數(shù)學(xué)建模競賽-獎學(xué)金評定模型

數(shù)學(xué)建模競賽---獎學(xué)金評定模型數(shù)學(xué)建模競賽---獎學(xué)金評定模型數(shù)學(xué)建模競賽---獎學(xué)金評定模型資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學(xué)建模競賽---獎學(xué)金評定模型版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：第七屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽主辦：東南大學(xué)教務(wù)處承辦：東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽組委會論文選題及題目：A獎學(xué)金評定問題參賽隊(duì)員信息：隊(duì)員1隊(duì)員2隊(duì)員3姓名劉海波仇?；勰铄吩合祪x科自動化公衛(wèi)手機(jī)獎學(xué)金評定問題模型摘要現(xiàn)行的獎學(xué)金評定制度多種多樣，但并不是每一種都很科學(xué)合理；題目要求用至少三種模型解決問題，因此本文基于不同的計(jì)算權(quán)重的算法，建立了四種模型：簡單加權(quán)平均值模型、標(biāo)準(zhǔn)化模型、層次分析模型以及模糊層次分析模型。逐步提高了權(quán)重算法的準(zhǔn)確性以及考慮因素的完備性，并借助C++、matlab、excel等軟件解決了問題。首先，我們對數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理。將除任選課以及人文課之外的科目有低于60分的同學(xué)淘汰，留下了40名同學(xué)。然后我們采用偏大型柯西分布和和對數(shù)函數(shù)構(gòu)造了一個隸屬函數(shù)：將任選課與人文課的等級評價轉(zhuǎn)化為百分制。在用AHP和FAHP建模的時候，由于每個同學(xué)的任選課與人文課的科目不盡相同，這對計(jì)算權(quán)重造成了很大的麻煩，為了簡化計(jì)算，我們采用了補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ簩⒚课煌瑢W(xué)已修的任選課和人文課的平均分作為這位同學(xué)未修課程的得分，因?yàn)槠骄衷谝欢ǔ潭壬峡梢员硎敬藢W(xué)生的學(xué)習(xí)能力。模型一（簡單加權(quán)平均值模型）：此模型將基礎(chǔ)課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權(quán)重看作是一樣的，以學(xué)分比重作為權(quán)值來計(jì)算平均分，然后借助C++計(jì)算平均成績，借助EXCEL軟件排序得到前10%的學(xué)生。模型二（標(biāo)準(zhǔn)化模型）：此模型考慮到了課程的難易程度對課程權(quán)值的影響，用標(biāo)準(zhǔn)化的方法將百分制的分值轉(zhuǎn)化為0~1，使得分?jǐn)?shù)域相同，這有效增強(qiáng)了其可比性，然后借助EXCEL軟件計(jì)算排序得到前10%的學(xué)生。模型三（層次分析模型）：此模型將課程性質(zhì)、學(xué)時和學(xué)分都看做方案層，課程權(quán)值視為目標(biāo)層，建立判斷矩陣，將課程性質(zhì)、學(xué)時、學(xué)分這些因素對目標(biāo)層的影響量化，運(yùn)用MATLAB分析計(jì)算出權(quán)值向量，進(jìn)而得到前10%的學(xué)生。結(jié)果為：70,30,86,2,20,75,60,84,64,72模型四（模糊層次分析法）：此模型有效地避免了層次分析法中建立判斷矩陣時的主觀因素以及一致性檢驗(yàn)時的繁瑣，相比較層次分析法更加嚴(yán)謹(jǐn)，用模糊一致矩陣量化各因素的影響，然后代入公式求得權(quán)值向量，進(jìn)而運(yùn)用MATLAB求得前10%的學(xué)生。