幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)課件

幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)

1編輯版ppt幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)

1編輯版ppt

目錄

一圖形移置二圖形對稱三晶體中的對稱元素

1晶體與非晶體

2晶體的特征對稱元素

3晶體的宏觀對稱元素

4晶體的微觀對稱元素2編輯版ppt目錄2編輯版ppt四有限圖形與無限圖形的對稱元素組合定理

1概述

2基本組合定理

3對稱群及其表示(幾何學(xué)，代數(shù)學(xué))五32點(diǎn)群與47單形六14平移群與14平移點(diǎn)陣七230空間群八結(jié)語3編輯版ppt四有限圖形與無限圖形的對稱元素組合定理3編輯版ppt一、圖形移置

移置系指研究相等圖形之間的相互位置的問題。如果相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)相等圖形有相同的定向，則稱迭合相等；如果相互關(guān)聯(lián)的兩相等圖形有相反定向，則稱對映相等。在三維空間的幾何圖形移置總共含有以下八種類型：4編輯版ppt一、圖形移置移置系指研究相等圖形之間的相互位置的問題。1平面反映若移置圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線垂直于平面并被平分，且互為對映鏡像，稱為平面反映移置，由它聯(lián)系的兩個(gè)圖形互為對映相等(圖)，此類移置稱為第二類移置。如圖中的定向四面體：5編輯版ppt1平面反映5編輯版ppt2點(diǎn)反射(倒反)

被移置圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被一點(diǎn)(反射點(diǎn))平分，二圖形互呈對映鏡像(圖)，為第二類移置。6編輯版ppt2點(diǎn)反射(倒反)6編輯版ppt3旋轉(zhuǎn)相等圖形(A與A′)中的對應(yīng)點(diǎn)連線垂直于旋轉(zhuǎn)軸(N)且與軸呈相等距離，處于同一平面內(nèi)，稱為第一類移置。呈迭合相等圖形。7編輯版ppt3旋轉(zhuǎn)7編輯版ppt4.1旋轉(zhuǎn)反映

圖形移置包含兩個(gè)步驟：先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2/N)，然后再以垂直于N軸的平面進(jìn)行反映(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反映。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對映相等，屬第二類移置。8編輯版ppt4.1旋轉(zhuǎn)反映8編輯版ppt4.2旋轉(zhuǎn)反射

圖形移置包括兩個(gè)步驟，先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2/N)，然后再以軸上的一點(diǎn)倒反(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反射。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對映相等，屬第二類移置。且所有連接對應(yīng)點(diǎn)的線段均被倒反中心平分。9編輯版ppt4.2旋轉(zhuǎn)反射9編輯版ppt5平移圖形從起始位置按給定周期移置，該移置稱為平移，相關(guān)聯(lián)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。10編輯版ppt5平移10編輯版ppt6滑移反映

移置含有兩個(gè)步驟:圖形先經(jīng)平面反映，相繼進(jìn)行平行于平面的平移，該移置稱為滑移反映移置。相等圖形互呈對映相等，屬第二類移置。11編輯版ppt6滑移反映11編輯版ppt7螺旋旋轉(zhuǎn)包含兩個(gè)移置步驟：先繞N軸旋轉(zhuǎn)2/N，然后在沿N軸方向平移t/N(t為整數(shù)，等于(N-1)/N)，該移置稱為螺旋旋轉(zhuǎn)移置，相關(guān)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。12編輯版ppt7螺旋旋轉(zhuǎn)12編輯版ppt8恒等(不動)移置

為繞N軸旋轉(zhuǎn)2(即不動)的移置。顯見為第一類移置。

第一類移置：包含平移，旋轉(zhuǎn)(含恒等)，螺旋旋轉(zhuǎn)，圖形為迭合相等；第二類移置：倒反，平面反映，旋轉(zhuǎn)反映，旋轉(zhuǎn)反射，滑移反映，圖形為對映相等。13編輯版ppt8恒等(不動)移置13編輯版ppt二圖形的對稱1圖形的對稱特征任何一個(gè)對稱圖形可分為若干個(gè)相等部分；而且在圖形移置中包含有至少一個(gè)不動的幾何元素(點(diǎn)、線、面)。則對應(yīng)的幾何元素定義為：倒反(對稱中心)、對稱面(反映面)、對稱軸、反軸、平移、螺旋軸、滑移面共七類。14編輯版ppt二圖形的對稱1圖形的對稱特征14編輯版ppt2對稱是圖形移置的特例系指移置后的圖形是其自身重復(fù)。對稱是圖形移置的特例。雖然上述描述僅僅是從幾何學(xué)入手的一種方法，但具有直觀、形象、幾何關(guān)系清晰等特點(diǎn)。如果把實(shí)現(xiàn)圖形對稱變換過程中不動幾何元素視為基本元(要)素，那么這些對稱元素就能組合成一定的集合－群。15編輯版ppt2對稱是圖形移置的特例15編輯版ppt

對稱是物質(zhì)世界的基本幾何屬性，它是在一定的測量精度范圍內(nèi)的一種相對規(guī)律。比如平移對稱元素就是這一相對規(guī)律的最好例證。晶體對稱性是在晶體這種特定的物質(zhì)圖形上的具體反映。這是從幾何學(xué)角度認(rèn)識圖形對稱性質(zhì)的方法。

