2017年數(shù)學(xué)建模講座文件05第5講圖論模型

5講： 5.1.15.1—個(gè)非賦權(quán)圖是由點(diǎn)集V{v1v2,,vn}V中元素的無(wú)序?qū)Φ囊粋€(gè)集合E{e1e2,em所的二元組，記為GVE，V中的元素vi叫做頂點(diǎn)，5講： 5.1.15.1—個(gè)非賦權(quán)圖是由點(diǎn)集V{v1v2,,vn}V中元素的無(wú)序?qū)Φ囊粋€(gè)集合E{e1e2,em所的二元組，記為GVE，V中的元素vi叫做頂點(diǎn)，E中的元素ek叫5.2賦權(quán)圖（網(wǎng)絡(luò)）G是一個(gè)三元組，記為GVE,W，其中Vv1,,vn為頂點(diǎn)集合，E為邊的集合，W(wij)nn為鄰接矩陣（或權(quán)重矩陣，其中頂點(diǎn)v與v之間邊的權(quán)重 (vi,vj) w或vi與vj之間無(wú)邊時(shí)注5.1 重可以取為0或。 定義 DDVA，其中VA為?。◣Ъ^的邊）定義 DDVA,W，其中V?。◣Ъ^的邊）Wwij)nnvnA頂點(diǎn)vv的弧的權(quán)重當(dāng)vv 當(dāng)vivj無(wú)弧時(shí)w或當(dāng)G（D）w 在。在在另外要注意，在數(shù)學(xué)上按照鄰接矩陣的定義式(11 例 690340230854480674A4v12 例 690340230854480674A4v1289435.1賦權(quán)無(wú)向用clc,);%a(1,[2:5])=[9247a(2,[34])=[34a(3,[45])=[84];a=a';b=sparse(a) set(h,'LayoutType','equilibrium');%設(shè)置屬性:圖形的布局是平衡的view(h)%顯示圖形101110110000000010001001A1用v15.2非賦權(quán)有向clc,cleara(1,[23])=1;a(2,3)=1;a(3,[2a(4,[26])=1;a(5,[246])=1; view(h)%顯示圖形令2 5.3.1prim構(gòu)造連通賦權(quán)圖GVE,WP和Q,P用于存放G的最小生成樹(shù)中的頂點(diǎn)，集合 5.3.1prim構(gòu)造連通賦權(quán)圖GVE,WP和Q,P用于存放G的最小生成樹(shù)中的頂點(diǎn)，集合Q存放GPPv1}（從所有pPvVP的邊中，選取具有最小權(quán)值的邊pv，將頂點(diǎn)v加入P中，將邊pv加入集合QPV時(shí)，最小生成樹(shù)構(gòu)造完畢，這時(shí)集合Q中包prim（1）P{v1}，Q（2）whileP~pvpPvVPPP{pv}選e1E，使得e1若e1,e2 ,ei已選好，則從E{e1,e2 ,ei}中選取ei1，使 eiei1} （3）直到選得e|V|15.3.2例 一個(gè)鄉(xiāng)有9個(gè)自然村，其間道路及各道路長(zhǎng)度如圖5.3所示，各邊上的數(shù)字3p找無(wú)向圖的連通分支，或有向圖的強(qiáng)（弱）111 v34325.3連通圖及對(duì)應(yīng)的最小生成Kruskal算法求解。先將邊按大小順序由小至大排(v0,v2)1，(v2,v3v34325.3連通圖及對(duì)應(yīng)的最小生成Kruskal算法求解。先將邊按大小順序由小至大排(v0,v2)1，(v2,v3)1，(v3,v4)1，(v1,v8)1，(v0,v1)2，(v4,v5)5圈，所以排除。選e8v6v7由于下一個(gè)未選邊中的最小權(quán)邊(v0v3與已選邊e15.4，就是圖G13v3432生成的最小生成求最小生成樹(shù)的Kruskal程序如下（v0v1, v8分別clc,clear ,9a(1,[2:9])=[2134425a(2,[39])=[41];a(3,4)=1;a(5,6)=5;a(6,7)=2;a(7,8)=3; % b=graphminspantree(a,'Method','Kruskal')%注意要寫(xiě)Kruskal算法，否則使用Prim算法 LINGO軟件來(lái)求解這類(lèi)問(wèn)題。頂點(diǎn)v1表示樹(shù)根，總共有n個(gè)頂點(diǎn)。頂點(diǎn)vi到頂點(diǎn)vj邊的權(quán)重用wij表示，當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)之間沒(méi)有邊時(shí)，對(duì)應(yīng)的權(quán)重用M（充分大的實(shí)數(shù)）表示，這里wiiM,i1,2, ,n。