最終結(jié)果為：70,30,86,75,60,2,17,64,20,72關(guān)鍵詞：獎學(xué)金評定問題，權(quán)值，隸屬函數(shù)、簡單加權(quán)平均值，標(biāo)準(zhǔn)化模型，層次分析模型，模糊層次分析模型目錄一、問題重述…………4二、問題分析…………4隸屬函數(shù)求解……………4模型求解公式……………………5三、模型的假設(shè)………5四、定義與符號說明…………………5五、模型的建立與求解………………51．模型1………………6建立模型及模型求解…………62．模型2………………7建立模型……………………7模型求解……………………73.模型3………………8建立層次結(jié)構(gòu)模型……………8構(gòu)造成對比較矩陣……………8一致性檢驗(yàn)及層次排序………9計(jì)算課程權(quán)重排序……………9數(shù)據(jù)處理及模型求解…………94.模型4………………10建立層次結(jié)構(gòu)模型……………10建立模糊一致判斷矩陣………11計(jì)算課程權(quán)重排序……………11數(shù)據(jù)處理及模型求解…………12六、模型的評價與推廣……………13模型的優(yōu)缺點(diǎn)……………………13最終結(jié)果比較……………………13建議與推廣………13參考文獻(xiàn)………………14附錄…………15一、問題重述幾乎學(xué)校的每個院系每年都會評定學(xué)生獎學(xué)金。設(shè)立獎學(xué)金的目的是鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)期間德智體全面發(fā)展。其中，年度的學(xué)習(xí)成績是獎學(xué)金評定的主要依據(jù)之一，因此，如何根據(jù)學(xué)生本年度的各門課成績來合理衡量學(xué)生很有必要。附件1是該學(xué)院某年級105名學(xué)生全年的學(xué)習(xí)情況。請你們隊(duì)根據(jù)附件信息，綜合考慮各門課程，至少用3到4種方法將成績最優(yōu)秀的10%的同學(xué)評選出來，作為進(jìn)一步獎學(xué)金評定的候選人，并比較這些方法的優(yōu)劣。你們隊(duì)的論文不應(yīng)超過15頁。論文應(yīng)明確說明你們隊(duì)是如何考慮課程性質(zhì)、學(xué)時、學(xué)分、成績等因素的，以及你們隊(duì)的主要結(jié)果及對該問題的建議。二、問題分析隸屬函數(shù)求解在初始數(shù)據(jù)中，任選課和人文課是使用等級表示的，我們用了隸屬函數(shù)法來將等級轉(zhuǎn)化為百分制。偏大型柯西分布隸屬函數(shù):我們規(guī)定A，B，C，D四個等級相應(yīng)的值為5，4，3，2。當(dāng)?shù)燃墳锳時，隸屬度為1，即x=5，f(5)=1；等級為C時，隸屬度為，即x=3，f(3)=;等級為E(此處沒有該類型評價，出于考慮問題方便使用)時，隸屬度為，即x=1，f(1)=。計(jì)算可得。因而可得：畫出隸屬函數(shù)圖像：根據(jù)圖像我們?nèi)∪缦潞瘮?shù)值：f(2)=,f=，f=，f=,即：A=，B=，C=，D=。模型求解公式我們用到了四種模型來求解權(quán)重，代數(shù)法的計(jì)算公式為：單科分?jǐn)?shù)*單科學(xué)分標(biāo)準(zhǔn)化模型計(jì)算公式為：平均成績=某科成績-最低分最高分-最低分綜合成績=i=1最后用權(quán)重向量乘以成績矩陣就可以得到關(guān)于綜合成績的矩陣。三、模型假設(shè)1．假設(shè)參評人不會以任何手段來獲取評委的特殊照顧，僅以成績做為參考憑證。2．假設(shè)所有參評人所獲得的學(xué)分為準(zhǔn)確，全面，真實(shí)。

3．假設(shè)該評定流程是按嚴(yán)格正規(guī)的官方流程進(jìn)行。

4．獎學(xué)金評判標(biāo)準(zhǔn)除了受體中所給因素影響外不再受其他條件影響。5．假設(shè)未修的任選課和人文課的成績?yōu)樵搶W(xué)生已修任選課和人文課的平均分。