16編輯版ppt對稱是物質(zhì)世界的基本幾何屬性，它是在一定的測量精度范

若一個(gè)圖形可分為若干個(gè)相等部分，經(jīng)移置后能自身重復(fù)，同時(shí)圖形中含有不動的幾何元素(點(diǎn)、線、面)，則稱該圖形具有對稱性。不動的幾何元素就稱為對稱元素。在傳統(tǒng)的幾何晶體中可概括為：對稱軸N、對稱面m、反軸-N、對稱中心-1、平移T、螺旋軸Nt與滑移面mt，字母所示為相應(yīng)的國際通用符號。17編輯版ppt若一個(gè)圖形可分為若干個(gè)相等部分，經(jīng)移置后能自身重復(fù)，同3.1對稱操作

如圖所示(正三角形、正方形)幾何圖形經(jīng)過某一對稱元素操作后，圖形自身重復(fù)，此操作稱為對稱操作。在完成幾何圖形的對稱操作過程中，圖形中任意兩點(diǎn)間的距離不變。如果幾何圖形在移置中至少有一點(diǎn)不動，則稱為點(diǎn)操作；否則稱為空間對稱操作。3對稱操作與對稱變換18編輯版ppt3.1對稱操作3對稱操作與對稱變換18編輯版ppt3.2對稱變換

如果將圖形抽象為一個(gè)幾何點(diǎn)，并且引入一個(gè)參考系(坐標(biāo)系)，使坐標(biāo)軸(系)與對稱元素形成一定的聯(lián)系。如包含3(或6)次軸的坐標(biāo)系，要求3(或6)次軸平行于坐標(biāo)系的Z軸。此時(shí)一個(gè)幾何圖形的對稱操作(幾何學(xué))就表現(xiàn)為在OXYZ坐標(biāo)系中，諸點(diǎn)間(A→A′→A′′→A′′′)的變換，這一變換的特點(diǎn)不是以圖形表示而是以他們在坐標(biāo)系中的點(diǎn)位置(xyz)，(x′y′z′)來形成一個(gè)點(diǎn)系，并以符號的形式記錄下這一對稱操作過程，稱之為對稱變換。它是實(shí)正交變換中的一個(gè)重要內(nèi)容。相應(yīng)于圖形(晶體)對稱操作的點(diǎn)系對稱變換是掌握實(shí)正交變換的一個(gè)經(jīng)典實(shí)例。19編輯版ppt3.2對稱變換19編輯版ppt三晶體中的對稱元素1晶體與非晶體

自然界中的各種元素以及由它們形成的各類化合物，通常以三種聚集態(tài)出現(xiàn)：固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)。以固態(tài)形式存在的物質(zhì)是由原子(或離子、分子)在三維空間的堆積形成。如果原子(或離子、分子)是按照一種確定的方式在三維空間做嚴(yán)格的周期性的排列，即相隔一定的距離(即周期)重復(fù)出現(xiàn)，這樣的物質(zhì)稱為單晶體，如：食鹽、糖、水晶等，一般稱之為晶體；如果原子(或離子、分子)在空間的分布不具備這種嚴(yán)格的周期規(guī)律就稱為非晶體，如：玻璃、塑料、松香、陶瓷等。20編輯版ppt三晶體中的對稱元素1晶體與非晶體20編輯版ppt

如果一個(gè)晶體是由許多具有隨機(jī)取向的單晶體組成，稱之為多晶體或粉晶；如果一個(gè)晶體是由兩個(gè)單晶體按照特定的取向生長結(jié)合在一起的就稱之為孿晶。有機(jī)分子的晶體一般都是從溶液中通過結(jié)晶過程(一種準(zhǔn)平衡態(tài)現(xiàn)象)獲得的。按照不同的結(jié)晶條件有時(shí)可以得到多晶、孿晶或單晶體。21編輯版ppt如果一個(gè)晶體是由許多具有隨機(jī)取向的單晶體組成，稱之為晶體的周期結(jié)構(gòu)使它具備下述這些性質(zhì)：(1)確定的熔點(diǎn)。(2)在合適的結(jié)晶條件下可以形成結(jié)晶多面體。例如食鹽晶體具有立方體外形，各種天然有機(jī)分子的結(jié)晶常表現(xiàn)為針(柱)狀，片狀或塊狀甚至是多面體形式，這表明在微觀狀態(tài)的原子(離子、分子)的規(guī)律排列與在宏觀狀態(tài)下的晶體外形的相容性。象其他的一些幾何圖形一樣，晶體具有確定的幾何性質(zhì)-對稱性質(zhì)，它是晶體的一種基本屬性。(3)各向異性。即在晶體的不同方向上可以表現(xiàn)出不同的物理性質(zhì)，如光學(xué)、力學(xué)、磁學(xué)性質(zhì)等。(4)均勻性。同一塊晶體，其各部分的宏觀性質(zhì)相同。22編輯版ppt晶體的周期結(jié)構(gòu)使它具備下述這些性質(zhì)：22編輯版ppt2晶體的特征對稱元素-平移晶體，作為一種幾何圖形，一方面它將表現(xiàn)出一般幾何圖形所具有的對稱元素，另一方面也將具有其特殊的對稱元素。

1784年阿羽依在研究方解石性質(zhì)時(shí)曾認(rèn)為：晶體可能是由一些“微?！敝貜?fù)排列而成。1912年勞厄的X射線衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了晶體是由原子按照嚴(yán)格的周期排列規(guī)律而成。23編輯版ppt2晶體的特征對稱元素-平移23編輯版ppt

假定以不在一個(gè)平面上的3個(gè)矢量t1t2t3作為描述圖像周期排列特征的量，那么在晶體結(jié)構(gòu)上存在的周期性含義是：若以M表示晶體的某一狀態(tài)(幾何的、物理的)，r表示晶體內(nèi)某一點(diǎn)的位置，則有：

M(r)＝M[r+(m1t1+m2t2+m3t3)]