引入01變當(dāng)從vi到vj的邊在樹(shù)中x 4nzwijxiji1j4根v1x1jjnnnzwijxiji1j4根v1x1jjnnxijj ,i以上兩約束條件是必要的，但不是充分的，需要增加一組變量ujj1（3）限制uju10,1uin1,i ,nujukxkj(n2)(1xkj)(n3)xjk,k綜上所述，最小生成樹(shù)問(wèn)題的01整數(shù)規(guī)劃模型如下n,n,j,zwijxiji1jnx1jnxijj ,is.t.u10,1uin1,i2, ,ux(n2)(1x)(n3)x,k,n,j , x0或1，i,j1, ,5.4（5.3）利用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型(4)，(5)LINGO軟件求解5.3求最小生成樹(shù)的LINGO程序如下（用LINGO計(jì)算時(shí)，頂點(diǎn)v0,v1 ,v8分 ,9 w(1,2)=2;w(1,3)=1;w(1,4)=3;w(1,5)=4;w(1,6)=4;w(1,8)=5;w(1,9)=4;w(2,3)=4;w(2,9)=1;w(3,4)=1;w(4,5)=1;w(5,6)=5;w(6,7)=2;w(7,8)=3;w(8,9)=5;為5@for(vertex(i)|i#ge#2:u(i)>=1;u(i)<=n-1);@for(vertex(k):@for(vertex(j)|j#ge#2: 求最短路的算法有DijkstraFloydDijkstra標(biāo)號(hào)算法只適用 Dijkstra給定賦權(quán)圖G(V,E,W)，其中V@for(vertex(i)|i#ge#2:u(i)>=1;u(i)<=n-1);@for(vertex(k):@for(vertex(j)|j#ge#2: 求最短路的算法有DijkstraFloydDijkstra標(biāo)號(hào)算法只適用 Dijkstra給定賦權(quán)圖G(V,E,W)，其中V ,vn}為頂點(diǎn)集合，E為邊的集合，鄰接矩Wwij)nn，求頂點(diǎn)u0到v0的最短距離d(u0v0。記l(vi表示頂點(diǎn)vi（1）令l(u0)0，對(duì)vu0，令l(v)S0u0}i0（2）對(duì)每個(gè)vSi（SiVSimin{l(v),l(u)代替l(vw(uv表示頂點(diǎn)u和v之間邊的權(quán)值。計(jì)算min{l(v個(gè)頂點(diǎn)記為ui1（3）若in1或v0Si，算法終止；否則，用i1代替i，轉(zhuǎn)（2 Floyd對(duì)于賦權(quán)圖GVEA0，其中頂點(diǎn)集Vv1vna1naa2nA0aannn權(quán)值v與v之間有邊時(shí) a（ij ,n對(duì)于無(wú)向圖，A0是對(duì)稱矩陣，aijaji，i,j1, ,nFloyd ,Ak ,An，其中矩陣Ak的第i行jAk(i,j)vi到頂點(diǎn)vjk的最短路徑長(zhǎng)Ak(i,j)min(Ak1(i,j),Ak1(i,k)Ak1(k,j))ki,jk1n最后，當(dāng)knAn5.5（5.1）5.1（1）求頂點(diǎn)v1到頂點(diǎn)v56短路（2）求頂點(diǎn)v2到所有頂點(diǎn)的最短距離clc,短路（2）求頂點(diǎn)v2到所有頂點(diǎn)的最短距離clc,);%a(1,[2:5])=[9247a(2,[34])=[34a(3,[45])=[84];a=a';b=sparse(a) [d1,path1]=graphshortestpath(b,1,5,'Directed',0)Directed0false%下面標(biāo)識(shí)出頂點(diǎn)1到5的最短路徑 set(h,'LayoutType','equilibrium');%設(shè)置屬性:圖形的布局是平衡的set(h.Nodes(path1),'Color',[10.40.4])fowEdges=getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path1),'ID'));revEdges=getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(fliplr(path1)),'ID'));edges=[fowEdges;revEdges];set(edges,'LineColor',[100])view(h)畫(huà)出最短路徑的圖形[d2,path2]=graphshortestpath(b,2,[1:5],'Directed',0)2都所有頂點(diǎn)的最短距離求得的從v1到v56，最短路徑是v1v3v5。