古代的數(shù)學迷宮圖形數(shù)

6/6古代的數(shù)學迷宮——圖形數(shù)古希臘人曾把數(shù)看作是位置不定的點的集合。甚至畢達哥拉斯還說過“數(shù)是萬物之源〞的那樣毫無道理的話。這樣,就不得不說,認為宇宙是由點構(gòu)成的所謂原子論,也可以歸結(jié)到來源于“點=數(shù)的集合〞的古希臘思想。假設把數(shù)當作是點的集合,那么,以多少個點表示數(shù)的問題,最終將變成可以看得見的圖形數(shù)是怎樣表示出來的問題。例如,數(shù)3可以用3個點來表示,也可用等分成三個單位長度來表示。如圖1－1。然而古希臘人更關心的是什么數(shù)能夠排列成正三角形、正方形等等美麗的圖形。畢達哥拉斯曾用小石頭,如圖1－2那樣,從上往下1個、2個、3個、4個地依次擺成正三角形,他指著小石頭叫別人數(shù)。當那個人數(shù)完1、2、3、4時,畢達哥拉斯卻說：“好啦,你說到的4,我看實際是10。〞畢達哥拉斯把10看成是一個神圣不可侵犯的數(shù)。他認為1表示點,2表示線,3表示面〔三角形〕,4表示體〔三角錐〕,總括起來這個美麗的正三角形數(shù)10,就可以表現(xiàn)宇宙。像10這樣可以排列出美麗的正三角形的數(shù)是很多的,這些數(shù)都可以叫做三角數(shù)〔如圖1－3〕。設以Tn來表示第n個三角數(shù),那么Tn就等于1、2、3…n個自然數(shù)的和,把它列成數(shù)學式就是：Tn=1＋2＋3＋…＋n能排列出正方形的數(shù)叫做四角數(shù)〔如圖1－4〕,四角數(shù)構(gòu)成了平方數(shù)。假設以Sn表示第n個四角數(shù),那么數(shù)學式就是：Sn=n2但是我們從圖1-5可以看出,四角數(shù)是由1開始只把奇數(shù)加起來構(gòu)成的。用數(shù)學式表示就是：Sn=1＋3＋5＋…＋〔2n-1〕=n2與四角數(shù)相對應,假設從2開始,只把偶數(shù)加起來就變成所謂的長方數(shù)〔如圖1－6〕,長方數(shù)也叫矩形數(shù)。以Rn表示第n個長方數(shù),它的數(shù)學式就是：Rn=2＋4＋…＋2n=n〔n＋1〕在作四角數(shù)和長方數(shù)時,可以用和角尺一樣的圖形。這種角尺狀圖形,數(shù)學上叫磬折形,其中表示的數(shù)叫磬折形數(shù)。兩個相鄰磬折形數(shù)之差,實際上是數(shù)列的級差。在三角數(shù)Tn、四角數(shù)Sn、長方數(shù)Rn之間存在著各種各樣的關系。如圖1－7所示,兩個三角數(shù)的和就等于一個長方數(shù)。2Tn=n〔n＋1〕從而,下式是可以成立的。假設我們仔細地觀察一下下面的兩個數(shù)列,不難發(fā)現(xiàn),相鄰的兩個三角數(shù)之和是等于一個四角數(shù)的。這種關系,如圖1－8,用數(shù)學式表示,那么可為：Tn-1＋Tn=Sn=n2讓我們再看看圖1－9,圖中用○符號表示的數(shù)是S5；用●表示的數(shù)是S6,由圖可以看出4T5＋1=S5＋S6從而,一般可以認為下式是成立的。4Tn＋1=Sn＋Sn＋1如果把含有符號×的全體考慮進去的話,那么很清楚地看出下式也是成立的。8Tn＋1=S2n＋1希臘人還研究過如圖1－10所示的五角數(shù)及圖1－11所示的六角數(shù)。他們把五角數(shù)排列成1、5、12、22、35…把六角數(shù)排列成1、6、15、28、45…設Pn表示第n個五角數(shù)；Hn表示第n個六角數(shù)。我們只要稍微觀察一下這兩個圖,就不難看出,以下的數(shù)學公式成立。Pn=Sn＋Tn-1,Hn=2Sn-n假設你觀察不出來,你可以把五角數(shù)中的○那局部看成是Sn,把●那局部看成是Tn-1,兩者相加不就是Pn了嗎；另外,可以把六角數(shù)中的●局部數(shù)兩遍,于是就可以把全體看成兩個四角數(shù),然后再減去多數(shù)一遍的●局部不就成了Hn了嗎。下面讓我們看看求三角數(shù)T1、T2…Tn之和的情況吧。為了醒目起見,我們把T1、T2、T3…Tn先各乘上3,然后把3T1、3T2、3T3…3Tn排列成如圖1－12所示的樣子,使之成為左右橫向是Tn行；上下縱向是n＋2列的長方形。