式中m1、m2、m3為整數(shù)。上式表示在r處與在r+(m1t1+m2t2+m3t3)處的狀態(tài)是相同的(即對稱的)。因此，反映物質(zhì)圖像周期性這一對稱性質(zhì)可以用t1

t2

t3

3個(gè)矢量組成的一個(gè)平行六面體來描述。這些平移矢量就是晶體的特征對稱元素，簡稱平移，記為T。在晶體中允許出現(xiàn)的平移矢量有七種：t1、t2、t3、(t1+t2)/2、(t2+t3)/2、(t1+t3)/2、(t1+t2+t3)/224編輯版ppt假定以不在一個(gè)平面上的3個(gè)矢量t1t2t3作為描

按對稱的定義，在平移對稱元素的作用下晶體的微觀圖形應(yīng)該是自身重復(fù)的。若沿t1，t2，t3方向平移，圖形將重復(fù)，這意味著周期排列的原子分布圖像應(yīng)該是一個(gè)無限的點(diǎn)陣形式，通常引入“空間點(diǎn)陣”這一幾何形象來描述晶體的平移對稱特征。平移對稱元素是晶體的特征對稱元素，所謂晶體系指其原子(離子、分子)間存在著嚴(yán)格確定的平移對稱元素。由于它的存在限制了在晶體中(結(jié)晶多面體與微觀結(jié)構(gòu))允許存在的對稱元素的形式。近年來發(fā)現(xiàn)的“準(zhǔn)晶體”則是不具有“平移對稱元素”的另一種固體存在形式。

25編輯版ppt按對稱的定義，在平移對稱元素的作用下晶體的微觀圖形應(yīng)該3晶體的宏觀對稱元素

在晶體的宏觀觀察(目測或顯微鏡)中所表現(xiàn)的對稱性稱為宏觀對稱性或外形對稱性。顯然，晶體的外形是一幅有限的閉合的幾何圖形，并以晶面、晶棱、頂點(diǎn)這些幾何要素描述它的形態(tài)特征。晶體的宏觀對稱中允許存在的對稱元素僅有對稱軸、對稱面、對稱中心、反軸四類，統(tǒng)稱為宏觀(或閉合性)對稱元素。反映在晶體外形上的對稱性質(zhì)與其在微觀結(jié)構(gòu)上的對稱性質(zhì)彼此應(yīng)該是相容的，并且也是互相制約的。晶體的特征對稱元素—平移的存在限制了在晶體中可以出現(xiàn)的對稱軸次僅有1、2、3、4、6等五種，這就是晶體學(xué)中的“對稱定律”。26編輯版ppt3晶體的宏觀對稱元素26編輯版ppt3.1對稱軸N(1、2、3、4、6)3.2對稱面m

對稱面是晶體中的一個(gè)平面，它使得處于該面相反兩側(cè)的兩部分圖形互呈對映相等關(guān)系。其國際符號為m，圖示符號為－(垂直于平面)或┑(平行于平面)。3.3對稱中心(-1)

晶體內(nèi)的某一點(diǎn)，如果在該點(diǎn)的相反兩側(cè)晶面成對出現(xiàn)，每對晶面的大小相等且相互平行，且距該點(diǎn)等遠(yuǎn)，稱該點(diǎn)為對稱中心或倒反中心。國際符號為-1，圖示為о27編輯版ppt3.1對稱軸N(1、2、3、4、6)3.2對稱面m

3.4反軸-N（-3,-4,-6）

反軸是這樣的軸，首先圍繞該軸旋轉(zhuǎn)(2/Ｎ)，并通過軸上的一個(gè)點(diǎn)倒反，下表為各次反軸的國際符號、圖示符號及對稱操作。因?yàn)橐淮畏摧S為對稱中心，二次反軸為對稱面，所以在晶體學(xué)中存在的獨(dú)立反軸只有-3、-4、-6三個(gè)。由圖可見：-3包含了一個(gè)三次對稱軸和一個(gè)對稱中心[記為-3(3＋-1)]，-6包含了一個(gè)3次軸和垂直于它的對稱面[記為-6(3/m)]，-3、-6兩個(gè)反軸又稱為復(fù)合對稱元素，而-4則為單一對稱元素。

28編輯版ppt3.4反軸-N（-3,-4,-6）28編輯版ppt4晶體微觀對稱元素

在晶體的微觀結(jié)構(gòu)中所表現(xiàn)出的對稱性稱為微觀對稱。其對稱元素包括前面敘述過的對稱軸、對稱面、對稱中心、反軸(它們自然也存在于微觀結(jié)構(gòu)中)，稱為閉合性對稱元素；尚存在平移以及與平移對稱元素相關(guān)的新的對稱元素－滑移面與螺旋軸。稱為開放性對稱元素，表明微觀對稱圖形是不閉合的。29編輯版ppt4晶體微觀對稱元素29編輯版ppt4.1滑移面m(a、b、c、n、d)

為敘述方便，我們將組成晶體微觀結(jié)構(gòu)對稱圖形的諸相等部分，用一組等效的點(diǎn)來取代?；泼媸沁@樣的一個(gè)對稱元素，它包括兩步操作—反映與平行于反映面的平移。點(diǎn)A首先通過反映操作至虛擬點(diǎn)A1處，再沿某一方向滑移(平移)距離t到達(dá)A′點(diǎn)，聯(lián)系A(chǔ)與A′的對稱元素稱為滑移面。由于晶體宏觀對稱元素的限制，滑移分量t僅取特定的數(shù)值。表列為存在于晶體微觀結(jié)構(gòu)中的a、b、c、n、d五種滑移面的符號。晶態(tài)下的有機(jī)分子，通常出現(xiàn)的滑移面為a、b、c、n，但有時(shí)也出現(xiàn)d滑移面。30編輯版ppt4.1滑移面m(a、b、c、n、d)30編輯版ppt4.2螺旋軸Nt(21;31,32;41,43,42;61,65,62,64,63)

