2009年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽C題優(yōu)秀論文

2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：C我們的參賽報(bào)名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員（打印并簽名）：1.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：日期：2009年9月12日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：。.Rsin93°f=n(1-)-arcsin1180°R+H兀n=—"1其中f，f是如圖所示的圓心角，q角如圖所示，以神舟七號為例，近地點(diǎn)咼度H=200121公里，所以H二H，用MATLAB軟件解得n=16。i2、以地心為圓心，地球半徑與遠(yuǎn)地點(diǎn)之和為半徑作圓，如圖5所示。圖5觀測站對橢圓形衛(wèi)星軌道覆蓋范圍示意圖2由于大圓包含了橢圓區(qū)域，因此只要監(jiān)控到大圓周及以外空域，則未必能監(jiān)控整個橢圓周。在地球上均勻建站監(jiān)控整個圓周，其算法和1）中相同：H二S，以神舟2七號為例，其遠(yuǎn)地點(diǎn)H=347公里，令H=H，解得n=12。22綜上，橢圓軌道上的監(jiān)控站應(yīng)該在12至16個之間。下面我們進(jìn)行橢圓軌道的監(jiān)控站數(shù)精確計(jì)算。1、橢圓軌道的測控算法思想用逼近方法和迭代算法來實(shí)現(xiàn)。由于對橢圓監(jiān)控不能像對待圓一樣均勻分布站點(diǎn)，而f豐f，因此分布測控站是一件很棘手的事情。f可用前面模型中的算法，f1212可借用f的算法來算出f的近似值。根據(jù)物理學(xué)、力學(xué)知識及開普勒三大定律可得到12f右側(cè)的向徑r二曲一e2），a為橢圓的長半軸，e為離心率，f為向徑與橢圓水平長21+ecosf軸的夾角，r為球心到橢圓上的向徑。所以橢圓軌道的監(jiān)控算法為：H+H+2Ra=—12，

c=a—S—Rir二R+H01竺。）—竺。）—arcsin180。Rsin93。a(1—e2)r=i1+ecos工fkk=1用逼近的方法可近似計(jì)算出n二14。_5.2對于問題二模型的建立與求解5?2?1、模型一：由于一個衛(wèi)星或飛船的軌道與地球赤道平面有固定夾角，而求地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，因此，對衛(wèi)星在地球表面的星下點(diǎn)軌跡進(jìn)行分析。1、當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行角度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同時，衛(wèi)星沿運(yùn)行軌道運(yùn)行一周后星下點(diǎn)軌跡又回到起點(diǎn)，星下點(diǎn)軌跡見圖5,但其相繼兩圈的經(jīng)度無變化，不合題意。2、當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行角速度是地球自轉(zhuǎn)速度的兩倍是衛(wèi)星沿運(yùn)行古道運(yùn)行兩圈后星下點(diǎn)軌跡回到起點(diǎn)。3、當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行角速度是地球自轉(zhuǎn)速度的三倍時，衛(wèi)星沿運(yùn)行軌道運(yùn)行三圈星下點(diǎn)軌跡回到起點(diǎn)。圖6衛(wèi)星或飛船地面軌跡衛(wèi)星或飛船地面軌跡衛(wèi)星或飛船地面軌跡衛(wèi)星運(yùn)行角速度越大，衛(wèi)星在地球表面上留下的星下點(diǎn)軌跡越密，從而形成了衛(wèi)星或飛船地面軌跡，如圖6所示。由以上圖形觀察分析可以得出：星下點(diǎn)軌跡均勻地分布在赤道的兩邊，即北緯a與南緯a之間，因此，在衛(wèi)星或飛船的星下點(diǎn)軌跡較為簡單的情況下可沿著星下點(diǎn)軌

跡設(shè)立測控站，對于一般情況，特別是衛(wèi)星或飛船的星下點(diǎn)較密時，只需測控北緯a與南緯a之間的區(qū)域，就可以實(shí)現(xiàn)對該衛(wèi)星的全程監(jiān)控。在實(shí)際測控范圍與衛(wèi)星軌道面的相交圓D中取圓內(nèi)接正方形并用內(nèi)接正方形覆蓋所要測控的區(qū)域。首先根據(jù)軌道面與赤道面的夾角a以及每個內(nèi)接正方形邊長在地心所對的圓心角2卩，可求出測控區(qū)域中正方形的行數(shù)j,如圖所示；其次根據(jù)每一行正方形覆蓋的軌道面的圓周長即可確定每一行所需的正方形的個數(shù)i,從而計(jì)算出全程監(jiān)控所需要的監(jiān)控站的最少個數(shù)，如圖7所示。圖7圓內(nèi)接正方形覆蓋法模型求解過程：1、計(jì)算正方形的邊長在地心所對的圓心角為2卩，有AC二CDV2rtanB==—OD2ODr=(R+H)sin0OD=(R+h)cos02Rsin93°xB=arctan[tan(87°-arcsm)]2R+h由于衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動時，軌道與赤道平面有一個夾角a,測控范圍由正方形覆蓋，所以正方形的行數(shù)：?_「2a]

