彈性力學平面應力平面應變問題課件

因此，在材料確定的情況下，基本的力學變量應該有：位移（u）、應變（ε）、應力（σ）量回顧§2-1彈性力學基本概念位移應變應力彈性模量物體的材料性能物體的受力狀態(tài)物體的變形程度物體變形后的形狀因此，在材料確定的情況下，基本的力學變量應該有：量回顧§2dydxdz彈性力學目的：對彈性體中的位移、應力、應變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）回顧dydxdz彈性力學目的：對彈性體中的位移、應力、應變進行定彈性體的基本假設為突出所處理的問題的實質，并使問題簡單化和抽象化，在彈性力學中，特提出以下幾個基本假定。物質連續(xù)性假定：物質無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述；物質均勻性假定：物體內各個位置的物質具有相同特性；物質(力學)特性各向同性假定：物體內同一位置的物質在各個方向上具有相同特性；線性彈性假定：物體的變形與外來作用力的關系是線性的，外力去除后，物體可恢復原狀；小變形假定：物體變形遠小于物體的幾何尺寸。以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點?；仡檹椥泽w的基本假設為突出所處理的問題的實質，并使問題簡a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz回顧§2-2彈性力學基本方程a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzy由力平衡條件有化簡得到1.平衡微分方程回顧由力平衡條件有化簡得到1.平衡微分方程回顧平衡微分方程的矩陣形式為其中，是微分算子

式中，b是體積力向量，

回顧平衡微分方程的矩陣形式為其中，是微分算子式中，b是體積力二維問題：平衡微分方程回顧二維問題：平衡微分方程回顧2.幾何方程：位移-應變的關系B1A1θ1θ2回顧2.幾何方程：位移-應變的關系B1A1θ1θ2回顧六個應變分量與三個位移分量間的全部關系式：回顧2.幾何方程：位移-應變的關系六個應變分量與三個位移分量間的全部關系式：回顧2.幾何方程幾何方程式的矩陣形式為為微分算子其中的轉置

回顧幾何方程式的矩陣形式為為微分算子其中的轉置回顧由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應力狀態(tài)下，處于彈性階段時，應力應變呈線性關系，即σx

=Eεx

這就是虎克定律。

彈塑性范圍斜率,E彈性范圍應力應變3.物理方程：應力-應變的關系（Hooke‘sLaw）由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應力狀態(tài)下，處于彈性階段時，工程上，一般將應變與應力間的關系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。工程上，一般將應變與應力間的關系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義彈性力學平面應力平面應變問題課件若令代表應變列陣和應力列陣，則應力-應變關系可寫成矩陣形式若令代表應變列陣和應力列陣，則應力-應變關系可寫成矩陣形式其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和

μ決定。其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和μ決定。回顧4.應力邊界條件彈性體在應力邊界上單位面積的面力為、、。設邊界外法線的方向余弦為，則邊界上彈性體的應力邊界條件可表示為其矩陣表達式為

(在上)其中，面積力向量，方向余弦矩陣為回顧4.應力邊界條件彈性體在應力邊界上單位面積的面5.位移邊界條件回顧已知位移邊界上彈性體的位移為，則有(在上)

用矩陣形式表示為：(在上)

5.位移邊界條件回顧已知位移邊界上彈性體的位移為彈性力學基本方程的一般形式為

平衡微分方程(在內)幾何方程(在內)物理方程(在內)邊界條件(在上)(在上)其中，為彈性體的完整邊界。小結回顧彈性力學基本方程的一般形式為平衡微分方程任何構件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內產(chǎn)生的應力、應變和位移必然是三向的。一般說來，它們都是三個坐標x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學空間問題?！?-3平面應變和平面應力問題任何構件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內產(chǎn)當構件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響，某些空間問題可以簡化為彈性力學的平面問題。這些問題中的應力、應變和位移僅為兩個坐標（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進而分為平面應變問題和平面應力問題兩大類。當構件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影平面應變問題設一構件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長度變化的外力（包括體積力X、Y，同時有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長度變化。平面應變問題設一構件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x這時，可以把構件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以視為對稱面，其上各點就不會產(chǎn)生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也與坐標z無關。則有u=u(x,y),v=v(x,y),w=0顯然，在這種條件下構件所有橫截面上對應點（x、y坐標相同）的應力、應變和位移是相同的。這樣，我們只需從構件中沿縱向截出單位厚度的薄片進行分析，用以代替整個構件的研究。平面應變問題這時，可以把構件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以對于具有以下特征的構件，可作為平面應變問題看待：構件縱向(如z軸方向)的尺寸遠大于橫向(x，y軸方向)尺寸；與縱向(z軸)垂直的各橫截面的尺寸和形狀均相同；所有外力均與縱軸(z軸)垂直，并且沿縱軸(z軸)沒有變化；(4)物體的約束(支承)條件不隨z軸變化。平面應變問題對于具有以下特征的構件，可作為平面應變問題看待：平面應變問題在工程和機械中，許多結構或構件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長管受到內水（油）壓力作用；圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應變問題。在工程和機械中，許多結構或構件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧還有一種情況，當構件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時，都可以簡化為平面應變問題。下面是這種情況下的應力、應變以及彈性力學的基本方程式。平面應變問題還有一種情況，當構件的縱向尺寸不很大但兩端面被位移：按平面應變的定義，三個方向的位移函數(shù)是