螺旋軸是這樣的一類對稱元素，它包括有兩步對稱操作—繞軸的旋轉(zhuǎn)和沿軸方向上的平移(圖)，點(diǎn)A繞軸旋轉(zhuǎn)(2/n)角度后到達(dá)虛擬點(diǎn)A′處，依次沿軸方向移動距離t到達(dá)點(diǎn)A′′，聯(lián)系A(chǔ)與A′′的對稱元素稱為螺旋軸。同樣由于晶體宏觀對稱元素的限制，螺旋軸所含的平移分量t僅能取特定的值。表列為晶體中存在的螺旋軸。如圖所示為通關(guān)分子間存在的二次軸。

31編輯版ppt4.2螺旋軸Nt(21;31,32;41,43,42;32編輯版ppt32編輯版ppt四有限圖形(宏觀)的對稱元素組合定理

每種晶體都具有確定的對稱性，其原子(離子、分子)在空間的分布都與確定的對稱元素相聯(lián)系，那么這些有限種類的對稱元素在為數(shù)眾多的晶體中是如何分布的呢？是否存在有確定數(shù)目的對稱元素的組合方式呢？對稱元素的組合定理將回答這一問題。在如下所示的長方體中(這是一個(gè)典型的幾何圖形)，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)它包含有3個(gè)對稱面，3個(gè)對稱軸和1個(gè)對稱中心，總計(jì)為7個(gè)對稱元素。這些對稱元素的分布不是隨意的而是有確定的規(guī)律。比如，3個(gè)對稱面與3個(gè)對稱軸交于一點(diǎn)—對稱中心。同樣，在其他晶體中，原子、分子間存在的對稱元素也是以類似的方式分布的。33編輯版ppt四有限圖形(宏觀)的對稱元素組合定理以下我們首先介紹點(diǎn)對稱元素的組合定理。

34編輯版ppt以下我們首先介紹點(diǎn)對稱元素的組合定理。34編輯版ppt1有限圖形中所有的對稱元素彼此構(gòu)成對稱配置

在有限圖形中所含的對稱元素，點(diǎn)、線、面均是圖形中的一個(gè)幾何實(shí)體。按照對稱定義，在完成對稱操作后，這些幾何對稱元素均應(yīng)符合有限圖形的“自身重復(fù)”原則(即構(gòu)成對稱的配置)。如圖所示的長方體，分別以對稱中心、二次軸與對稱面進(jìn)行對稱操作后，全部對稱元素在對稱操作中均“自身重復(fù)”；再如四方柱中，在進(jìn)行四次對稱軸、對稱面、二次軸的對稱操作時(shí)，圖中對稱元素之間的關(guān)系，均可由相應(yīng)的對稱操作實(shí)現(xiàn)，并由此完成有限圖形的閉合性質(zhì)。35編輯版ppt1有限圖形中所有的對稱元素彼此構(gòu)成對稱配置35編輯版pp2有限圖形的對稱元素至少相交于一點(diǎn)有限圖形中的閉合性必然表現(xiàn)為所含對稱元素至少相交于一點(diǎn)。否則就破壞了圖形的閉合性質(zhì)。3相交的兩個(gè)對稱軸N1、N2(旋轉(zhuǎn)角為α、β)，其交點(diǎn)處必產(chǎn)生第三個(gè)對稱軸N3(旋轉(zhuǎn)角為γ)

即：

(N1*N2)=N3

36編輯版ppt2有限圖形的對稱元素至少相交于一點(diǎn)36編輯版ppt

如上所示，由此得到6種對稱軸的組合關(guān)系。

2U＝αw2v=βu2w=γv222180°90°180°90°180°90°223180°60°180°90°120°90°224180°45°180°90°90°90°226180°30°180°90°60°90°233180°54°44′120°70′70°54′120°54°44′234180°35°16′120°54′54°44′90°45°37編輯版ppt如上所示，由此得到6種對稱軸的組合關(guān)系。2U＝αw24兩個(gè)相交的對稱面m1，m2的組合，其交線為一對稱軸N，其旋轉(zhuǎn)角度為兩個(gè)對稱面夾角的兩倍；兩個(gè)相互平行的對稱面m1，m2(相距為t)的組合為垂直于m1，m2的平移T(=2t)

即：(m1·m2)∧=N

(m1·m2)‖=T38編輯版ppt4兩個(gè)相交的對稱面m1，m2的組合，其交線為一對稱軸N，其5一個(gè)偶次軸2N與垂直于它的對稱面m的組合將產(chǎn)生一個(gè)位于其交點(diǎn)處的對稱中心

即：(2N·m)⊥=-16偶次軸(2N)與軸上對稱中心的組合為通過該對稱中心且垂直于該軸的對稱面即：(2N·-1)=(m)⊥

39編輯版ppt5一個(gè)偶次軸2N與垂直于它的對稱面m的組合將產(chǎn)生一個(gè)位于其7對稱面與位于其上的對稱中心的組合將產(chǎn)生一個(gè)通過對稱中心且垂直于對稱面的二次對稱軸

(m·-1)=2⊥

關(guān)于反軸的組合。因?yàn)?次反軸本身含有一個(gè)二次軸操作，因此，上述偶數(shù)軸的組合定理均成立。因?yàn)?次反軸是一個(gè)復(fù)合對稱操作，故其組合結(jié)果將出現(xiàn)更高的對稱操作，如：(-4·-1)=4/m，(-4·m)=4/m。而反軸