5.6（5.2）在例5.2所示的有向圖中，求v2到v4clc,cleara(1,[23])=1;a(2,3)=1;a(3,[2a(4,[26])=1;a(5,[246])=1; %默認(rèn)為有向圖，不需設(shè)置Directed屬性 set(h,'LayoutType','equilibrium');%設(shè)置屬性:圖形的布局是平衡的set(h.Nodes(path),'Color',[10.40.4])edges=getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID'));set(edges,'LineColor',[100])view(h)求得的v2到v435.55.5例 75.25.3維修費(fèi)用DVA,W，其中頂點(diǎn)集V{v1v2,v6}，這里vi（i1,,55.25.3維修費(fèi)用DVA,W，其中頂點(diǎn)集V{v1v2,v6}，這里vi（i1,,5）表示第i年初的時(shí)刻，v65A為弧的集合，鄰接矩陣Wwij)66wij表示時(shí)刻vi購(gòu)置新設(shè)備使用到時(shí)刻vj，購(gòu)置新設(shè)備的費(fèi)用和維修費(fèi)用之和。則鄰接矩陣210W0 170D中求從v1到v6軟件，求得v1到v6的最短路徑為v1v3v65.6設(shè)備更新最小費(fèi)用示意clc,clear,closea=zeros(6鄰接矩陣初始化a(1,[2:6])=[1520273754];a(2,[3:6])=[152027a(3,[4:6])=[1621a(4,[5,6])=[1621];a(5,6)=17; b=sparse(a);%轉(zhuǎn)化成稀疏矩陣 ]'));%845712345 ');%set(h,'LayoutType','equilibrium圖形的布局是平衡的set(h.Nodes(path),'Color',[10.40.4])set(edges,'LineColor',[100])set(edges,'LineWidth',2.5)用粗線表示最短路徑view(h)%顯示圖形5.865.7v55.7銷(xiāo)售點(diǎn)之間距v1 ');%set(h,'LayoutType','equilibrium圖形的布局是平衡的set(h.Nodes(path),'Color',[10.40.4])set(edges,'LineColor',[100])set(edges,'LineWidth',2.5)用粗線表示最短路徑view(h)%顯示圖形5.865.7v55.7銷(xiāo)售點(diǎn)之間距v1 v1D(v1再依次計(jì)算v2,v3 ,D(v6)。D(vi)（i ,6Floyd5.4D(v333最小，所以倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在v3，此時(shí)離倉(cāng)庫(kù)最遠(yuǎn)的銷(xiāo)售點(diǎn)（v1和v6）33clc,cleara(1,[25])=[20a(2,[3:5])=[2060a(3,[45])=[3018];b=a';d=graphallshortestpaths(b,'Directed',0)要設(shè)置Directed0 [d2,ind]=min(d1)%求向量的最小值,及最小值的地址 %求向量中取值為d2的地址9D(vi00000 以無(wú)向圖為例來(lái)說(shuō)明最短路的01整數(shù)規(guī)劃模型，對(duì)有向圖來(lái)說(shuō)也是一樣的。對(duì)于給定的賦權(quán)圖G(V,E,W)，其中V{v1, ,vn}為頂點(diǎn)集合，E為邊的集合，鄰接矩陣Wwij)nn，這 以無(wú)向圖為例來(lái)說(shuō)明最短路的01整數(shù)規(guī)劃模型，對(duì)有向圖來(lái)說(shuō)也是一樣的。對(duì)于給定的賦權(quán)圖G(V,E,W)，其中V{v1, ,vn}為頂點(diǎn)集合，E為邊的集合，鄰接矩陣Wwij)nn，這 wij ,n現(xiàn)不妨求從v1到vm(mn的最短路徑。引進(jìn)01,nxnminwijxiji1j x,i2 n且ixj jnx1jjs.t. njnxjmj ,這是一個(gè)01LINGO例 在圖5.8中，求從v2到v4的最短路徑和最短距離v56圖.8賦權(quán)無(wú)向解用GVE,W5.8所示的賦權(quán)無(wú)向圖，其中V邊的集合，鄰接矩陣W(wij)66v6}為頂點(diǎn)集合，Ewijv與v之間無(wú)邊時(shí) ,6引進(jìn)01變 邊(vivj)位于從v2到v4的最短路徑上（ij1,6x6minwijxiji1j x,i12 n且i2x x,i12 n且i2xj jnx2jjns.txjjnxj4j ,LINGOv2v5v6v437。