j「幣]圓內(nèi)接正方形每條邊在衛(wèi)星軌道面上所對應(yīng)的圓弧長為：2Bl=2兀(R+h)=2卩(R+h)2兀2、當(dāng)j為偶數(shù)時，各行正方形在南北緯之間對稱分布，每一行正方形的總長度是正方形所在軌道面的圓的周長，北緯第一行正方形覆蓋的軌道面圓周長C=2兀(R+r)cosp,i北緯第一行排列的正方形個數(shù)n=[2]，第二行正方形覆蓋的軌道面圓周長：ilCTOC\o"1-5"\h\zC=2p(R+r)cos(3b)，第二排排列的正方形個數(shù)n=-2，依次類推：北緯第k行22l排列的正方形個數(shù)n=—，為實(shí)現(xiàn)全程測控需要的測控站總數(shù)n=2汪[n]klk當(dāng)j為奇數(shù)時，先用一行正方形覆蓋赤道，使正方形的中心在赤道上，然后將各行正方形在南北半球?qū)ΨQ分布，所以赤道上排列的正方形的個數(shù)為n=[2p(只+H)]，0l北緯第一行正方形覆蓋的軌道面圓周長為C=2p(R+r)cos2b，北緯第一行排列的正1——方形個數(shù)n=—1，同理可以求出第k行上分布的測控站的個數(shù)n=—k，實(shí)現(xiàn)全程測1lkl控的測控站的總數(shù)n=2汪[n]+nk0k=1根據(jù)神舟七號的運(yùn)行數(shù)據(jù)，將軌道與赤道面夾角a=42.2度，H=343公里代入得j=4,n=60，即如果要實(shí)現(xiàn)對神舟七號的全程監(jiān)控至少需要60個測控站對其進(jìn)行測控。5?2?2問題二中，為使計(jì)算方便，采用內(nèi)接正方形覆蓋所要測控的區(qū)域.，而圓內(nèi)接正六邊形的面積占圓面積的82.74%，因此可以考慮采用圓內(nèi)接正六邊形覆蓋，以提高有效覆蓋率，我們因此建立了模型二：設(shè)衛(wèi)星或飛船繞地球飛行的傾角為q，離地面的高度為H,地球半徑為R,衛(wèi)星或飛船飛行的軌跡為一環(huán)繞地球半徑為R+H的球面去掉兩端球帽的曲面，通過公式計(jì)算出球帽的面積得到衛(wèi)星或者飛船飛行的曲面面積，每個測控站測控的范圍與曲面的交線為一個半徑為r的圓，只有圓與圓之間有重疊才能夠保證測控站的測控范圍覆蓋所有曲面，這樣我們就取每個圓的內(nèi)接正六邊形作為每個測控站對衛(wèi)星或飛船運(yùn)行曲面的平均有效測控范圍，通過圓內(nèi)接六邊形與圓的面積比率計(jì)算出圓內(nèi)接正六邊形的面積，用曲面的面積去除以正六邊形的面積，就可以得到需要的最少測控站數(shù)目，具體計(jì)算方法如下：球帽面積公式：S=2p(R+H)(1-sinq)1球面面積計(jì)算公式：S=4p(R+H)2衛(wèi)星運(yùn)行曲面的面積：S=S-S21S圓內(nèi)接正六邊形與圓的面積之比:e=正六邊形=0.827S圓測控站測控的范圍與曲面交線圓的面積：S=pr23對應(yīng)的圓內(nèi)接正六邊形的面積：S=S?e43,Rsin93°其中測控站測控的范圍與曲面的交線圓半徑：r=(R+H)sin(87°-arcsin())R+HS需要的測控站數(shù)目至少為：n=［匕］+1S4將神舟七號運(yùn)行數(shù)據(jù)：離地面高度H=343千米，地球半徑R=6371千米以及傾角q=42.2°代入上式，編輯MATLAB程序(見附件4)運(yùn)算得到n=67，即最少需要建67個測控站才能全程測控神七飛行。圖8圓內(nèi)接六邊形覆蓋法5.3對問題三資料的查取與分析通過上網(wǎng)查閱資料，搜集了我國神州7號飛船運(yùn)行資料和相關(guān)測控站點(diǎn)的分部信息，飛船運(yùn)行在軌道傾角42.4度、近地點(diǎn)高度200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度350公里的橢圓軌道上，實(shí)施變軌后，進(jìn)入343公里的圓軌道。各個測控站的地理位置位置如表1。表1神舟七號測控站地理位置衛(wèi)星測控站經(jīng)度緯度1東風(fēng)站98.50°E39.70°N2酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心100.50°E41.83°N3喀什衛(wèi)星測控站75.99°E39.45°N4和田站79.92°E37.10°N

