導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)和例題

1.導(dǎo)數(shù)的概念(要求熟悉)1.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即。1.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義（要求掌握）1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處切線的斜率，即；2.求切線方程的步驟：（注：已知點(diǎn)在已知曲線上）①求導(dǎo)函數(shù)；②求切線的斜率；③代入直線的點(diǎn)斜式方程：，并整理。3.求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟：①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)；②求導(dǎo)函數(shù)；③求切線的斜率；④由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于的方程，解方程求；⑤點(diǎn)在曲線上，將代入求，得切點(diǎn)坐標(biāo)。1.3導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（要求掌握）1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：①；②；③；④1.4函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）在區(qū)間內(nèi)，>0,f(x)為單調(diào)遞增；<0,f(x)為單調(diào)遞減。（2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個(gè)步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；③令解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間；④令解不等式，得x的范圍就是遞減區(qū)間。（3）用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；②判斷的符號(hào)；③給出單調(diào)性結(jié)論。1.5函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（要求掌握）1．極值的定義：若導(dǎo)數(shù)在附近左正右負(fù)，則在處取得極大值；若左負(fù)右正，則取得極小值。2．求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③求方程f′(x)=0的根；④列表，方程的根將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，把在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個(gè)表格內(nèi)；⑤判斷，得結(jié)論。1.6函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（要求掌握）函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)在內(nèi)的極值；②將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，得出函數(shù)在上的最值。一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是()A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值C．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值D．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值[答案]C[解析]導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)，故A錯(cuò)；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有()A．極小值－2，極大值2B．極小值－2，極大值3C．極小值－1，極大值1D．極小值－1，極大值3[答案]D[解析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1當(dāng)x<－1時(shí)，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，當(dāng)－1<x<1時(shí)，y′>0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是增函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極小值，y極?。剑?.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，y極大＝3.3．設(shè)x0為f(x)的極值點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0時(shí)取得極小值，但f′(0)不存在．4．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，有一點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)是這一點(diǎn)為極值的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]只有這一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)才是充要條件．5．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：①f(x)是增函數(shù)，無極值；②f(x)是減函數(shù)，無極值；③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②錯(cuò)誤．6．函數(shù)f(x)＝x＋1x的極值情況是()A．當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2，但無極大值B．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2，但無極小值C．當(dāng)x＝－1時(shí)，極小值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極大值為2D．當(dāng)x＝－1時(shí)，極大值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2[答案]D[解析]f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極大值－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取極小值2.7．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)[答案]A[解析]由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)．8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是()A．有極小值B．有極大值C．既有極大值又有極小值D．無極值[答案]D[解析]∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1令y′＝0得x＝1，當(dāng)x>1時(shí)，y′>0，當(dāng)x<1時(shí)，y′>0，∴函數(shù)無極值，故應(yīng)選D.9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極值是()A．極大值為427，極小值為0B．極大值為0，極小值為427C．極大值為0，極小值為－427D．極大值為－427，極小值為0[答案]A[解析]由題意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，極大值f13＝427，極小值f(1)＝0.10．下列函數(shù)中，x＝0是極值點(diǎn)的是()A．y＝－x3B．y＝cos2xC．y＝tanx－xD．y＝1x[答案]B[解析]y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右負(fù)，∴x＝0是函數(shù)的極大值點(diǎn)．二、填空題11．函數(shù)y＝2xx2＋1的極大值為______，極小值為______．[答案]1－1[解析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極小值－1，當(dāng)x＝1時(shí)，取極大值1.12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．[答案]a＋42a－42[解析]y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y′>0，得x>2或x<－2，令y′<0，得－2<x<2，∴當(dāng)x＝－2時(shí)取極大值a＋42，當(dāng)x＝2時(shí)取極小值a－42.13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.[答案]－3－9[解析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達(dá)定理應(yīng)有14．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．[答案](－2,2)[解析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，y＝f(x)的大致圖象如圖觀察圖象得－2<a<2時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．三、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x變化時(shí)，f′(x)的符號(hào)變化情況及f(x)的增減性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增極大值f(－1)減極小值f(3)增(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)；(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應(yīng)的極值．[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝12x3－32x.∴f′(x)＝32x2－32.令f′(x)＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值1極小值－1由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極小值－1.17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．(2)曲線方程為y＝x3－3x.點(diǎn)A(0,16)不在曲線上．設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x30－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上，有16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化簡得x30＝－8，解得x0＝－2.∴切點(diǎn)為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0.18．(2010?北京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個(gè)根分別為1,4.(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．[解析]本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用．由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c∵f′(x)－