-3(3＋-1)與反軸-6(3/m)與N的組合可按對稱元素的組合規(guī)律推引。40編輯版ppt7對稱面與位于其上的對稱中心的組合將產(chǎn)生一個(gè)通過對稱中心8對稱軸N與垂直于它的平移(T)的組合將構(gòu)成另一新的對稱軸(N′)

即:(N·T)⊥=N′

下圖所示為對稱軸與垂直于它的平移的組合結(jié)果。41編輯版ppt8對稱軸N與垂直于它的平移(T)的組合將構(gòu)成另一新的對稱軸9兩個(gè)平移對稱元素T1、T2的組合將產(chǎn)生新的平移對稱元素T3，且具有交換性質(zhì),

即T1·T2＝T2·T1＝T3

若應(yīng)用矢量平行四邊形法則，令T1、T2為平行四邊形兩個(gè)邊，則有:T1+T2=T3對稱軸(N)與相交的“任意”平移T的組合，將產(chǎn)生一螺旋軸(NT′)

N·T=NT′42編輯版ppt9兩個(gè)平移對稱元素T1、T2的組合將產(chǎn)生新的平移對稱11螺旋軸Nt與任意平移T的組合，將產(chǎn)生新的螺旋軸Nt′

Nt·T=Nt′

12二相交螺旋軸Nt與螺旋軸NΓ的組合將產(chǎn)生一個(gè)新的螺旋軸或?qū)ΨQ軸

Nt·NΓ=Nγ＋t’

43編輯版ppt11螺旋軸Nt與任意平移T的組合，將產(chǎn)生新的螺旋軸Nt′

13對稱中心與通過它的平移(T)組合仍為－對稱中心，且位于Ｔ/２處

(-1·T)=-1T/214反軸(-N)與平行于于它的平移(T‖)的組合仍為－反軸。

-N·T‖=-N′15對稱面(m1)與平行于它的對稱面(m2)（間距T/2）的組合仍為一平移T

(m1m2)‖T/2=T⊥44編輯版ppt13對稱中心與通過它的平移(T)組合仍為－對稱中心，且位于16對稱面(m)與垂直于它的平移(T)的組合為平行于原對稱面、位于T/2的新對稱面(m′)

(m·T)=(m)T/２

17對稱面(m)與平行于它的平移(T)的組合為滑移面(mt)，滑移面的平移分量為T。

這類組合具有可交換性質(zhì)，即:

(m·T)‖=(T·m)‖=mt

18對稱面(m)與“任意”平移(T)的組合將產(chǎn)生一滑移面mt

即：(m·T)＝mt

45編輯版ppt16對稱面(m)與垂直于它的平移(T)的組合為平行于原對19滑移面mt與“任意”平移T的組合將產(chǎn)生一個(gè)新的滑移面mτ

即：mt·T=mτ20兩個(gè)相交的滑移面mt、mΓ的組合將產(chǎn)生一對稱軸或螺旋軸。

即：(mt·mτ)=NorNt46編輯版ppt19滑移面mt與“任意”平移T的組合將產(chǎn)生一個(gè)五32點(diǎn)群與47單形

1.如上所見，在有限數(shù)目的晶體對稱元素間存在著嚴(yán)格的組合規(guī)律，這將預(yù)示著晶體對稱元素的可能組合數(shù)目也是有限的。在數(shù)學(xué)上，研究晶體對稱元素的組合規(guī)律(或?qū)ΨQ變換的組合)構(gòu)成群論分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，并將晶體對稱元素的組合稱為群或結(jié)晶群。由對稱元素組合的群稱為對稱元素群；由對稱變換組合的稱為對稱變換群，是同一事物的兩種描述方式，前者為幾何學(xué)(形)，后者為群論(數(shù))。宏觀對稱元素之間的組合將構(gòu)成對稱元素群。如2次軸與垂直于它的對稱面將構(gòu)成一個(gè)對稱元素群(2/m)，它符合群的定義：其恒等對稱元素(1)即是群中的不動對稱元素。47編輯版ppt五32點(diǎn)群與47單形1.如上所見，在有限數(shù)目的晶體對稱

對稱軸與反軸可以用來概括表示點(diǎn)對稱操作中的10個(gè)對稱元素。即以N與-N的組合來推導(dǎo)宏觀對稱元素組合的全部對稱群。由于晶體的特征對稱元素(平移)的存在，晶體中允許存在的對稱軸只有1、2、3、4、6五種。我們要論述的“對稱元素組合”，僅限于晶體對稱元素N與-N，它們最終構(gòu)成32種“點(diǎn)對稱群”，“點(diǎn)”指所有對稱元素至少有一個(gè)公共點(diǎn)，它在全部操作中將保持不動。48編輯版ppt對稱軸與反軸可以用來概括表示點(diǎn)對稱操作中的10個(gè)對稱2

32點(diǎn)群表

10個(gè)宏觀對稱元素可組合出32個(gè)點(diǎn)群(表)，按照點(diǎn)群中出現(xiàn)的共同對稱元素，可將32點(diǎn)群劃分為7個(gè)晶系－三斜、單斜、正交、四方，三方、六方、立方，每個(gè)晶系擁有共同的本質(zhì)對稱元素(表中第4列)。這是正確定義晶系的充分必要條件，而表中第5列所示7個(gè)晶系中出現(xiàn)的7種晶胞參數(shù)間的關(guān)系僅僅是正確晶系的一個(gè)表征，而非依據(jù)。49編輯版ppt232點(diǎn)群表49編輯版ppt50編輯版ppt50編輯版ppt

