平面的點(diǎn)法式方程課件

①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式1例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:

取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面的法向量為的平面的方2此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過(guò)三點(diǎn)的平面方程為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況3特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.4二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面5特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+6例2.

求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程(P327例4,自己練習(xí))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的7三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為8特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回9例4.

求兩平面解:應(yīng)用公式有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的夾角.因此例4.求兩平面解:應(yīng)用公式有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)10因此有例5.

一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此有例5.一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+11外一點(diǎn),求例6.

設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束外一點(diǎn),求例6.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到12例7.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.解:設(shè)球心為求內(nèi)切于平面x+y+z=13內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式機(jī)動(dòng)142.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:機(jī)動(dòng)15①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式16例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:

取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面的法向量為的平面的方17此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過(guò)三點(diǎn)的平面方程為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況18特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.19二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面20特殊情形?

當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+21例2.

求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程(P327例4,自己練習(xí))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的22三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為23特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回24例4.

求兩平面解:應(yīng)用公式有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的夾角.因此例4.求兩平面解:應(yīng)用公式有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)25因此有例5.

一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此有例5.一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+26外一點(diǎn),求例6.

設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束外一點(diǎn),求例6.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到27例7.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.解