=ρ2gh21、U型液壓計(jì)h1Mh2ρ1pa測點(diǎn)壓強(qiáng)小于大氣壓h1Mh2ρ1paρ2A1’12

pMg=-ρ2gh2-ρ1gh1

若ρ1ρ2：pMg=-ρ2gh2關(guān)鍵：找到正確的等壓面；自一側(cè)開始，每次在同種流體里利用水平等壓面向另一側(cè)推進(jìn)。測點(diǎn)壓強(qiáng)小于大氣壓h1Mh2ρ1paρ2A1’12pρ2ρρ1ρ1pahh1h2h3h’2h’1

U型管串聯(lián)ρ2ρρ1ρ1pahh1h2h3h’2h’1U型管串聯(lián)0p1h1h2θp2aLAρss02、傾斜式微壓計(jì)

可見：θ減小，K增加，L加長，讀數(shù)誤差下降。0p1h1h2θp2aLAρss02、傾斜式微壓計(jì)例2-1：封閉水箱如圖示，測壓表讀數(shù)為5000Pa，h=1.6m,h1=0.6m,設(shè)水的相對密度s=1，水銀壓力計(jì)中水銀的相對密度s=13.6。問水液面上的真空度和Δh各為多少？(58頁）Δhh1hpA測壓表例2-1：封閉水箱如圖示，測壓表讀數(shù)為5000Pa，h=1zax五、液體的相對平衡zax五、液體的相對平衡

因?yàn)樘幱谙鄬ζ胶獾牧黧w中τ＝0，仍然有：dp=(fxdx+fydy+fzdz)同樣地：任意兩點(diǎn)間的壓力差為：因?yàn)樘幱谙鄬ζ胶獾牧黧w中τ＝0，仍然有：dp=(fxdaxzAgap01等加速度水平直線運(yùn)動(dòng)流體受到的質(zhì)量力為：

fx=-afy=0fz=-g在等壓面上：

dp=fxdx+fzdz=-adx-gdz=0所以有:

ax+gz=cont可見等壓面為一簇斜率為-a/g的平面。axzAgap01等加速度水平直線運(yùn)動(dòng)流體受到的質(zhì)量力自由液面方程：ax

+gzs=0壓強(qiáng)分布：式中h:液面下的淹沒深度，可見p也正比于h。Aaxzhzsp0自由液面方程：ax+gzs=0壓強(qiáng)分布：式中h:液（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面斜面與絕對靜止情況的比較axzhzszhggaf（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對

zaz0ρgz0ρgz0

(1+a/g)問題：充滿了液體的密閉容器中液體壓強(qiáng)分布與等壓面？問題：容器做等加速度鉛垂運(yùn)動(dòng)時(shí)液體壓強(qiáng)分布與等壓面？a

充滿了液體的密封容器通氣孔zaz0ρgz0ρgz0(1+a/g)問題：充滿了液體例2-2一開口容器固定在以等加速度a向右運(yùn)動(dòng)的汽車上，已知容器的高H1=1.2m,長L=3m,容器內(nèi)水深H=1m.求:(1)容器內(nèi)水不溢出的最大加速度a？（2）容器左壁面的壓力分布？axzALH1Hθ例2-2一開口容器固定在以等加速度a向右運(yùn)動(dòng)的汽車上，已知

2等角速度旋轉(zhuǎn)下流體的相對平衡yfrωrxfxfyxzh質(zhì)量力等壓面方程2等角速度旋轉(zhuǎn)下流體的相對平衡yfrωrxfxfyxzh自由液面方程壓強(qiáng)分布xzh同一r處的液面坐標(biāo)可見：圓柱面上流體靜力學(xué)關(guān)系式仍然成立。液面下的淹沒深度自由液面方程壓強(qiáng)分布xzh同一r處的液面坐標(biāo)可見：圓柱面xzH02RhHzb2RrΔh0R’

測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后液體體積保持不變xzH02RhHzb2RrΔh0R’測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后zRBp0(b)o例2－3：一繞自己中心軸線以ω等角速度旋轉(zhuǎn)的容器內(nèi)充滿了水。（a）如容器頂蓋的中心開一小孔通大氣，試確定頂蓋上的壓力分布。（b）若容器頂蓋的中心孔開在邊緣處，頂蓋上的壓力分布？zRBp0(a)ozRBp0(b)o例2－3：一繞自己中心軸線以ω等角速例2-4設(shè)內(nèi)裝水銀的U型管繞過D點(diǎn)的鉛垂線等角速度旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)角速度和D點(diǎn)的壓強(qiáng)。設(shè)水銀密度為13600kg/m3且不計(jì)液面變化帶來的影響。12cm20cm10cm5cm·Dωrz

關(guān)鍵：

1寫出所有的體積力

2根據(jù)壓力差公式寫出壓強(qiáng)