表中第2列所示為點(diǎn)群符號，按擁有的第一類或第一類與第二類同時(shí)存在對稱元素的特點(diǎn)，而將點(diǎn)群分為11個(gè)第一類點(diǎn)群(1，2，222，4與32，6與622，23和432)和21個(gè)第二類點(diǎn)群。前者含有的分子均為疊合相等，有旋光活性，并存在絕對構(gòu)型問題；后者則為由兩類分子構(gòu)成的消旋體結(jié)構(gòu)。第3列為點(diǎn)群中對稱元素在晶胞中的相應(yīng)方位(a，b，c，a＋b，2a＋b，a＋b＋c等)，這是群論分析的結(jié)果，不能變更。因此在解讀點(diǎn)群(或空間群)符號時(shí)，一定要明確這種關(guān)系。51編輯版ppt表中第2列所示為點(diǎn)群符號，按擁有的第一類或第一六14平移群與平移點(diǎn)陣1．在晶體結(jié)構(gòu)中，由原子、離子、分子的周期性排列所反映出的有序性表現(xiàn)為晶體具有“平移”特征對稱元素。在三維空間中可以表示為t1t2t3。它們是不共面的3個(gè)最小的平移矢量，又稱為基本平移矢量，并由之構(gòu)成的平行六面體(即群元素的集合)稱為基本平行六面體。在平移T的操作下，基本平行六面體就在三維空間中構(gòu)成所謂空間點(diǎn)陣的幾何圖象。而空間點(diǎn)陣中的所有點(diǎn)均具有相同的幾何環(huán)境。雖然由此構(gòu)成的平行六面體僅單純的反映了晶體的平移對稱性質(zhì)。但存在于晶體結(jié)構(gòu)中的宏觀對稱元素是受到平移對稱的制約，僅能存在1、2、3、4、6次對稱軸與-1、-2、-3、-4、-6次反軸；同時(shí)在晶體的微觀結(jié)構(gòu)中存在的平移對稱元素，由于宏觀對稱與微觀對稱的相容性質(zhì)，當(dāng)然也受到宏觀對稱元素的一定制約，在反映平移的基本平行六面體中，一般僅包含1次軸、對稱中心，它不是晶體微觀結(jié)構(gòu)的完整描述。應(yīng)同時(shí)要求在平行六面體中的“點(diǎn)群”性質(zhì)要與宏觀點(diǎn)群對稱性相容。顯然，上述由最小平移矢量構(gòu)成的基本平行六面體不能顯示點(diǎn)陣的點(diǎn)群對稱性。52編輯版ppt六14平移群與平移點(diǎn)陣1．在晶體結(jié)構(gòu)中，由原子、離子、分子

選擇三個(gè)不共面的平移矢量a、b、c，由它們構(gòu)成的平行六面體能同時(shí)反映晶體的平移對稱與宏觀對稱特征，則稱a、b、c為單位平移矢量，相應(yīng)的平行六面體稱為“單位平行六面體”。它可以表示點(diǎn)群對稱在平移對稱群中的對稱元素配置。顯見，它是符合晶體對稱的一個(gè)最佳重復(fù)單位，相應(yīng)的幾何圖形則稱之為晶胞。在晶胞中引入6個(gè)參數(shù)（a、b、c、α、β、γ）作為描述晶胞的幾何量度，稱為晶胞參數(shù)。這就構(gòu)成一個(gè)參考系，它將坐標(biāo)軸與對稱軸、反軸聯(lián)系起來。這就形成了晶體特定的七種晶系?；酒叫辛骟w能給出晶體結(jié)構(gòu)最小重復(fù)單位，平移只能顯示平移對稱性，而單位平行六面體(晶胞)則完整反映了晶體結(jié)構(gòu)的全部對稱特征。53編輯版ppt選擇三個(gè)不共面的平移矢量a、b、c，由它們構(gòu)成的平行214平移群

由基本平移矢量t1、t2、t3與單位平移矢量

a

、b、c組成的群稱為平移群。314平移點(diǎn)陣

由平移對稱操作可以得到三維空間的點(diǎn)陣式幾何圖象，即14個(gè)平移點(diǎn)陣。54編輯版ppt214平移群54編輯版ppt55編輯版ppt55編輯版ppt七230空間群與晶體結(jié)構(gòu)

1宏觀－微觀對稱元素的相容性晶體的微觀對稱與宏觀對稱性的相容首先表現(xiàn)在晶胞的同一性上。晶體的宏觀對稱與微觀對稱是在不同范圍內(nèi)觀察同一種幾何圖像的結(jié)果，二者是相容的但又是相互制約的。Hauy的方解石解理實(shí)驗(yàn)中提出了結(jié)晶多面體中存在一個(gè)最小重復(fù)單位，在晶體的微觀結(jié)構(gòu)中就表現(xiàn)為晶體結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單位－晶胞。在平移點(diǎn)陣中確定的晶胞具有如下特點(diǎn)：它能顯示出結(jié)構(gòu)的最高對稱性，具有最小的晶胞體積。晶胞在三維方向上的密堆積就能給出整個(gè)晶體。在晶體的宏觀結(jié)構(gòu)中，晶胞系指結(jié)構(gòu)的亞單元，它是形成結(jié)晶多面體的最小重復(fù)單位。在晶體的宏觀對稱中同樣只存在七種類型（晶系）的結(jié)構(gòu)亞單元。每個(gè)晶系都有其特定的對稱元素。56編輯版ppt七230空間群與晶體結(jié)構(gòu)1宏觀－微觀對稱元素的相容