應變：由幾何方程應變-位移關系，得

不等于零的三個應變分量是εx、εy和γxy，而且應變僅發(fā)生在與坐標面xoy平行的平面內。平面應變問題位移：按平面應變的定義，三個方向的位移函數(shù)是應變：由幾何方程將，代入物理方程得將代入物理方程得在z軸方向沒有應變，但其應力σz并不為零。平面應變問題將，代入物理方程得將將代入物理方程得平面應變問題將代入物理方程得平面應變問題應力：如果用應變分量來表示應力分量，則有由上面的分析可知，獨立的應力分量只有

σx、σy

和txy

三個。平面應變問題應力：如果用應變分量來表示應力分量，則有由上面的分析可知，獨對于具有如下特征的構件，可作為平面應力問題處理。(1)物體沿一個坐標方向的尺寸(如沿z軸方向)遠小于沿其它兩個方向的尺寸，如圖所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周邊上，并與xoy面平行，板的側面沒有外力，體積力垂直于z軸；(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。

平面應力問題對于具有如下特征的構件，可作為平面應力問題處理。平面應力問題體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒有外力作用。即時體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上在平面應力問題中，認為等于零，但沿z軸的應變不等于零。這與平面應變的情況剛好相反。將代入物理方程，有

由于認為板內，將其代入物理方程，則有平面應力問題在平面應力問題中，認為等于零，但沿z軸的應變不等于是，物理方程的另外三式成為如果用應變分量來表示應力分量，上面三式變?yōu)橛谑?，物理方程的另外三式成為如果用應變分量來表示應力分量，上平面應變和平面應力問題物理方程比較：平面應力平面應變平面應變和平面應力問題物理方程比較：平面應力平面應變這里，分別為應力矩陣、應變矩陣。矩陣[D]稱為彈性矩陣。如果用和分別代換平面應力物理方程各式中的E和μ，就得到平面應變物理方程。因此，我們可以將兩類平面問題的物理方程寫成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為這里，分別為應力矩陣、應變矩陣。矩陣[D]稱為彈性矩陣。如果對于平面應力問題，彈性矩陣為對于平面應變問題的彈性矩陣，只須在上式中，以代E，代μ即可。對于平面應力問題，彈性矩陣為對于平面應變問題的彈性矩陣，只須小結小結小結平面應變和平面應力兩種平面問題的平衡微分方程、幾何方程和物理方程可寫成以下統(tǒng)一形式：平衡微分方程：幾何方程：物理方程：對于平面應力和平面應變問題來說，只須在彈性矩陣中，以代E，代μ即可。小結平面應變和平面應力兩種平面問題的平衡微分方程因此，在材料確定的情況下，基本的力學變量應該有：位移（u）、應變（ε）、應力（σ）量回顧§2-1彈性力學基本概念位移應變應力彈性模量物體的材料性能物體的受力狀態(tài)物體的變形程度物體變形后的形狀因此，在材料確定的情況下，基本的力學變量應該有：量回顧§2dydxdz彈性力學目的：對彈性體中的位移、應力、應變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）回顧dydxdz彈性力學目的：對彈性體中的位移、應力、應變進行定彈性體的基本假設為突出所處理的問題的實質，并使問題簡單化和抽象化，在彈性力學中，特提出以下幾個基本假定。物質連續(xù)性假定：物質無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述；物質均勻性假定：物體內各個位置的物質具有相同特性；物質(力學)特性各向同性假定：物體內同一位置的物質在各個方向上具有相同特性；線性彈性假定：物體的變形與外來作用力的關系是線性的，外力去除后，物體可恢復原狀；小變形假定：物體變形遠小于物體的幾何尺寸。以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點?；仡檹椥泽w的基本假設為突出所處理的問題的實質，并使問題簡a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz回顧§2-2彈性力學基本方程a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzy由力平衡條件有化簡得到1.平衡微分方程回顧由力平衡條件有化簡得到1.平衡微分方程回顧平衡微分方程的矩陣形式為其中，是微分算子