3根據(jù)已知點(diǎn)求待定參數(shù)例2-4設(shè)內(nèi)裝水銀的U型管繞過D點(diǎn)的鉛垂線等角速度旋轉(zhuǎn)，求美國海狼級：最大潛深1200米

俄羅斯鯊魚級：最大600米

俄羅斯奧斯卡級：潛深500米明級：潛深300米

基洛級:潛深最大300米，工作深度240米

“R”級常規(guī)動(dòng)力潛艇（033型）:潛深300米

國內(nèi)潛艇的下潛深度國外潛艇的下潛深度六、靜止流體作用在壁面上的力美國海狼級：最大潛深1200米

俄羅斯鯊魚級：最大600米潛水深度越大，水壓越大，潛艇殼體的抗壓要求越高！！潛艇殼體抗壓校核利用靜力學(xué)計(jì)算潛艇殼體受到的合力修正潛水深度越大，水壓越大，潛艇殼體的抗壓要求越高?。撏んw抗

型心dAxyx’ycyhcdFo1靜止流體作用在平面上的力型心dAxyx’ycyhcdFo1靜止流體作用在平面上

（1）力的大小:

F=∫ApdA=p0A+ρgsin∫AydA=(p0+ρghc)A=pcA

pc

型心上的壓強(qiáng)

hc

型心在水下的深度

A

平板面積靜止流體中平面受到的流體作用力等于平面質(zhì)心上的壓強(qiáng)與平板面積的乘積。（2）作用方向：與平板和靜止流體的相對位置有關(guān)，流體的作用力總是擠壓被作用面。（1）力的大小:（2）作用方向：與平板和靜止流體的相對位依據(jù)：物體受到的外合力對某點(diǎn)的力矩等于作用在該物體上的分力對同一點(diǎn)的力矩之和。（3）作用點(diǎn)/壓力中心壓力中心Fyd型心dAxyx’ycyhcdFo依據(jù)：物體受到的外合力對某點(diǎn)的力矩等于作用在該物體上的分力對作用點(diǎn)z在液面下的位置：

yd=yc+ρgsinJcx/(p0+ρgsinycA)

yd

作用點(diǎn)坐標(biāo)

Jcx

平板的慣性矩.為什么？問題：春秋《管子》指出堤坎的斷面應(yīng)修成“大其下，小其上”的形狀。為什么？作用點(diǎn)z在液面下的位置：為什么？問題：春秋《管子》指出堤坎的注意：由于大氣壓在絕大多數(shù)工程問題中的總作用效果為0，因此在計(jì)算靜止流體對物體的力時(shí)常常不計(jì)大氣壓強(qiáng)的影響，而用相對壓強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算，那么p0=0,相應(yīng)地：注意：由于大氣壓在絕大多數(shù)工程問題中的總作用效果為0，因此在clb矩形圓型cR常見幾何形狀的慣性矩（表2－2）cxcyc?圓clb矩形圓型cR常見幾何形狀的慣性矩（表2－2）cxcyc

例2-5設(shè)矩形閘門的寬為6米，長10米，鉸鏈到低水面的距離為4米。按圖示方式打開該閘門，求所需要的力R。ydLFLAB20m=60°17m鉸鏈RCy水水FRydR例2-5設(shè)矩形閘門的寬為6米，長10米，鉸鏈到低水面的例2-6：水深h=0.4m的直立壁上裝有d=0.6m的圓形短管，短管內(nèi)口為450的斜蓋板。假設(shè)蓋板可繞著上面的鉸鏈旋轉(zhuǎn)，如不計(jì)蓋板的重量和鉸鏈的摩擦力，求升起此蓋板在圖示位置和方向所需的力T。yo例2-6：水深h=0.4m的直立壁上裝有d=0.6m的圓形

問題：門AB的傾斜角為600，如圖示。已知油和水的深度分別為h1=1m、h2=2m，油的密度為ρ1=800Kg/m3。求單位寬度的門受到的流體作用的合力及其作用位置。F1F2F3h1h2水油AB600Cy問題：門AB的傾斜角為600，如圖示。已知油和水的深度分別

2、靜止流體作用在曲面上的力

(1)

水平力FXABFXFZCFACF’XCAB∵流體靜止∴F’X=FAC

∴FX=F’X2、靜止流體作用在曲面上的力ABFXFZCFACF’XCA

曲面受到的水平力大小等于該曲面在鉛垂面上的投影面（平板）受到的力，即：

FX=FAC=pcgAAC

yd=ycAC

+JCx/(ycA)AC

水平力的作用點(diǎn)計(jì)算與平板同水平力的方向FACF’XCAB曲面受到的水平力大小等于該曲面在鉛垂面上的投影面（平板

方法二:

FX=∫AdFx=∫ApdAcos=∫ApdAxdAx指微元曲面在鉛垂面上的投影面積。dAxdAzzxdF=pdAdFxdFZ方法二:dAx指微元曲面在鉛垂面上的投影面積。dA

(2)

垂直力FZBCB’C’GF’ZAFCBF’Z=G+FCB

=ρgVolABC+ρghBB’ACB=ρg(VolABC+VolBCB’C’)=ρgVolume FZ=F’Z

曲面受到垂直力的大小等于壓力體內(nèi)流體的重量，壓力體是由曲面、自由液面所在面和兩個(gè)空間面的鉛垂連接面圍成的空間。(2)垂直力FZBCB’C’GF’ZAFCBF’Z=G

方法2:FZ=∫AdFZ=∫ApdAsin=∫ApdAz

=∫AρghdAz=ρg∫AhdAz壓力體體積zxhdAzhdAzdF=pdAdFxdFzABdAxdAz方法2:FZ=∫AdFZ=∫ApdAsin=∫A

作用點(diǎn)：垂直力的作用點(diǎn)通過壓力體的型心方向：根據(jù)流體與作用面的相對位置而定(3)曲面受到的合力及作用點(diǎn)

合力：F=(FX*FX+FZ*FZ)0.5

方向角：tg-1(FZ/FX)

作用點(diǎn)：過水平力作用線和垂直力作用線的交點(diǎn)、斜率為FZ/FX的直線與曲面的交點(diǎn)即為合力作用點(diǎn)作用點(diǎn)：垂直力的作用點(diǎn)通過壓力體的型心(3)曲面受到的合zbaxFDD'FxFz先：確定水平分力Fx的作用線；最后：將F的作用線延長至受壓面，其交點(diǎn)D為合力的作用點(diǎn)。再次：根據(jù)Fx、Fz作用線交點(diǎn)及合力方向求合力作用線；次：確定鉛垂分力Fz的作用線；zbaxFDD'FxFz先：確定水平分力Fx的作用線；最后問題：三種容器底面受到的垂直力？

F(a)=ρgV1,

垂直向下F(b)=ρgV1,向上

F(c)=ρgV1,

向上cabhccabhccabhc(a)(b)(c)

問題：三種容器底面受到的垂直力？ F(a)=ρbcdapaAabApadccAbapadbapaAcdh靜力奇像問題：光滑水平的桌面上放置四個(gè)底面積相同形狀不同的容器，如圖所示。已知容器盛有相同高度的水，問哪個(gè)容器的底面受到的流體作用力大？哪個(gè)容器下的桌面受到的壓強(qiáng)最大？

bcdapaAabApadccAbapadbapaAc

H123問題：H123H123問題：H123受壓曲面（壓力體的底面）由受壓曲面邊界向自由液面或自由液面的延長面所作的鉛垂面（壓力體的側(cè)面）自由液面或自由液面的延長面（壓力體的頂面）xdcoba壓力體是由三種面圍成的體積受壓曲面（壓力體的底面）由受壓曲面邊界向自由液面或自由液面的壓力體的虛實(shí)性

壓力體僅表示數(shù)學(xué)上的一個(gè)體積分，與該體積內(nèi)是否有液體存在無關(guān)。根據(jù)壓力體是否有液體把壓力體分為實(shí)壓力體和虛壓力體兩種。實(shí)壓力體虛壓力體ABCACB復(fù)雜曲面的壓力體應(yīng)根據(jù)受力方向不同將曲面分割后再畫。壓力體的虛實(shí)性壓力體僅表示數(shù)學(xué)上的一個(gè)體積分，與該體(2)阿基米德浮力定律3、靜止流體作用在潛體上的力(1)潛體與浮體(3)潛體和浮體的穩(wěn)定性abCgf液體比重計(jì)(2)阿基米德浮力定律3、靜止流體作用在潛體上的力(1)

公元1066年，山西永濟(jì)縣的黃河段發(fā)大水把河邊拴浮橋的八只鎮(zhèn)水神牛沖走了，官府張榜招賢，請能把鐵牛從河底撈起來的賢人。和尚懷丙揭榜。他派水性好的人潛到水底，摸清鐵牛沉在了什么地方。又叫人把兩艘大木船并排拴在一起，船上裝滿泥沙。兩木船之間還用結(jié)實(shí)的木料搭了個(gè)架子。懷丙親自帶人把兩艘裝滿泥沙的木船劃到鐵牛沉沒的地方。又請熟悉水情的人帶著繩索潛到水底，用繩索把鐵牛綁牢。將繩索拉緊，把繩索的另一端捆在兩船之間的架子上。