其次，晶體外形對稱與微觀對稱的相容性同樣反映在點(diǎn)群與空間群的關(guān)系上。為了解其間關(guān)系可利用他們之間相容性質(zhì)來說明。在宏觀觀察中，原子水平的平移組分（平移、滑移面、螺旋軸）不影響晶體的外部狀態(tài)，因此對于給定的某一點(diǎn)群（如2/m），如欲得到由它“派生”的可能空間群，我們可以按照該點(diǎn)群所屬晶系中的平移群的點(diǎn)陣類型和宏觀與微觀對稱元素間的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行有選擇的取代（即要滿足對稱元素組合定理）就可得到可能的空間群。57編輯版ppt其次，晶體外形對稱與微觀對稱的相容性同樣反映在點(diǎn)群與２.1真實(shí)的晶體微觀結(jié)構(gòu)所具有的對稱規(guī)律應(yīng)該是它所擁有的全部對稱元素的組合。空間群就是這種組合的結(jié)果，總計(jì)有230個(gè)。大自然中存在成千上萬種晶體，但其原子（離子、分子）分布的幾何對稱規(guī)律僅僅有230種。由表現(xiàn)晶體微觀結(jié)構(gòu)的全部對稱元素－N，m，-1，-N，Nt，mt，T－的組合將形成230個(gè)空間群，它反映了晶體微觀結(jié)構(gòu)（即原子或分子的分布）的對稱規(guī)律。58編輯版ppt２.1真實(shí)的晶體微觀結(jié)構(gòu)所具有的對稱規(guī)律應(yīng)該是它所擁有的全

空間群嚴(yán)格推導(dǎo)可以將對稱元素作為元素，或者把對稱變換(矩陣或算符)作為元素進(jìn)行群論運(yùn)算，并按照晶體中允許存在的對稱元素組合規(guī)律進(jìn)行。然而，若依據(jù)宏觀對稱和微觀對稱的相容性質(zhì)，并以點(diǎn)群、平移群與空間群的群隸屬關(guān)系（子群）和對稱元素的組合規(guī)律，則是解讀空間群的一個(gè)簡捷方法。

歷史上，230空間群的推導(dǎo)主要由E.S.費(fèi)德洛夫（俄，1894）A.熊夫利斯（德，1890）W.邊修（英，1894）各自獨(dú)立推導(dǎo)出的。費(fèi)氏用的是對稱元素組合方法，熊氏使用的是從點(diǎn)式到非點(diǎn)式空間群的方法。以下描述空間群的細(xì)節(jié)內(nèi)容。59編輯版ppt空間群嚴(yán)格推導(dǎo)可以將對稱元素作為元素，或者把對稱變換2.2空間群的表示：如同點(diǎn)群表示一樣，我們采用國際通用符號來表示空間群。以下以低級晶系的73個(gè)空間群為例介紹。三斜晶系：含有點(diǎn)群1，-1。僅有一個(gè)平移群P，所屬空間群有兩個(gè)即P1與P-1。單斜晶系：含有三個(gè)點(diǎn)群2，m，2/m，有兩個(gè)平移群P與C(A,B)。所屬空間群有13個(gè)。（1）點(diǎn)群2：P2，C2與P21。其中C21≡C2（2）點(diǎn)群m：Pm，Cm，Pc（Pa,Pb,Pn）與Cc（3）點(diǎn)群2/m：包含兩個(gè)平移群，P與C（A,B）兩種。與二次軸對應(yīng)的微觀元素為二次螺旋軸21；與對稱面對應(yīng)的微觀元素為滑移面c（或a，b，n，d），由此可以得到可能的空間群為以下6個(gè)，即：P2/m，C2/m（≡C21/m）；P21/m；

P2/c(P2/a,P2/b,P2/n);C2/c（≡C21/c）;P21/c(P21/a,P21/b,P21/n)在單斜晶系中，由于2(21)軸的取向習(xí)慣取b定向，但也可取a或c定向，故出現(xiàn)A,B底心點(diǎn)陣及因取向而形成的空間群問題。60編輯版ppt2.2空間群的表示：如同點(diǎn)群表示一樣，我們采用國際通用符正交晶系：含有3個(gè)點(diǎn)群222，mm2與mmm。有4個(gè)平移群P，C（A，Ｂ），I，F(xiàn)，所屬空間群為59個(gè)。（1）點(diǎn)群222，含9個(gè)空間群，即

P222，P2221，P21212，P212121；C222，C2221，(C21212，C212121)；I222，(I2221，I21212)，I212121；F222，(F2221，F(xiàn)21212，F(xiàn)212121)（2）點(diǎn)群mm2，含22個(gè)空間群,即

Pmm2,Pcc2,Pma2,Pnc2,Pba2,Pnn2,Pmc21,Pca21,Pmn21,Pna21；Cmm2,Ccc2,Cmc21；Amm2,Ama2Aba2,Abm2；Fmm2,Fdd2；Imm2,Ima2,Iba2（3）點(diǎn)群mmm，含有28個(gè)空間群，即

Pmmm，Pmma，Pmmn，Pmna，Pnma，Pnnn，Pnnm，Pnna,Pbcn，Pbcm，Pbca,Pban，Pbam，Pccn，Pcca，Pccm；Cmmm，Cmma，Cmcm，Cmca，Ccca,Cccm；Fmmm，F(xiàn)ddd；Immm,Imma,Ibca,Ibam。61編輯版ppt正交晶系：含有3個(gè)點(diǎn)群222，mm2與mmm。有4個(gè)平移群2.3在230個(gè)空間群中與點(diǎn)群對稱對應(yīng)的空間群共有73種，稱為點(diǎn)式空間群。按32點(diǎn)群與相應(yīng)晶系所屬的平移群可以得到66個(gè)點(diǎn)式空間群，但由于在正交、四方、三方、六方晶系中推得的點(diǎn)群對稱元素與平移群元素之間可以存在不同取向（或點(diǎn)群中對稱元素不同取向），并且均滿足空間群中對稱元素的對稱配置，由此出現(xiàn)7個(gè)取向空間群如P312與P321等。62編輯版ppt2.3在230個(gè)空間群中與點(diǎn)群對稱對應(yīng)的空間群共有73種，