四、符號說明表示隸屬函數(shù)的參數(shù)；x：學(xué)生的某科的成績max：代表每科的最高分min：代表每科的最低分i，n：代表科目數(shù)X：表標(biāo)準(zhǔn)化后的成績W：代表權(quán)重向量：比較判斷矩陣的特征值max：最大特征向量CI：一致性指標(biāo)CR：一致性比率RI：平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R：模糊一致矩陣A：模糊層次中的因素r：模糊層次中的數(shù)量標(biāo)度w：模糊層次中的各因素的權(quán)重五、模型建立與求解方法一：簡單加權(quán)平均值模型對于綜合成績的評定，我們假設(shè)基礎(chǔ)課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權(quán)重是一樣的，獎學(xué)金評定的標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的具體化，對學(xué)生全面發(fā)展具有導(dǎo)向作用。沒有一門課程是可以被忽視的。為了更加直接的比較出每位同學(xué)的綜合成績，我們沒有將分?jǐn)?shù)向績點(diǎn)來轉(zhuǎn)化，而是直接用代入分?jǐn)?shù)的方法來計(jì)算。這樣得到的結(jié)果一般不會出現(xiàn)相同成績的兩位同學(xué)，有利于我們很直觀的選出前10%的同學(xué)，較具有科學(xué)性。綜合成績的計(jì)算取決于實(shí)際考試分?jǐn)?shù)和學(xué)分2個因素。計(jì)算學(xué)分成績時，把學(xué)分在該學(xué)年所取得的實(shí)際總學(xué)分中的比重作為權(quán)重，對每門科目進(jìn)行加權(quán)得出一個加權(quán)成績，我們認(rèn)為學(xué)分在獎學(xué)金評定模型中的作用基本合理，問題應(yīng)集中在實(shí)際考試分?jǐn)?shù)上。所用公式：

單科分?jǐn)?shù)*單科學(xué)分建立模型及模型求解由題目描述可知，任選課和人文課的成績是以的等級的形式呈現(xiàn)的，所以我們通過上面的方法將其分?jǐn)?shù)化得：A=、B=、C=、D=。然后我們將符合條件（除選修課外無不及格科目）的同學(xué)篩選出來，共剩下40位同學(xué)。接下來我們通過計(jì)算機(jī)來計(jì)算得到每位同學(xué)的綜合成績，c++關(guān)鍵代碼見附錄.4、最后我們應(yīng)用excel自帶的排序功能排序得到綜合成績前10%的同學(xué)。得到如下表的綜合成績排名：表1-1學(xué)生序號綜合成績學(xué)生序號綜合成績7044301861875451636053293807499621291649331084132096722917817369541039222278根據(jù)上表，得到前十名學(xué)生序號為：70,30,86,75,51,60,2,80,99,12.方法二：標(biāo)準(zhǔn)化模型獎學(xué)金評定的公平性在整個評定過程中必須放在首要位置。但是由于各科老師的給分習(xí)慣的差異以及任選課和人文課采取等級評分制，使得在獎學(xué)金評定時計(jì)算學(xué)生成績會出現(xiàn)諸多不便，如等級A，B，C，D怎么算才是相對公平的。所以如何減小這些影響評定公平性的因素是我們必須認(rèn)真解決的問題。首先，考慮到每位老師給分習(xí)慣的不同，我們考慮極值標(biāo)準(zhǔn)化的方法，將百分制的分值轉(zhuǎn)化為0~1，使得分?jǐn)?shù)域相同，這有效增強(qiáng)了其可比性。建立模型公式：X=x-minmax-min；Y=average模型求解1.利用Excel中的Min和Max函數(shù)將每科的最高分max和最低分min找出；2.極值標(biāo)準(zhǔn)化公式X=x-minmax-min3.將歸一化后所得的數(shù)據(jù)以學(xué)生為單位，計(jì)算出每位學(xué)生的平均成績；4.對最終計(jì)算得出的平均成績按降序進(jìn)行排序，篩選出前十名的同學(xué)最終得到如下表格表2-1成績排名學(xué)號總和平均值學(xué)號總和平均值7053301875133748662212519184106042096804472137369922799296481639932217854103根據(jù)上表得到前十名學(xué)生序號為：70,30,75,33,86,2,51,84,60,20.