式中，b是體積力向量，

回顧平衡微分方程的矩陣形式為其中，是微分算子式中，b是體積力二維問題：平衡微分方程回顧二維問題：平衡微分方程回顧2.幾何方程：位移-應變的關系B1A1θ1θ2回顧2.幾何方程：位移-應變的關系B1A1θ1θ2回顧六個應變分量與三個位移分量間的全部關系式：回顧2.幾何方程：位移-應變的關系六個應變分量與三個位移分量間的全部關系式：回顧2.幾何方程幾何方程式的矩陣形式為為微分算子其中的轉置

回顧幾何方程式的矩陣形式為為微分算子其中的轉置回顧由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應力狀態(tài)下，處于彈性階段時，應力應變呈線性關系，即σx

=Eεx

這就是虎克定律。

彈塑性范圍斜率,E彈性范圍應力應變3.物理方程：應力-應變的關系（Hooke‘sLaw）由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應力狀態(tài)下，處于彈性階段時，工程上，一般將應變與應力間的關系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。工程上，一般將應變與應力間的關系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義彈性力學平面應力平面應變問題課件若令代表應變列陣和應力列陣，則應力-應變關系可寫成矩陣形式若令代表應變列陣和應力列陣，則應力-應變關系可寫成矩陣形式其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和

μ決定。其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和μ決定?；仡?.應力邊界條件彈性體在應力邊界上單位面積的面力為、、。設邊界外法線的方向余弦為，則邊界上彈性體的應力邊界條件可表示為其矩陣表達式為

(在上)其中，面積力向量，方向余弦矩陣為回顧4.應力邊界條件彈性體在應力邊界上單位面積的面5.位移邊界條件回顧已知位移邊界上彈性體的位移為，則有(在上)

用矩陣形式表示為：(在上)

5.位移邊界條件回顧已知位移邊界上彈性體的位移為彈性力學基本方程的一般形式為

平衡微分方程(在內)幾何方程(在內)物理方程(在內)邊界條件(在上)(在上)其中，為彈性體的完整邊界。小結回顧彈性力學基本方程的一般形式為平衡微分方程任何構件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內產(chǎn)生的應力、應變和位移必然是三向的。一般說來，它們都是三個坐標x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學空間問題。§2-3平面應變和平面應力問題任何構件都占有三維空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內產(chǎn)當構件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響，某些空間問題可以簡化為彈性力學的平面問題。這些問題中的應力、應變和位移僅為兩個坐標（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進而分為平面應變問題和平面應力問題兩大類。當構件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影平面應變問題設一構件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長度變化的外力（包括體積力X、Y，同時有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長度變化。平面應變問題設一構件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x這時，可以把構件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以視為對稱面，其上各點就不會產(chǎn)生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也與坐標z無關。則有u=u(x,y),v=v(x,y),w=0顯然，在這種條件下構件所有橫截面上對應點（x、y坐標相同）的應力、應變和位移是相同的。這樣，我們只需從構件中沿縱向截出單位厚度的薄片進行分析，用以代替整個構件的研究。平面應變問題這時，可以把構件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以對于具有以下特征的構件，可作為平面應變問題看待：構件縱向(如z軸方向)的尺寸遠大于橫向(x，y軸方向)尺寸；與縱向(z軸)垂直的各橫截面的尺寸和形狀均相同；所有外力均與縱軸(z軸)垂直，并且沿縱軸(z軸)沒有變化；(4)物體的約束(支承)條件不隨z軸變化。平面應變問題對于具有以下特征的構件，可作為平面應變問題看待：平面應變問題在工程和機械中，許多結構或構件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長管受到內水（油）壓力作用；圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應變問題。在工程和機械中，許多結構或構件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧還有一種情況，當構件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時，都可以簡化為平面應變問題。下面是這種情況下的應力、應變以及彈性力學的基本方程式。平面應變問題還有一種情況，當構件的縱向尺寸不很大但兩端面被位移：按平面應變的定義，三個方向的位移函數(shù)是

應變：由幾何方程應變-位移關系，得

不等于零的三個應變分量是εx、εy和γxy，而且應變僅發(fā)生在與坐標面xoy平行的平面內。平面應變問題位移：按平面應變的定義，三個方向的位移函數(shù)是應變：由幾何方程將，代入物理方程得將代入物理方程得在z軸方向沒有應變，但其應力σz并不為零。平面應變問題將，代入物理方程得將將代入物理方程得平面應變問題將代入物理方程得平面應變問題應力：如果用應變分量來表示應力分量，則有由上面的分析可知，獨立的應力分量只有

σx、σy

和txy

三個。平面應變問題應力：如果用應變分量來表示應力分量，則有由上面的分析可知，獨對于具有如下特征的構件，可作為平面應力問題處理。(1)物體沿一個坐標方向的尺寸(如沿z軸方向)遠小于沿其它兩個方