第三講有效前沿與最優(yōu)證券組合課件

第三講有效前沿與最優(yōu)證券組合1第三講有效前沿與最優(yōu)證券組合1有效前沿的定義：定義3.1設(shè)S是N種證券的選擇集，如果其中存在一個(gè)子集F(p)，具有如下性質(zhì)：1.在給定的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最大的期望收益率。2.在給定的期望收益率中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最小的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）。則稱F(p)為有效前沿（efficientfrontier），簡稱前沿（邊界）。

2有效前沿的定義：23.1N種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿（一）兩種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a和b，方差和協(xié)方差分別為對任一組合p=(x，1-x)，x∈[0，1]，證券組合p的期望收益率和方差如下：33.1N種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿（一）兩種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的討論證券組合P的有效前沿形狀1）2）3）

4討論證券組合P的有效前沿形狀1）2種和3種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿

pBpC

ab=-12ab=1

4

3

CD

1B

AAOpOp圖3.1圖3.252種和3種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿p例題兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a=4.6%和b=8.5%，方差和協(xié)方差分別為求這兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效前沿。6例題兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a=4.6%N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿

p

Op圖3.3

E7N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿p（二)N中風(fēng)險(xiǎn)證券組合澤的有效前沿設(shè)市場上有N種風(fēng)險(xiǎn)證券，它們的收益率和方差為有限值，這些收益率的方差-協(xié)方差矩陣V為正定矩陣，N種證券的期望收益率為：N種證券組合P表示為：

證券組合期望收益率和方差分別為8（二)N中風(fēng)險(xiǎn)證券組合澤的有效前沿設(shè)市場上有N種風(fēng)險(xiǎn)證券，它

按有效前沿的定義，求有效前沿即要求解下規(guī)劃問題：99構(gòu)造拉格朗日函數(shù)一階條件：10構(gòu)造拉格朗日函數(shù)10由于V為正定陣，V的逆矩陣存在。求解得11由于V為正定陣，V的逆矩陣存在。求解得11對于另一個(gè)指定的，在前沿上的證券組合為：1212兩個(gè)證券組合的協(xié)方差為令，則得前沿上的證券組合方差為：13兩個(gè)證券組合的協(xié)方差為13

A/CMVP

O(1/C)1/2

p14

A/C3．2允許對無風(fēng)險(xiǎn)證券投資的有效前沿?zé)o風(fēng)險(xiǎn)證券（例如國庫券等）的期末收入是確定的。因此這種證券的方差為零，從而它和任何一種股票的協(xié)方差也為零。我們把無風(fēng)險(xiǎn)證券簡稱為債券。153．2允許對無風(fēng)險(xiǎn)證券投資的有效前沿?zé)o風(fēng)險(xiǎn)證券（例如國庫券一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券股票A和債券以記投入債券的比例，則是購買股票的比例。證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：16一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券股票A和債券16一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券得證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系：17一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券得證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差圖3.5

BAC。O18圖3.5BAC。O18兩種股票A和B，及一種債券有效前沿為從(0，rf)出發(fā)，與雙曲線AB相切的射線

C

ADBOe19兩種股票A和B，及一種債券有效前沿為從(0，rf)出發(fā)，與N種股票及一種債券問題

s.t構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：20N種股票及一種債券問題20

一階條件：21一階條件：21

得證券組合的投資比例其中證券組合的方差為或22得證券組合的投資比例22切點(diǎn)證券組合(tangencyportfolio)切點(diǎn)證券組合e的投資比例23切點(diǎn)證券組合(tangencyportfolio)23

切點(diǎn)的證券組合24切點(diǎn)的證券組合243.3最優(yōu)證券組合N種風(fēng)險(xiǎn)證券的情形設(shè)投資者的效用函數(shù)為，并設(shè)和，下標(biāo)1，2分別表示對U的第1，2個(gè)變元求導(dǎo)。意味著對給定的風(fēng)險(xiǎn)，投資者認(rèn)為期望回報(bào)率越大越好。意味著對給定的期望回報(bào)率，投資者認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越小越好。253.3最優(yōu)證券組合N種風(fēng)險(xiǎn)證券的情形25

這時(shí)投資者的問題可表述為s.t26這時(shí)投資者的問題可表述為26

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)一階條件27構(gòu)造拉格朗日函數(shù)27

一階條件變形得：從而得出：

28一階條件變形得：28

把代回X中可得最優(yōu)投資比例：

29把代回X中可得最優(yōu)投資比例：29

定理3.1當(dāng)市場上只有風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，任何投資者的最優(yōu)證券組合都是由和的凸組合構(gòu)成的。又最優(yōu)證券組合O*是投資者的無差異曲線和有效前沿的切點(diǎn)，故有：推論1任何效用無差異曲線和有效前沿的切點(diǎn)都是由和的凸組合構(gòu)成的。有效前沿又可以看成由所有切點(diǎn)組成，因而有：推論2有效前沿上任何一點(diǎn)都是和的凸組合。30定理3.1當(dāng)市場上只有風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，任何投資者的最優(yōu)證最優(yōu)證券組合存在無風(fēng)險(xiǎn)證券的情形

設(shè)N種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種債券，在風(fēng)險(xiǎn)證券上的投資比例為X，在無風(fēng)險(xiǎn)證券上的投資比例為（1–XI），從而證券組合的期望收益率31最優(yōu)證券組合存在無風(fēng)險(xiǎn)證券的情形31