準(zhǔn)備工作做好之后，懷丙命人把船上的泥沙扔到河里去，泥沙被一鏟一鏟地扔河里，大船慢慢地上升，終于把鐵牛從淤泥里拔了出來。懷丙又叫人把船劃到造浮橋的地方，兩艘大船拖著沒在水里的鐵牛?；氐搅怂鼈冊瓉淼奈恢谩Ｃ恐昏F牛重達(dá)上萬斤，懷丙為什么能把鐵牛從河底的淤泥中拔出來呢？

懷丙浮鐵牛公元1066年，山西永濟(jì)縣的黃河段發(fā)大水把河邊拴浮橋

例2-7直徑為2m、長為10m的圓柱體如圖放置在靜止的水中。求水作用在圓柱體受到的水平和垂直力及其作用點(diǎn)位置

2mABCDOFX1

FX2

FX水解:(1)水平力與作用位置例2-7直徑為2m、長為10m的圓柱體如圖放置在靜止的水

FZA’C’D’OFZ3′

FZ1′

FZ2′（2）垂直力FZnet及作用位置

FZ1

FZ2

ABCDO（3）合力對于本題，分布力為共點(diǎn)力系，故合力作用線一定通過圓中心。FZA’C’D’OFZ3′FZ1′FZ2′（2）垂直力2m水1m水CABDoCFX1FX2問題:與例2－7相比，此題有何不同？注意:左右兩側(cè)自由液面的不同2m水1m水CABDoCFX1FX2問題:與例2－7相比，此

例2-8已知壓力表讀數(shù)為70000pa,求作用在下圖所示的半圓形頂上力。p=70kN/m23m1mdia.水解法1:隔離體法GFz’由于流體平衡：Fz’=p1πr2-Gp1=p-ρg×3G=2ρgπr3/3其中：解：水平力：Fx=0垂直力：例2-8已知壓力表讀數(shù)為70000pa,求作用在下圖所解法2:虛擬自由液面法p=70kN/m23m1mdia.water虛擬自由液面所以：Fz=ρgVp解法2:虛擬自由液面法p=70kN/m23m1mdia.w方法3:壓強(qiáng)積分法rθp1方法3:壓強(qiáng)積分法rθp1Ho例2－9與水平自由液面成450的斜壁面上有一個(gè)半徑為R的半圓柱型型孔，如圖所示。（1）若圓柱長為R,試求半柱面所受的液體壓強(qiáng)合力的大小與方向。（2）若此孔為半球型孔，半球面受到的力又為多少呢？

水平力Fx垂直力FzHo例2－9與水平自由液面成450的斜壁面上有一個(gè)半徑為R1－7：習(xí)題1m3高壓泵δV1－10：已知條件：根據(jù)無滑移假設(shè)，壁面速度為0。1－7：習(xí)題1m3高壓泵δV1－10：已知條件：根據(jù)無滑移2－9：h1h2水銀121ABz2－9：h1h2水銀121ABz2－16：h1h0LΩ＝０h1h0hh’zΩ≠０2－16：h1h0LΩ＝０h1h0hh’zΩ≠０zax2－17：zax2－17：2－20：xHhF1F22－20：xHhF1F2rdh2－242－22rrdh2－242－22rh12-25h12-25第二章流體靜力學(xué)第二章流體靜力學(xué)

本章任務(wù)：研究流體處于靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布規(guī)律及其應(yīng)用。內(nèi)容包括：一、作用在流體上的力二、流體微分平衡方程三、流體靜力學(xué)基本關(guān)系式四、液柱式測壓計(jì)五、液體的相對平衡六、靜止流體對壁面的作用力本章任務(wù)：研究流體處于靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布

一、作用在流體上的力

OZYX

dA1表面力（接觸力、面積力）

在靜止流體中，切應(yīng)力τ≡0壓強(qiáng)/法向壓應(yīng)力：切應(yīng)力τ：作用在流體上的力由表面力和質(zhì)量力兩種

一、作用在流體上的力OZYXdA1表面力（接觸力、2質(zhì)量力(體積力、非接觸力）均勻作用于流體質(zhì)點(diǎn)、大小與流體的質(zhì)量成正比的力，如：重力、慣性力、電磁力等等。其中，fx、fy、fz為單位質(zhì)量流體受到的體積力在x、y、z方向的分量。單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力為：2質(zhì)量力(體積力、非接觸力）均勻作用于流體質(zhì)點(diǎn)、大小與

3流體靜壓強(qiáng)的特點(diǎn)(1)特點(diǎn)一:流體靜壓強(qiáng)引起的作用力總是垂直于作用面，且指向作用面的內(nèi)法線方向。abpdApdA3流體靜壓強(qiáng)的特點(diǎn)(1)特點(diǎn)一:流體靜壓強(qiáng)引起的作用力(2)特點(diǎn)二：流體內(nèi)部一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向相等，即靜壓強(qiáng)為標(biāo)量。xyoabG由于流體處于靜止：所以：取微元體、受力到如圖故得證(2)特點(diǎn)二：流體內(nèi)部一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)在各方向相等，即靜壓強(qiáng)微元體分析法的步驟：