5青島站120.30°E36.20°N6陜西渭南衛(wèi)星測控站109.50°E34.50°N7廈門衛(wèi)星測控站118.01°E24.07°N8納米比亞站14.52°E22.67°N9卡拉奇衛(wèi)星測控站66.99°E24.82°N10馬林迪站40.10°E3.22°S11圣地亞哥站70.10°E33.43°S12遠(yuǎn)望號測控船77.0°W20.0°S13遠(yuǎn)望二號測控船150.0°W31°S14遠(yuǎn)望三號測控船0.0°E1.0°N15遠(yuǎn)望四號測控船135.0°E30.0°N16遠(yuǎn)望五號測控船180.0°E32.0°N根據(jù)世界地圖及神舟七號測控通信系統(tǒng)分布圖9所示。圖9神舟七號測控站分布圖060120180240300360我們對其中的測控站進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)所成圖形近似正弦函數(shù)的曲線。對此。我們試作以下分析：衛(wèi)星的運(yùn)行軌道在地球表面上的投影應(yīng)大致服從正弦曲線分布。測控站的作用是為了能夠更清晰更準(zhǔn)確的了解衛(wèi)星運(yùn)行的具體情況，故測控站分布在衛(wèi)星的運(yùn)行軌道在地球表面上的投影曲線上是十分必要的。查找了神舟六號的觀測站數(shù)據(jù)，各觀測站具體位置見附件表1，對模型進(jìn)行了驗(yàn)證，通過對數(shù)據(jù)的分析顯示，監(jiān)控占的位置同樣接近于正弦曲線，增大了對衛(wèi)星檢測的覆蓋面。6、模型的評價(jià)及其改進(jìn)6?1、模型的評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：模型有特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，充分考慮了衛(wèi)星或飛船運(yùn)行軌道為橢圓時的測算方式，靈活巧妙地計(jì)算出了需要最少測控站的區(qū)間，減小了數(shù)據(jù)誤差。問題二中我們考慮正四邊形和正六邊形兩種情況，使模型具有更高的可靠性對于問題一，我們建立了圓形軌道模型。由于在模型建立之初所作的假設(shè)較少，故與真實(shí)情況比較接近，因而實(shí)用性強(qiáng)，同時把圓形軌道模型推廣到橢圓模型，對問題2的解決起著重要作用。在解決問題2的過程中，我們建立了圓錐測控模型。并且應(yīng)用此模型對神舟六號與神舟七號飛船的測控站的數(shù)目進(jìn)行了驗(yàn)證，所得結(jié)果與實(shí)際相近。這充分說明了所建模型比較理想。對于問題3,我們給出了測控站分布的擬合曲線，發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星的運(yùn)行曲線大致服從正弦曲線，如圖所示。另外，在某些具體問題上，采用內(nèi)接正方形或內(nèi)接正六邊形、正八邊形覆蓋所要測控的區(qū)域，會出現(xiàn)較多的浪費(fèi)，這時不能一味追求圓內(nèi)接圖形面積占圓面積的比率，而應(yīng)該從整體的角度來考慮測控站的最優(yōu)分布。6?2、模型的改進(jìn)關(guān)于問題二：在地球自轉(zhuǎn)的影響下衛(wèi)星運(yùn)行過程中星下線的軌跡是地球表面的一些曲線，計(jì)算測控站的數(shù)量比較困難。一種估算方法是設(shè)置許多測控站，使得其能覆蓋衛(wèi)星飛過的所有空域。計(jì)算這個涵蓋赤道的球面的立體角，再用一個觀測站所能覆蓋的立體角去除這個涵蓋赤道的立體角，就可以得到得到要覆蓋這個區(qū)域至少需要的觀測站的數(shù)目7、參考文獻(xiàn)姜啟源，數(shù)學(xué)模型[M],北京高等教育出版社，1993葉其孝，數(shù)學(xué)建模，教育與國際數(shù)學(xué)建模競賽中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會工科數(shù)學(xué)雜志社，1994蕭樹鐵主編，大學(xué)數(shù)學(xué)試驗(yàn)（第二版）[M],高等教育出版社，2006蘇金明阮沈勇，Matlab實(shí)用教程，北京，電子工業(yè)出版社，2005張?；?，衛(wèi)星和飛船跟蹤測控的數(shù)學(xué)模型，蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010年第1期，72-75戴紅兵等，衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控，思茅師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2009年第6期,28-32楊徐昕等，衛(wèi)星或飛船的跟蹤測控模型設(shè)計(jì)，重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010年第1期，183-187柳仲貴，衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)范圍，飛行器測控學(xué)報(bào)，2003附件:附件1：衛(wèi)星或飛船與地球、太陽關(guān)系Matlab程序figure('name','衛(wèi)星或飛船與地球、太陽關(guān)系');sl=[0:.01:2*pi];holdon;axisequal;%建立坐標(biāo)系axisoff%除掉Axesr1=10;%地球到太陽的平均距離r2=3;%衛(wèi)星或飛船到地球的平均距離w1=1;%設