于是由3〔T1+T2+…+Tn〕=〔n+2〕Tn可以得到下邊比擬易看的關系式：然后,我們還可以看看求四角數(shù)S1、S2…Sn之和的情況。因為每個四角數(shù),都是由1起,依次只把奇數(shù)加起來的和表示的,所以S1、S2…Sn的和就可以排列出如圖1－13所示的摩天樓樣形狀。圖中○表示奇數(shù)編號的四角數(shù)S1、S3、S5…●表示偶數(shù)編號的四角數(shù)S2、S4…假設在摩天樓的兩側(cè)各加上S1、S2…Sn的話,那么,從上到下的Tn行與從左到右的2n＋1列所形成的長方形就可以表示3S1、3S2…3Sn之和。因而3〔S1＋S2＋…＋Sn〕=〔2n＋1〕Tn故可將上式變成也就是可以得到下述的公式：13世紀中國數(shù)學家楊輝用堆積小立方體的方法證明了上述公式。他把12個、22個、32個…n2個小立方體堆積成A、B、C三個階梯狀的四角錐形。把這三個四角錐粘結(jié)在一塊,如圖1－15所示,在C上就會凸出來Tn個小立方體,如把這些凸出的小立方體切去一半放在A上,就可以形成一個底面是由作圖得出的結(jié)果,所以也得到以下公式：現(xiàn)在看看關于13、23…n3的求和公式。讓我們首先參看圖1－16左上角的那個最小的中間有點的小正方形,我們把它看成是1的正方形,設它各邊長為一單位,然后把它相鄰的兩邊各延長2單位,再作一個每邊長為1＋2=3的正方形。這樣在原來1的正方形右邊添加的磬折形數(shù)就是2個22的正方形,也就是22×2=23。為什么可以這樣說呢？我們只要注意到圖中打有雙重斜線的地方,正好和空白的地方相抵消,于是就可以說添加的就是兩個邊長各是2的正方形,其中一個打右斜線,另一個打左斜線。然后在相鄰的兩個邊上再延長3個單位長,作一個每邊長為1＋2＋3=6的正方形。于是,添加的磬折形數(shù)就是33〔3個32〕。進一步,相鄰兩邊再延長4個單位長,又出現(xiàn)了空白抵消掉雙斜線局部,添加了4個42,磬折形數(shù)成為43。這樣作出的正方形,因為每邊都是1＋2＋3＋4單位長度,所以就成為：13＋23＋33＋43=〔1＋2＋3＋4〕2其一般通式,可以證明為：13＋23＋…＋n3=〔1＋2＋3＋…＋n〕2希臘人不僅僅研究了把點排列在平面上的多角數(shù),而且還研究了把點排列在空間的錐形數(shù)。如果把點排列成三角錐的形狀,它的樣子就如圖1－17所示。其第n個三角錐數(shù)是再看看排列成四角錐形狀的圖形,就可以得出其第n個四角錐數(shù)應是：古希臘人不但由一個頂點引出射線,并在射線上取點作出多角數(shù)及錐形狀,而且還由圖形的中心點引出射線,依*射線作出了有心多角形。其有心三角形,如圖1－19所示是：1、4、10、19、31、46…圖中三條實線,每兩條線間都有三個點,連同線上的點,排列成一個三角數(shù)。其中中心點是三個三角數(shù)共有的,實線上的點是相鄰兩個三角數(shù)共有的。因此第n個有心三角數(shù)的通式應為：有心四角數(shù)如圖1－20所示為：1、5、13、25、41…同理,第n個有心四角數(shù),可以用下式表示：4Tn-1＋1=2n〔n-1〕＋1前邊的圖1－9也是一個有心四角數(shù)。你不妨翻開前邊看看,它對你理解有心四角數(shù)是會有幫助的。此外,還可以按上述方法,進一步研究有心五角數(shù)及有心六角數(shù)等等。那么,第n個有心五角數(shù)應該是由5Tn-1＋1給出,而第n個有心六角數(shù)那么是由6Tn-1＋1給出。如果在第n個有心六角數(shù)外邊,再附加上6個第n-1號的三角數(shù),那就可以作出一個星形六角數(shù)〔如圖1－22所示〕,其第n個星形六角數(shù),可以由12Tn-1＋1給出。我們從卡道納所編的?數(shù)學游戲Ⅲ?中得知：可以構(gòu)成平方數(shù)的星形六角數(shù)有一些性質(zhì)是很有意思的。例如,假設令第n個星形六角數(shù)6n〔n-1〕＋1等于一個平方數(shù)m2,即：m2=6n〔n-1〕＋1然后將上式的左邊乘3再加2,其值就可以表示成三個連續(xù)自然數(shù)的平方和,同時還可以表示成兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和,用數(shù)學式表示就是：3m2＋2=〔m-1〕2＋m2＋〔m＋1〕2=〔3n-2〕2＋〔3n-1〕2