方法三：層次分析法（AHP）考慮到光以學(xué)分為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)平均不能完全代表各個學(xué)生的真實(shí)成績，因?yàn)楦鏖T課之間的重要程度的因素是很多的，不能單一地以學(xué)分多少作為評價課程重要程度的依據(jù)。因此我們計(jì)劃將課程性質(zhì)、學(xué)時與學(xué)分綜合作為考察一個課程重要程度的依據(jù)，并以此作為加權(quán)平均的權(quán)重，下面是先用層次分析法對課程性質(zhì)進(jìn)行重要程度排序。然后根據(jù)公式：綜合成績=i=1求出綜合成績。（在這里，將21門課的學(xué)分*學(xué)時比重*課程性質(zhì)總學(xué)分建立層次結(jié)構(gòu)模型課程重要程度基礎(chǔ)課必選課專業(yè)課任選課人文課構(gòu)造成對比較矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了各因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同。

我們就通過各因素兩兩比較來確定比較判斷矩陣表標(biāo)度的具體含義標(biāo)度含義1表示兩個因素相比，具有相同重要性3表示兩個因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中間值根據(jù)上述標(biāo)準(zhǔn)就可以構(gòu)造判斷矩陣：A=一致性檢驗(yàn)及層次排序用MATLAB的eig函數(shù)算出判斷矩陣A的最大特征值為：max=查表得n=5相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=一致性指標(biāo)CI的計(jì)算：CI=max-一致性比率CR的計(jì)算：CR=CIRI≈CR<，我們可以認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。用MATLAB計(jì)算矩陣A的最大特征向量并做歸一化處理得：w=,,,,T得到的向量w就是根據(jù)AHP得到的五種課程的權(quán)重排序。計(jì)算課程權(quán)重排序上述的權(quán)重排序僅考慮了課程性質(zhì)，再對各種課程性質(zhì)中不同課程學(xué)時的不同對各課程再排序。下表是各課程所對應(yīng)的學(xué)時數(shù)：表課程對應(yīng)學(xué)時表基礎(chǔ)課課程14課程2~課程53課程62專業(yè)課課程7~課程82課程93必選課課程10~課程153任選課課程16~課程193人文課課程20~課程212在這里，我們以學(xué)時數(shù)考慮相同課程性質(zhì)內(nèi)不同課程的重要程度，一般認(rèn)為學(xué)時數(shù)越多的課程越重要，所以用（各課程學(xué)時數(shù)/各性質(zhì)課程總學(xué)時數(shù)）作為權(quán)重進(jìn)一步優(yōu)化權(quán)重向量；同樣地，學(xué)分的多少也是一種評價課程重要程度的依據(jù)，所以用（各課程學(xué)分?jǐn)?shù)/總學(xué)分）作為權(quán)重加入權(quán)重向量W中。數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個41x21的成績矩陣A，用A與權(quán)重向量W相乘，得到所有學(xué)生的綜合成績表如下表綜合成績表學(xué)生序號綜合成績學(xué)生序號綜合成績1602624638649691070127213731774187520802281278429863091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)輸入EXCEL，運(yùn)用EXCEL的排序功能得到綜合成績排序：表綜合成績排序表學(xué)生序號綜合成績學(xué)生序號綜合成績7099301886532802096756260928429649724474541327518112417693316391938102273103從上表中，我們可以看到前十名的學(xué)生序號為：70,30,86,2,20,75,60,84,64,72.