(shè)置地球公轉(zhuǎn)角速度w2=12%設(shè)置衛(wèi)星或飛船繞地球公轉(zhuǎn)角速度t=0;%初始時刻為0pausetime=.002;%設(shè)置暫停時間sita1=0;sita2=0;%設(shè)置開始它們都在水平線上set(gcf,'doublebuffer','on')%消除抖動plot(-20,18,'color','r','marker','.','markersize',40);text(-17,18,'太陽');%對太陽進(jìn)行標(biāo)識p1=plot(-20,16,'color','b','marker','.','markersize',20);text(-17,16，地球');%對地球進(jìn)行標(biāo)識p1=plot(-20,14,'color','k','marker','.','markersize',13);text(-17,14,'衛(wèi)星或飛船');％對衛(wèi)星或飛船進(jìn)行標(biāo)識plot(0,0,'color','r','marker','.','markersize',60);%畫太陽plot(r1*cos(s1),r1*sin(s1));%畫地球公轉(zhuǎn)軌道set(gca,'xlim',[-2020],'ylim',[-2020]);p1=plot(r1*cos(sita1),r1*sin(sita1),'color','b','marker','.','markersize',30);%畫地球初始位置I1=plot(r1*cos(sita1)+r2*cos(s1),r1*sin(sita1)+r2*sin(s1));%畫衛(wèi)星或飛船繞地球公轉(zhuǎn)軌道p2x=r1*cos(sita1)+r2*cos(sita2);p2y=r1*sin(sita1)+r2*sin(sita2);p2=plot(p2x,p2y,'k','marker','.','markersize',20);%畫衛(wèi)星或飛船的初始位置orbit=line('xdata',p2x,'ydata',p2y,'color','r');%畫衛(wèi)星或飛船的運(yùn)動軌跡while1set(p1,'xdata',r1*cos(sita1),'ydata',r1*sin(sita1));%設(shè)置地球的運(yùn)動過程set(l1,'xdata',r1*cos(sita1)+r2*cos(s1),'ydata',r1*sin(sita1)+r2*sin(s1));%設(shè)置衛(wèi)星或飛船繞地球的公轉(zhuǎn)軌道的運(yùn)動過程ptempx=r1*cos(sita1)+r2*cos(sita2);ptempy=r1*sin(sita1)+r2*sin(sita2);set(p2,'xdata',ptempx,'ydata',ptempy);%設(shè)置衛(wèi)星或飛船的運(yùn)動過程p2x=[p2xptempx];p2y=[p2yptempy];set(orbit,'xdata',p2x,'ydata',p2y);%設(shè)置衛(wèi)星或飛船運(yùn)動軌跡的顯示過程sita1=sita1+w1*pausetime;%地球相對太陽轉(zhuǎn)過的角度sita2=sita2+w2*pausetime;%衛(wèi)星或飛船相對地球轉(zhuǎn)過的角度pause(pausetime);drawnowend附件2:衛(wèi)星或飛船地面軌跡圖Matlab程序load('topo.mat','topo','topomapl');whostopotopomaplcontour(0:359,-89:90,topo,[00],'b')axisequalboxonset(gca,'XLim',[O360],'YLim',[-9090],...'XTick',[060120180240300360],...'Ytick',[-90-60-300306090]);holdonx=linspace(0,500*pi,1000);y1=58*sin(0.05*x+0.25*pi);y2=58*sin(0.05*x+0.5*pi);y3=58*sin(0.05*x+0.75*pi);y4=58*sin(0.05*x+pi);y5=58*sin(0.05*x+1.25*pi);y6=58*sin(0.05*x+1.5*pi);y7=58*sin(0.05*x+1.75*pi);y8=58*sin(0.05*x+2*pi);plot(x,y1,'k',x,y2,'g',x,y3,'r',x,y4,'y',x,y5,'b',x,y6,'g',x,y7,'m',x,y8,'F)holdonz1=0*x+58;z2=-z1;plot(x,z1,'k',x,z2,'k')附件3：圓內(nèi)接六邊形全覆蓋圖Matlab程序loadiris_datasetnet=newsom(irislnputs,[163]);plotsomtop(net);holdonx=-1:0.05:16.5;y1=0.85+1.15*sin(x);y2=0.85+1.15*sin(x+0.25*pi);y3=0.85+1.15*sin(x+0.5*pi);y4=0.85+1.15*