LINGO :w(1,2)=18;w(1,5)=15;w(2,3)=20;w(2,4)=60;w(3,4)=30;w(3,5)=18;w(4,6)=10;@for(num(j)|j#lt#@size(num):@for(num(i)|i#gt#j:w(i,j)=w(j,i!輸入下三角元素;@for(num(i)|i#ne#2#and# 5.5.1定義 設(shè)有向連通圖D(V,A)，G的每條弧(vi,vj)上有非負(fù)數(shù)cij稱為邊的容量，0vs稱為發(fā)點(diǎn)（源0vt稱為收點(diǎn)（匯DD(VE,C)。對(duì)任一G中的弧(vivjfijffij為網(wǎng)絡(luò)Gf（1）容量限制條件：對(duì)對(duì)任一G中的弧(vivjfijffij為網(wǎng)絡(luò)Gf（1）容量限制條件：對(duì)G中每條弧(vivj，有0fijcij（2）平衡條件：對(duì)中間點(diǎn)vi，有fijfkijk對(duì)收、發(fā)點(diǎn)vtvs，有fsifjtvvijf00的可行流。所謂最大流問(wèn)題就是在ffij}fjcjf對(duì)邊(vivjf對(duì)(vivj定義 容量網(wǎng)絡(luò)D，若為網(wǎng)絡(luò)中從vs到vt的一條鏈，給定向?yàn)閺膙s到vt，f0c,(v,v) c0,(v,v) 為從vs到vt的（f1步是標(biāo)號(hào)過(guò)程，通過(guò)標(biāo)號(hào)來(lái)尋找可增廣2步是調(diào)整過(guò)程，沿可增廣鏈調(diào)整f以增加流量。給發(fā)點(diǎn)以標(biāo)號(hào)()選擇一個(gè)已標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)vi，對(duì)于vi的所有未給標(biāo)號(hào)的鄰接點(diǎn)vj若邊(vjviEfji0，則令jminfji,i)，并給vj以標(biāo)號(hào)(vi,j)若邊(vivjE，且fijcij時(shí)，令jmin(cijfij,i，并給vj以標(biāo)號(hào)(vi,j（3）重復(fù)（2）直到收點(diǎn)vt若vt得到標(biāo)號(hào)，說(shuō)明存在一條可增廣鏈，轉(zhuǎn)（2步）調(diào)整過(guò)程。若vt未獲得標(biāo)號(hào)，標(biāo)號(hào)過(guò)程已無(wú)法進(jìn)行時(shí)，說(shuō)明f已是最大流。fijt若(vivj)是可增廣鏈上的前向（1）ff若(vv) 若(vv)不在可增廣鏈 （2）1f5.105.95.9解5.93，4439932clc,clear,a(1,2)=6;a(1,3)=4;a(2,3)=3;a(2,5)=9;9932clc,clear,a(1,2)=6;a(1,3)=4;a(2,3)=3;a(2,5)=9;a(3,4)=4;a(3,5)=6;a(3,6)=7;a(3,7)=3;a(4,7)=5;a(4,9)=2;a(5,8)=12;a(6,5)=8;a(7,6)=4; h=biograph(b,name,'ShowWeights','on')%生成圖形對(duì)象set(h,'EdgeType','segmented','LayoutType','equilibrium設(shè)置圖形屬性view(h)%顯示原有向圖h2=biograph(F,name,'ShowWeights','on生成圖形對(duì)象view(h2)%顯示最大流對(duì)應(yīng)的有向圖有（A（B（C（D公司③招聘4人，其中C，B，E專(zhuān)業(yè)各1A或D專(zhuān)業(yè)中選1人；公司④招聘3人，其中須5.9解一s，和一個(gè)虛擬的匯點(diǎn)t5.9所示的網(wǎng)絡(luò)圖，圖中各弧旁數(shù)字為s,A,B,C,D,E,2',3',4',1,2,3, 利用求得最大流的流量為16，即各公司都能招聘到所需。