1取合適的微元體

2受力分析

3建立方程yXCZPzPxPyPnBAodydzdx三維微元體微元體分析法的步驟：yXCZPzPxPyPnBAodyd

二、流體平衡微分方程

xz(鉛垂方向)xzdxdzdyfxfzfyyy1歐拉平衡方程1755年Euler二、流體平衡微分方程xz(鉛垂方向)xzdxdzdy即：靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)梯度僅與體積力有關(guān)，該方程表明了靜止流體在質(zhì)量力和表面力作用下保持平衡的條件。根據(jù)牛頓第二定理:類似地：流體平衡微分方程1755年歐拉Euler推出即：靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)梯度僅與體積力有關(guān)，該方程表明了靜止流體歐拉微分方程的矢量形式：靜止流體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的壓力差公式：

dp=(fxdx+fydy+fzdz)2、質(zhì)量力勢函數(shù)若流體均勻不可壓，有=常數(shù)，那么：

d（p/）=(fxdx+fydy+fzdz)=d(-π）歐拉微分方程的矢量形式：靜止流體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的壓力差公

可見：函數(shù)（-π）在各方向的偏導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)量力在此方向的分量，我們稱π為質(zhì)量力的勢函數(shù)，該函數(shù)反映了單位質(zhì)量流體具有的勢能。

其中：在重力場作用下的均勻不可壓靜止流體：π=gz可見：函數(shù)（-π）在各方向的偏導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)量力在此方向的

等壓面方程為：

fxdx+fydy+fzdz=0等壓面就是等勢面質(zhì)量力與等壓面處處垂直等壓面3、等壓面由流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)組成的面。zgz=const等壓面方程為：等壓面就是等勢面質(zhì)量力與

三、流體靜力學(xué)基本方程（重力場條件下）

--流體靜力學(xué)基本方程如果流體不可壓、均質(zhì)，那么：

∵fx=fy=0fz=-g

∴

dp/dz=-ρg

1流體靜力學(xué)基本方程三、流體靜力學(xué)基本方程（重力場條件下）--流體靜力學(xué)基本方應(yīng)用條件：流體靜止、均質(zhì)、不可壓1h2oo’z酒精水p應(yīng)用條件：流體靜止、均質(zhì)、不可壓1h2oo’z酒精水p

p/ρg：單位重量流體的壓強(qiáng)勢能，壓強(qiáng)能頭/壓強(qiáng)水頭z：單位重量流體具有的位置勢能，位置能頭p/ρg+z：單位重量流體具有的總勢能，叫靜能水頭/測管水頭流體靜力學(xué)基本公式表明：重力場作用下靜止不可壓均質(zhì)流體中單位重量流體所具有的總勢能不變—靜止流體中的能量守恒定理。p/ρg：單位重量流體的壓強(qiáng)勢能，壓強(qiáng)能頭/壓強(qiáng)水頭z問題：采用高位水箱供水時(shí)，水箱的安裝位置應(yīng)滿足什么要求？po2z2p1/gz1p2/g1總能線z基準(zhǔn)面問題：采用高位水箱供水時(shí)，水箱的安裝位置應(yīng)滿足什么要求？po

2帕斯卡原理基準(zhǔn)面

封閉容器p0z1H1zhPascal原理：液體可以將液面壓強(qiáng)等值地傳遞到液體各處—Pascal原理。

應(yīng)用：液壓傳動(dòng)、千斤頂可見，液體內(nèi)的壓強(qiáng)與液面下的淹沒深度h成正比。2帕斯卡原理基準(zhǔn)面封閉容器p0z1H1zh當(dāng)踩下制動(dòng)踏板時(shí)，在踏板處通過杠桿原理把制動(dòng)力放大了3倍，再通過液壓機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)活塞把制動(dòng)力又放大了3倍。放大以后的制動(dòng)力推動(dòng)活塞移動(dòng)，活塞推動(dòng)蹄片帶動(dòng)剎車卡鉗緊緊的夾住制動(dòng)碟，由蹄片與制動(dòng)碟產(chǎn)生的強(qiáng)大摩擦力，讓車減速。這就是簡單的制動(dòng)模型。通過它我們就可以理解制動(dòng)系統(tǒng)的基本原理了汽車制動(dòng)系統(tǒng)的模型當(dāng)踩下制動(dòng)踏板時(shí)，在踏板處通過杠桿原理把制動(dòng)力放大了3倍，再

3

絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)1點(diǎn)的絕對壓強(qiáng):1點(diǎn)的相對壓強(qiáng)（表壓強(qiáng)）:基準(zhǔn)面