證券組合的期望收益率投資者的問題可表示為：32證券組合的期望收益率32

一階條件最優(yōu)投資比例為在債券上的投資比例為(1–X*I)33一階條件33定理3.2(兩資金分離定理，two-fundseparation)當(dāng)市場上存在無風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，每個(gè)投資者有一個(gè)效用最大的證券組合，它由無風(fēng)險(xiǎn)證券和切點(diǎn)證券組合構(gòu)成。34定理3.2(兩資金分離定理，two-fundsepar計(jì)算方法與例題切點(diǎn)e證券組合的計(jì)算方法

35計(jì)算方法與例題切點(diǎn)e證券組合的計(jì)算方法35

例3.1設(shè)風(fēng)險(xiǎn)證券A和B分別有期望收益率r1=12%，r2=8%，方差分別為1=10和2=4，它們之間的協(xié)方差12=2，又設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率rf=6%，求切點(diǎn)證券組合Xe.三種解法。36例3.1設(shè)風(fēng)險(xiǎn)證券A和B分別有期望收益率r1=12%第三講有效前沿與最優(yōu)證券組合37第三講有效前沿與最優(yōu)證券組合1有效前沿的定義：定義3.1設(shè)S是N種證券的選擇集，如果其中存在一個(gè)子集F(p)，具有如下性質(zhì)：1.在給定的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最大的期望收益率。2.在給定的期望收益率中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最小的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）。則稱F(p)為有效前沿（efficientfrontier），簡稱前沿（邊界）。

38有效前沿的定義：23.1N種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿（一）兩種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a和b，方差和協(xié)方差分別為對任一組合p=(x，1-x)，x∈[0，1]，證券組合p的期望收益率和方差如下：393.1N種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿（一）兩種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的討論證券組合P的有效前沿形狀1）2）3）

40討論證券組合P的有效前沿形狀1）2種和3種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿

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ab=-12ab=1

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AAOpOp圖3.1圖3.2412種和3種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿p例題兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a=4.6%和b=8.5%，方差和協(xié)方差分別為求這兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效前沿。42例題兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B，A和B的期望收益率為a=4.6%N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿

p

Op圖3.3

E43N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿p（二)N中風(fēng)險(xiǎn)證券組合澤的有效前沿設(shè)市場上有N種風(fēng)險(xiǎn)證券，它們的收益率和方差為有限值，這些收益率的方差-協(xié)方差矩陣V為正定矩陣，N種證券的期望收益率為：N種證券組合P表示為：

證券組合期望收益率和方差分別為44（二)N中風(fēng)險(xiǎn)證券組合澤的有效前沿設(shè)市場上有N種風(fēng)險(xiǎn)證券，它

按有效前沿的定義，求有效前沿即要求解下規(guī)劃問題：459構(gòu)造拉格朗日函數(shù)一階條件：46構(gòu)造拉格朗日函數(shù)10由于V為正定陣，V的逆矩陣存在。求解得47由于V為正定陣，V的逆矩陣存在。求解得11對于另一個(gè)指定的，在前沿上的證券組合為：4812兩個(gè)證券組合的協(xié)方差為令，則得前沿上的證券組合方差為：49兩個(gè)證券組合的協(xié)方差為13

A/CMVP

O(1/C)1/2

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A/C3．2允許對無風(fēng)險(xiǎn)證券投資的有效前沿?zé)o風(fēng)險(xiǎn)證券（例如國庫券等）的期末收入是確定的。因此這種證券的方差為零，從而它和任何一種股票的協(xié)方差也為零。我們把無風(fēng)險(xiǎn)證券簡稱為債券。513．2允許對無風(fēng)險(xiǎn)證券投資的有效前沿?zé)o風(fēng)險(xiǎn)證券（例如國庫券一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券股票A和債券以記投入債券的比例，則是購買股票的比例。證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：52一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券股票A和債券16一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券得證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系：53一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券得證券組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差圖3.5

BAC。O54圖3.5BAC。O18兩種股票A和B，及一種債券有效前沿為從(0，rf)出發(fā)，與雙曲線AB相切的射線

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ADBOe55兩種股票A和B，及一種債券有效前沿為從(0，rf)出發(fā)，與N種股票及一種債券問題

s.t構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：56N種股票及一種債券問題20

一階條件：57一階條件：21

得證券組合的投資比例其中證券組合的方差為或58得證券組合的投資比例22切點(diǎn)證券組合(tangencyportfolio)切點(diǎn)證券組合e的投資比例59切點(diǎn)證券組合(tangencyportfolio)23

切點(diǎn)的證券組合60切點(diǎn)的證券組合243.3最優(yōu)證券組合N種風(fēng)險(xiǎn)證券的情形設(shè)投資者的效用函數(shù)為，并設(shè)和，下標(biāo)1，2分別表示對U的第1，2個(gè)變元求導(dǎo)。意味著對給定的風(fēng)險(xiǎn)，投資者認(rèn)為期望回報(bào)率越大越好。意味著對給定的期望回報(bào)率，投資者認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越小越好。613.3最優(yōu)證券組合N種風(fēng)險(xiǎn)證券的情形25

這時(shí)投資者的問題可表述為s.t62這時(shí)投資者的問題可表述為26

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)一階條件63構(gòu)造拉格朗日函數(shù)27

一階條件變形得：從而得出：

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把代回X中可得最優(yōu)投資比例：