計(jì)算的clc,a=zeros(14);a(1,[2:6])=[4332a(2,[7:10])=1;a(3,[7910a(4,[9:12])=1;a(6,[7101213])=1;a(8,12)=1;a(9,13)=2;a([10:13],14)=[5443];b=sparse(a); view(h)%顯示圖形0-1整數(shù)規(guī)劃模型求解該問(wèn)題，用i12,3,44j12, view(h)%顯示圖形0-1整數(shù)規(guī)劃模型求解該問(wèn)題，用i12,3,44j12, 0-1變量xij0,第i個(gè)公司不j個(gè)專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生4maxi1j4xijaj,j1, ,i25x x ,Lingo ;總數(shù)stu/1..5/:a;!每個(gè)專(zhuān)業(yè)提供的畢業(yè)生人數(shù);link(com,stu):x;!0-1決策變量;a=43325.5.2無(wú)向圖的最大流例 5.10解記圖5.10所示的賦權(quán)圖為G(VE,C，其中頂點(diǎn)集合V12,34,5E為邊的集Ccij)55cij表示頂點(diǎn)ij相應(yīng)的容量為解記圖5.10所示的賦權(quán)圖為G(VE,C，其中頂點(diǎn)集合V12,34,5E為邊的集Ccij)55cij表示頂點(diǎn)ij相應(yīng)的容量為0。設(shè)頂點(diǎn)ijfijs，流的終點(diǎn)為ts到終點(diǎn)t的最大流的流量為vmax5fj5fisi 5i55fkj,ks,ij0c,i,j1, , 52個(gè)約束fis0i c=0;@text()=@table(tf);!輸出到屏幕;@text('zuida.txt')=@table(tf輸出到純文本文件;c(1,2)=5;c(2,3)=4;cc(3,5)=5;c@for(node(i)|i#ne#s#and#i#ne#t:@sum(node(j):f(i,j))=@sum(node(k):f(k,i)));@sum(node(j):f(s,j))=v;@sum(node(i):f(i,s))=0;@solve(myflow為了輸出完整，這里進(jìn)行了重復(fù)計(jì)算; 旅行商問(wèn)題（TravelSalesmanProblemTSP）定義5.7 包含G的每個(gè)頂點(diǎn)的軌叫做Hamilton(Hamilton圈或H圈；含Hamilton圈的圖叫做Hamilton圖。)軌；閉的Hamilton過(guò)所有節(jié)點(diǎn)，并回到出發(fā)點(diǎn)的最短路，即可轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)Hamilton圈問(wèn)題。項(xiàng)式時(shí)間算法。TSP的近似算法有構(gòu)造型算法和改進(jìn)型算法，構(gòu)造型算法按一定規(guī)則TSP5.6.1TSP對(duì)于給定的賦權(quán)圖G(V定義5.7 包含G的每個(gè)頂點(diǎn)的軌叫做Hamilton(Hamilton圈或H圈；含Hamilton圈的圖叫做Hamilton圖。)軌；閉的Hamilton過(guò)所有節(jié)點(diǎn)，并回到出發(fā)點(diǎn)的最短路，即可轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)Hamilton圈問(wèn)題。項(xiàng)式時(shí)間算法。TSP的近似算法有構(gòu)造型算法和改進(jìn)型算法，構(gòu)造型算法按一定規(guī)則TSP5.6.1TSP對(duì)于給定的賦權(quán)圖G(V,E,W)其中V{v1,v2 ,vn}為頂點(diǎn)集，E為邊集，W(wijv與v間的距離v與v間存在邊 w（ij當(dāng)v與v間不存在邊 wii,i1, ,引進(jìn)01當(dāng)最短路徑經(jīng)過(guò)vi到vj的邊i,j1,,nx TSPnzwijxiji1jnx1,i1, ,jns.t. ,xiuiujnxijn1,ui,uj0,i,n,j, ,并不充分。例如圖5.11的情形，6個(gè)城市的旅行路線若為v1v2v3v1v4v5v6v4，則該路線雖然滿足(9)兩個(gè)子回路，為此需要增加“不含子回路”的約束條件，這就要求增加變量ui(i1, ,n)uiujnxijn1,ui,uj0,i ,n,j ,n5.11任何含子回路的路線都必然不滿足該約束條件（不管ui如何取值全部不含子回路的整體巡回路線都可以滿足該約束條件（只要ui取適當(dāng)值i含起點(diǎn)v1，例如子回路v4v5v6v4，式(10)用于該子回路，必有u4u5nn1，u5u6nn1，u65.11任何含子回路的路線都必然不滿足該約束條件（不管ui如何取值全部不含子回路的整體巡回路線都可以滿足該約束條件（只要ui取適當(dāng)值i含起點(diǎn)v1，例如子回路v4v5v6v4，式(10)用于該子回路，必有u4u5nn1，u5u6nn1，u6u4nn(10)j2，不包含起點(diǎn)v1。