敞口容器paz1H1zh真空度（pv）：表壓強(qiáng)為負(fù)時(shí)習(xí)慣用真空度來表示。真空度＝大氣壓強(qiáng)－絕對壓強(qiáng)pv=pa-p相對壓強(qiáng)＝絕對壓強(qiáng)－大氣壓強(qiáng)3絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)1點(diǎn)的絕對壓強(qiáng):1點(diǎn)的相對壓強(qiáng)（表相對壓強(qiáng)pg＝p-pa<0

絕對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)pg＝p-pa>0絕對壓強(qiáng)

絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度之間的關(guān)系相對壓強(qiáng)pg＝p-pa<0絕對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)pg＝p-phh玻璃管插在水中玻璃管插在水銀中問題：在(a)、(b)兩種情況下，問玻璃管內(nèi)自由液面液體側(cè)的相對壓強(qiáng)是大于零還是小于零？hh玻璃管插在水中玻璃管插在水銀中問題：在(a)、(b)兩種單位名稱單位符號

單位換算關(guān)系應(yīng)力單位法

帕

Pa1Pa=1N/m2液柱高度法

米水柱mH2O1mH2O=9.8103Pa液柱高度法毫米汞柱mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa工程大氣壓法1公斤力壓強(qiáng)Kg/cm21Kg/cm2=9.8104N/m2壓強(qiáng)度量：單位名稱單位符號單位換算關(guān)系應(yīng)力單位法帕

4

可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布（重力場下)

∵fx=fy=0fz=-g

∴

dp/dz=-ρg

確定密度沿高度z分布規(guī)律后，積分上式即可。4可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布（重力場下)∵fx=f

四、液柱式測壓計(jì)p2/gpo2p1/g1

大氣壓力計(jì)原理水銀大氣壓pah單管壓力計(jì)

U形管壓力計(jì)

微壓計(jì)

大氣壓力計(jì)h1Mh2ρ1paρ2A12U型管單管壓力計(jì)四、液柱式測壓計(jì)p2/gpo2p1/g1大氣壓力

1、U型液壓計(jì)

h1Mh2ρ1paρ2A12

pMg=ρ2gh2-ρ1gh1測點(diǎn)壓強(qiáng)大于大氣壓若ρ1ρ2，即被測介質(zhì)為氣體，U型管內(nèi)工作介質(zhì)為液體時(shí)，可以不及氣體介質(zhì)自重引起的壓強(qiáng)。那么：

pMg=ρ2gh21、U型液壓計(jì)h1Mh2ρ1pa測點(diǎn)壓強(qiáng)小于大氣壓h1Mh2ρ1paρ2A1’12

pMg=-ρ2gh2-ρ1gh1

若ρ1ρ2：pMg=-ρ2gh2關(guān)鍵：找到正確的等壓面；自一側(cè)開始，每次在同種流體里利用水平等壓面向另一側(cè)推進(jìn)。測點(diǎn)壓強(qiáng)小于大氣壓h1Mh2ρ1paρ2A1’12pρ2ρρ1ρ1pahh1h2h3h’2h’1

U型管串聯(lián)ρ2ρρ1ρ1pahh1h2h3h’2h’1U型管串聯(lián)0p1h1h2θp2aLAρss02、傾斜式微壓計(jì)

可見：θ減小，K增加，L加長，讀數(shù)誤差下降。0p1h1h2θp2aLAρss02、傾斜式微壓計(jì)例2-1：封閉水箱如圖示，測壓表讀數(shù)為5000Pa，h=1.6m,h1=0.6m,設(shè)水的相對密度s=1，水銀壓力計(jì)中水銀的相對密度s=13.6。問水液面上的真空度和Δh各為多少？(58頁）Δhh1hpA測壓表例2-1：封閉水箱如圖示，測壓表讀數(shù)為5000Pa，h=1zax五、液體的相對平衡zax五、液體的相對平衡

因?yàn)樘幱谙鄬ζ胶獾牧黧w中τ＝0，仍然有：dp=(fxdx+fydy+fzdz)同樣地：任意兩點(diǎn)間的壓力差為：因?yàn)樘幱谙鄬ζ胶獾牧黧w中τ＝0，仍然有：dp=(fxdaxzAgap01等加速度水平直線運(yùn)動(dòng)流體受到的質(zhì)量力為：

fx=-afy=0fz=-g在等壓面上：

dp=fxdx+fzdz=-adx-gdz=0所以有:

ax+gz=cont可見等壓面為一簇斜率為-a/g的平面。axzAgap01等加速度水平直線運(yùn)動(dòng)流體受到的質(zhì)量力自由液面方程：ax