方法四：模糊層次分析法（FAHP）AHP的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是建立判斷矩陣，判斷矩陣是否科學(xué)、合理直接影響到AHP的效果，而判斷矩陣的建立往往具有主觀性，并且判斷矩陣一致性的判斷標(biāo)準(zhǔn)：CR<缺乏科學(xué)依據(jù)，而模糊層次分析法可以較好地規(guī)避這些問題。下面是先用模糊層次分析法得到課程性質(zhì)的權(quán)值向量W’，再根據(jù)公式：綜合成績=i=1求出綜合成績。（在這里，將21門課的學(xué)分*學(xué)時比重*課程性質(zhì)總學(xué)分建立層次結(jié)構(gòu)模型建立模糊一致判斷矩陣下表為模糊一致判斷矩陣的數(shù)量標(biāo)度：表4-1數(shù)量標(biāo)度標(biāo)度說明兩元素相比，同等重要兩元素相比，一元素稍微重要兩元素相比，一元素明顯重要兩元素相比，一元素重要得多兩元素相比，一元素極端重要,,,若元素ai與元素aj相比較得到判斷rij，則元素aj與元素ai比較得到的判斷為rji=1-rij有了上面的數(shù)字標(biāo)度后，可得到如下模糊判斷矩陣,并根據(jù)模糊一致矩陣的充要條件進(jìn)行調(diào)整，具體步驟如下：第一步：假設(shè)將第一行元素r11,r12……r15視為有把握的； 第二步：用R的第一行元素減去第二行對應(yīng)元素，若所得的一個差數(shù)為常數(shù)，不需調(diào)整第二行元素。否則，要對第二行元素進(jìn)行調(diào)整，直到第一行元素減第二行的對應(yīng)元素之差為常數(shù)為止。第三步：用R的第一行元素減去第三行的對應(yīng)元素，若所得的n個差數(shù)為常數(shù)，則不需調(diào)整第三行的元素。否則，要對第三行的元素進(jìn)行調(diào)整，直到第一行元素減去第三行對應(yīng)元素之差為常數(shù)為止。上面步驟如此繼續(xù)下去直到第一行元素減去第行對應(yīng)元素之差為常數(shù)為止。由以上步驟可以得到如下模糊一致矩陣：R=0.5計(jì)算課程權(quán)重排序下面引入幾個定理：定理設(shè)R是n階模糊矩陣,則R是模糊一致矩陣的充分必要條件是存在一n階非負(fù)歸一化的向量W=(w1,w2,…,wn)T及一正數(shù)a,使得對于任意的I,jrij=a(wi-wj)+（1）定理（必要性）若R是模糊一致矩陣,則其權(quán)重可由(2)式計(jì)算：Wi=1n-12a+1na*k=1其中，a≥(n-1)/2,i=1,2,3,4,5.運(yùn)用以上定理，在本模型中，不妨設(shè)a=2,分別代入i=1,2,3,4,5于（2）式中得到：W1=,W2=,W3=,W4=,W5=所以，W’=,,,,T再將學(xué)時比重和學(xué)分對權(quán)重向量的影響考慮進(jìn)來得到權(quán)重向量W.數(shù)據(jù)處理及模型求解在MATLAB中，建立一個41x21的成績矩陣A，用A與權(quán)重向量W相乘，得到所有學(xué)生的綜合成績表如下：表4-2學(xué)生綜合成績表學(xué)生序號綜合成績學(xué)生序號綜合成績1602624638649691070127213731774187520802281278429863091339244935196539954103將上表所有數(shù)據(jù)輸入EXCEL，運(yùn)用EXCEL的排序功能得到綜合成績排序：表4-3綜合成績排序表學(xué)生序號綜合成績學(xué)生序號綜合成績7013309186547529609626217106412209972695318512733180492447388496381742293103從上表中，我們可以看到前十名的學(xué)生序號為：70,30,86,75,60,2,17,64,20,72.六、模型評價與推廣模型的優(yōu)缺點(diǎn)本文用到了四種模型，它們各有其優(yōu)缺點(diǎn)。第一種模型：簡單加權(quán)平均值模型，簡潔易懂，有利于數(shù)據(jù)的篩選。這種模型的缺點(diǎn)也很明顯，它直接采用分?jǐn)?shù)的比較，有可能會受到不同教師打分不同及標(biāo)準(zhǔn)差不同的問題、不同科目難度不同的問題。第二種模型：標(biāo)準(zhǔn)化模型，在此模型下，所有的成績都轉(zhuǎn)化為0~1之間的數(shù)，使課程分?jǐn)?shù)域相同，這有效解決了各科老師給分習(xí)慣導(dǎo)致的評