(3)對(duì)于整體巡回路線，只要ui邊，xij1，ui取整數(shù)：起 u10，第1個(gè)到達(dá)頂點(diǎn)u211，則必有uiuj1，約束條件(10)變成1nn1，必然成立。②對(duì)于非總巡回上的xij0，約束(10)變成uiujn1，肯定成立。5.6.2TSP例 已知19個(gè)城市之間距離示意圖見(jiàn)圖5.12，求從v1出發(fā)回到v1的TSP路線v4v2503v7v2200v19 構(gòu)造圖5.12對(duì)應(yīng)的賦權(quán)圖G(V,E,W)其中V{v1,v2 （ijw wii,i1, 引進(jìn)01i,j1, xTSP19zwijxiji1jx1,i1, j19zwijxiji1jx1,i1, js.t. xiuiuj19xij18,ui,uj0,i ,19,j LINGOz8200LINGO :v2v1w(1,2)=300;w(1,3)=600;w(2,3)=300;w(2,8)=200;w(3,9)=500;w(3,10)=500;w(4,5)=200;w(4,7)=950;w(5,10)=250;w(6,7)=500;w(6,11)=250;w(7,19)=1150;w(8,13)=750;w(9,10)=450;w(9,16)=600;w(10,11)=250;w(11,12)=500;w(12,16)=250;w(13,14)=200;w(14,15)=200;w(16,18)=300;w(17,18)=200;w(17,19)=600;@for(city(j)|j#lt#n:@for(city(i)|i#gt#j:w(i,j)=w(j,i!輸入鄰接矩陣下三角元素; 計(jì)劃評(píng)審方法（programevaluationandreviewtechnique,PERT）2050年代提出并發(fā)展起來(lái)的，1956。1958ehod定義5.8 5.13“定義5.9 ehod定義5.8 5.13“定義5.9 例5.13 某項(xiàng)目工程由11項(xiàng)作業(yè)組成（分別用代號(hào)A,B, ,J,K表示其計(jì)劃完成時(shí)間及作業(yè)間相互關(guān)系如表5.5所示，求作業(yè)的關(guān)鍵路徑。表 解5.14圖 5.12中的計(jì)劃網(wǎng)絡(luò)圖就是一個(gè)有向圖GVA,W，其中頂點(diǎn)集合V弧的集合，鄰接矩陣Wwij)88,8}Ad,(ij)wij(ij)wii0，i ,818向圖GVA,W}，鄰接矩陣Wwij)88計(jì)劃完成時(shí)間（天計(jì)劃完成時(shí)間（天A5－GB,B－HB,C－IB,D4BJF,G,E4AKF,GFC,d,(ij)iwj(ij)wii0，i ,8只要求得賦權(quán)有向圖Gd,(ij)iwj(ij)wii0，i ,8只要求得賦權(quán)有向圖G從v1v8的最短路徑，就等價(jià)地得到有向圖GFloyd算法，使用1→3→5→6→851。functionmain2a(1,2)=-5;a(1,3)=-10;a(1,4)=-a(2,5)=-4;a(3,5)=0;a(3,4)=-a(4,6)=-15;a(5,6)=-21;a(5,7)=-25;a(5,8)=-35;a(6,7)=0;a(6,8)=-20;a(7,8)=-15; function[dist,mypath]=myfloyd(a,sb,db);%輸入：aa(i,j)ij%%輸出：dist—最短路的距離；mypath—最短路的路徑n=size(a,1);path=zeros(n);forforforifparent=path(sbsbdbparent(parent==0)=sbpath0，表示該頂點(diǎn)的前驅(qū)是起點(diǎn)mypath=db;t=db;whilep=parent(t);mypath=[p,mypath]; Bbij)NN，如果從網(wǎng)頁(yè)ijB，則bij10Nribijj它表示頁(yè)面iMarkovA(aij)NN如下a1ddbij，i,j1, ,NNri其中d是模型參數(shù)，通常取d0.85AMarkovaijNribijj它表示頁(yè)面iMarkovA(aij)NN如下a1ddbij，i,j1, ,NNri其中d是模型參數(shù)，通常取d0.85AMarkovaij表示從頁(yè)面i轉(zhuǎn)移到頁(yè)面j的概率。根據(jù)Markov鏈的基本性質(zhì)，對(duì)于正則Markov鏈存在