+gzs=0壓強(qiáng)分布：式中h:液面下的淹沒深度，可見p也正比于h。Aaxzhzsp0自由液面方程：ax+gzs=0壓強(qiáng)分布：式中h:液（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面斜面與絕對靜止情況的比較axzhzszhggaf（2）壓強(qiáng)分布（1）等壓面絕對靜止：相對靜止：絕對靜止：相對

zaz0ρgz0ρgz0

(1+a/g)問題：充滿了液體的密閉容器中液體壓強(qiáng)分布與等壓面？問題：容器做等加速度鉛垂運(yùn)動(dòng)時(shí)液體壓強(qiáng)分布與等壓面？a

充滿了液體的密封容器通氣孔zaz0ρgz0ρgz0(1+a/g)問題：充滿了液體例2-2一開口容器固定在以等加速度a向右運(yùn)動(dòng)的汽車上，已知容器的高H1=1.2m,長L=3m,容器內(nèi)水深H=1m.求:(1)容器內(nèi)水不溢出的最大加速度a？（2）容器左壁面的壓力分布？axzALH1Hθ例2-2一開口容器固定在以等加速度a向右運(yùn)動(dòng)的汽車上，已知

2等角速度旋轉(zhuǎn)下流體的相對平衡yfrωrxfxfyxzh質(zhì)量力等壓面方程2等角速度旋轉(zhuǎn)下流體的相對平衡yfrωrxfxfyxzh自由液面方程壓強(qiáng)分布xzh同一r處的液面坐標(biāo)可見：圓柱面上流體靜力學(xué)關(guān)系式仍然成立。液面下的淹沒深度自由液面方程壓強(qiáng)分布xzh同一r處的液面坐標(biāo)可見：圓柱面xzH02RhHzb2RrΔh0R’

測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后液體體積保持不變xzH02RhHzb2RrΔh0R’測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后zRBp0(b)o例2－3：一繞自己中心軸線以ω等角速度旋轉(zhuǎn)的容器內(nèi)充滿了水。（a）如容器頂蓋的中心開一小孔通大氣，試確定頂蓋上的壓力分布。（b）若容器頂蓋的中心孔開在邊緣處，頂蓋上的壓力分布？zRBp0(a)ozRBp0(b)o例2－3：一繞自己中心軸線以ω等角速例2-4設(shè)內(nèi)裝水銀的U型管繞過D點(diǎn)的鉛垂線等角速度旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)角速度和D點(diǎn)的壓強(qiáng)。設(shè)水銀密度為13600kg/m3且不計(jì)液面變化帶來的影響。12cm20cm10cm5cm·Dωrz

關(guān)鍵：

1寫出所有的體積力

2根據(jù)壓力差公式寫出壓強(qiáng)

3根據(jù)已知點(diǎn)求待定參數(shù)例2-4設(shè)內(nèi)裝水銀的U型管繞過D點(diǎn)的鉛垂線等角速度旋轉(zhuǎn)，求美國海狼級：最大潛深1200米

俄羅斯鯊魚級：最大600米

俄羅斯奧斯卡級：潛深500米明級：潛深300米

基洛級:潛深最大300米，工作深度240米

“R”級常規(guī)動(dòng)力潛艇（033型）:潛深300米

國內(nèi)潛艇的下潛深度國外潛艇的下潛深度六、靜止流體作用在壁面上的力美國海狼級：最大潛深1200米

俄羅斯鯊魚級：最大600米潛水深度越大，水壓越大，潛艇殼體的抗壓要求越高??！潛艇殼體抗壓校核利用靜力學(xué)計(jì)算潛艇殼體受到的合力修正潛水深度越大，水壓越大，潛艇殼體的抗壓要求越高！！潛艇殼體抗

型心dAxyx’ycyhcdFo1靜止流體作用在平面上的力型心dAxyx’ycyhcdFo1靜止流體作用在平面上

（1）力的大小:

F=∫ApdA=p0A+ρgsin∫AydA=(p0+ρghc)A=pcA

pc

型心上的壓強(qiáng)

hc

型心在水下的深度

A

平板面積靜止流體中平面受到的流體作用力等于平面質(zhì)心上的壓強(qiáng)與平板面積的乘積。（2）作用方向：與平板和靜止流體的相對位置有關(guān)，流體的作用力總是擠壓被作用面。（1）力的大小:（2）作用方向：與平板和靜止流體的相對位依據(jù)：物體受到的外合力對某點(diǎn)的力矩等于作用在該物體上的分力對同一點(diǎn)的力矩之和。（3）作用點(diǎn)/壓力中心壓力中心Fyd型心dAxyx’ycyhcdFo依據(jù)：物體受到的外合力對某點(diǎn)的力矩等于作用在該物體上的分力對作用點(diǎn)z在液面下的位置：

yd=yc+ρgsinJcx/(p0+ρgsinycA)

yd

作用點(diǎn)坐標(biāo)

Jcx

平板的慣性矩.為什么？問題：春秋《管子》指出堤坎的斷面應(yīng)修成“大其下，小其上”的形狀。為什么？作用點(diǎn)z在液面下的位置：為什么？問題：春秋《管子》指出堤坎的注意：由于大氣壓在絕大多數(shù)工程問題中的總作用效果為0，因此在計(jì)算靜止流體對物體的力時(shí)常常不計(jì)大氣壓強(qiáng)的影響，而用相對壓強(qiáng)進(jìn)行計(jì)算，那么p0=0,相應(yīng)地：注意：由于大氣壓在絕大多數(shù)工程問題中的總作用效果為0，因此在clb矩形圓型cR常見幾何形狀的慣性矩（表2－2）cxcyc?圓clb矩形圓型cR常見幾何形狀的慣性矩（表2－2）cxcyc

例2-5設(shè)矩形閘門的寬為6米，長10米，鉸鏈到低水面的距離為4米。按圖示方式打開該閘門，求所需要的力R。ydLFLAB20m=60°17m鉸鏈RCy水水FRydR例2-5設(shè)矩形閘門的寬為6米，長10米，鉸鏈到低水面的例2-6：水深h=0.4m的直立壁上裝有d=0.6m的圓形短管，短管內(nèi)口為450的斜蓋板。假設(shè)蓋板可繞著上面的鉸鏈旋轉(zhuǎn)，如不計(jì)蓋板的重量和鉸鏈的摩擦力，求升起此蓋板在圖示位置和方向所需的力T。yo例2-6：水深h=0.4m的直立壁上裝有d=0.6m的圓形

問題：門AB的傾斜角為600，如圖示。已知油和水的深度分別為h1=1m、h2=2m，油的密度為ρ1=800Kg/m3。求單位寬度的門受到的流體作用的合力及其作用位置。F1F2F3h1h2水油AB600Cy問題：門AB的傾斜角為600，如圖示。已知油和水的深度分別

2、靜止流體作用在曲面上的力

(1)

水平力FXABFXFZCFACF’XCAB∵流體靜止∴F’X=FAC

∴FX=F’X2、靜止流體作用在曲面上的力ABFXFZCFACF’XCA

曲面受到的水平力大小等于該曲面在鉛垂面上的投影面（平板）受到的力，即：

FX=FAC=pcgAAC

yd=ycAC

+JCx/(ycA)AC

水平力的作用點(diǎn)計(jì)算與平板同水平力的方向FACF’XCAB曲面受到的水平力大小等于該曲面在鉛垂面上的投影面（平板

方法二:

FX=∫AdFx=∫ApdAcos=∫ApdAxdAx指微元曲面在鉛垂面上的投影面積。dAxdAzzxdF=pdAdFxdFZ方法二:dAx指微元曲面在鉛垂面上的投影面積。dA

(2)

垂直力FZBCB’C’GF’ZAFCBF’Z=G+FCB

=ρgVolABC+ρghBB’ACB=ρg(VolABC+VolBCB’C’)=ρgVolume FZ=F’Z

曲面受到垂直力的大小等于壓力體內(nèi)流體的重量，壓力體是由曲面、自由液面所在面和兩個(gè)空間面的鉛垂連接面圍成的空間。(2)垂直力FZBCB’C’GF’ZAFCBF’Z=G

方法2:FZ=∫AdFZ=∫ApdAsin=∫ApdAz

=∫AρghdAz=ρg∫AhdAz壓力體體積zxhdAzhdAzdF=pdAdFxdFzABdAxdAz方法2:FZ=∫AdFZ=∫ApdAsin=∫A

作用點(diǎn)：垂直力的作用點(diǎn)通過壓力體的型心方向：根據(jù)流體與作用面的相對位置而定(3)曲面受到的合力及作用點(diǎn)

合力：F=(FX*FX+FZ*FZ)0.5

方向角：tg-1(FZ/FX)

作用點(diǎn)：過水平力作用線和垂直力作用線的交點(diǎn)、斜率為FZ/FX的直線與曲面的交點(diǎn)即為合力作用點(diǎn)作用點(diǎn)：垂直力的作用點(diǎn)通過壓力體的型心(3)曲面受到的合zbaxFDD'FxFz先：確定水平分力Fx的作用線；最后：將F的作用線延長至受壓面，其交點(diǎn)D為合力的作用點(diǎn)。再次：根據(jù)Fx、Fz作用線交點(diǎn)及合力方向求合力作用線；次：確定鉛垂分力Fz的作用線；zbaxFDD'FxFz先：確定水平分力Fx的作用線；最后問題：三種容器底面受到的垂直力？

F(a)=ρgV1,

垂直向下F(b)=ρgV1,向上

F(c)=ρgV1,

向上cabhccabhccabhc(a)(b)(c)

問題：三種容器底面受到的垂直力？ F(a)=ρbcdapaAabApadccAbapadbapa