2.4對稱元素的退化。對稱是在一定的實(shí)驗(yàn)測量誤差內(nèi)的一種相對規(guī)律。置于宏觀觀察的晶體，其大小一般為其微觀結(jié)構(gòu)單元（晶胞）的106-108倍左右。因此，存在于微觀狀態(tài)的滑移面、螺旋軸諸對稱元素在宏觀觀察下將隱藏在不可測量的系統(tǒng)誤差之中。螺旋軸將退化為相應(yīng)的對稱軸，滑移面將退化為對稱面，這就是晶體學(xué)中的宏觀與微觀對稱元素的相似性。63編輯版ppt2.4對稱元素的退化。對稱是在一定的實(shí)驗(yàn)測量誤差內(nèi)的一2.5對稱群的退化。由已知空間群列出對應(yīng)點(diǎn)群（稱為空間群點(diǎn)群）的方式是：將空間群中平移對稱元素（P，C，I，F(xiàn)）與螺旋軸（Nt），滑移面（mt）中的平移分量“隱去”，即得相應(yīng)的點(diǎn)群。以有機(jī)分子晶體中常見的空間群為：

P1，P-1→1P21，P2，C2→2P21/c，C2/c→2/mP212121→222Pca21，Iba2→mm2Pbca→mmm64編輯版ppt2.5對稱群的退化。由已知空間群列出對應(yīng)點(diǎn)群（稱為空間群點(diǎn)3空間群的對稱變換與對稱變換群3.1對稱變換的變換矩陣表示65編輯版ppt3空間群的對稱變換與對稱變換群65編輯版pptA對稱變換的賽茲(seitz)算符表示法

66編輯版pptA對稱變換的賽茲(seitz)算符表示法66編輯版pptB點(diǎn)對稱與非點(diǎn)對稱變換群67編輯版pptB點(diǎn)對稱與非點(diǎn)對稱變換群67編輯版ppt3.2一般等效位置

用對稱變換算符群來表示空間群時(shí)，我們得到了一個(gè)通用的、簡捷、符號化的表示。為了描述在給定空間群中的點(diǎn)（原子、分子）位置(坐標(biāo))變換。晶體學(xué)中采用了等效點(diǎn)系的方法來描述空間群的對稱變換。描述晶體的宏觀對稱時(shí)，我們曾以單形、聚形與結(jié)晶多面體來表示其相應(yīng)的類比于幾何對稱圖像。在描述晶體結(jié)構(gòu)的微觀對稱圖像時(shí)，由于表現(xiàn)的是在原子（分子）水平上展示的一幅微觀幾何圖像，因此，該圖像必然是一種“點(diǎn)集形式”，為此，晶體學(xué)家引入了等效點(diǎn)系的概念。等效點(diǎn)系是由晶胞中全部對稱變換聯(lián)系起來的一套規(guī)則點(diǎn)系。任意指定一個(gè)處于一般位置（即不落在對稱元素上）的一個(gè)點(diǎn)（也可以是幾何體），經(jīng)過對稱變換后就得到一個(gè)點(diǎn)系，其數(shù)目與對稱變換數(shù)相同，該點(diǎn)系中的所有點(diǎn)都是等效的。68編輯版ppt3.2一般等效位置68編輯版ppt

對于有機(jī)分子而言，任何一個(gè)分子總是由若干個(gè)原子組成，每個(gè)原子都形成自身的一套等效位置（即一套等效點(diǎn)系）。顯然，一個(gè)有機(jī)分子必定是由若干個(gè)等效點(diǎn)系嵌套而成的。一般位置等效點(diǎn)系是指從一個(gè)對稱性為1的一般位置的點(diǎn)（x，y，z）出發(fā)，用所屬空間群中全部對稱變換（N個(gè){R|t}）逐一作用之而得到的一套點(diǎn)系，稱之為一般位置等效點(diǎn)系，共含N個(gè)等效點(diǎn)；若起始點(diǎn)（x，y，z）之對稱性高于恒等對稱操作（如-1，m等），由此而得到的點(diǎn)系叫做特殊位置等效點(diǎn)系。顯然，特殊位置等效點(diǎn)數(shù)<N?？臻g群中的任何一個(gè)基本的和非基本的對稱變換對等效點(diǎn)系均小于等于N。69編輯版ppt對于有機(jī)分子而言，任何一個(gè)分子總是由若干個(gè)原子組成，3.4空間群的原點(diǎn)選取原則為實(shí)現(xiàn)晶體學(xué)中幾何晶體學(xué)的規(guī)范使用的目的，規(guī)定以空間群的特定位置與取向作為標(biāo)準(zhǔn)。但有時(shí)為了描述特定的晶體結(jié)構(gòu)，尚可采用非標(biāo)準(zhǔn)的參考取向，(詳見國際表V01.A)?？臻g群中參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)是按以下規(guī)定安排：●90個(gè)中心對稱空間群，以對稱中心作為原點(diǎn)；●非中心對稱空間群中的第一類空間群，P212121，I212121，P213，I213，F(xiàn)4132，P4332，P4132，I4132原點(diǎn)選在3個(gè)不相交的21螺旋軸的中心處。該位置是上述空間群為子群的中心對稱群所選的原點(diǎn)，如P212121為Pbca的子群，二者的原點(diǎn)位置一致，即在3個(gè)不相交的21螺旋軸的中心處?！裨谄溆嗟姆侵行膶ΨQ空間群中，原點(diǎn)選于具有最高對稱性的所處位置，即對稱軸，螺旋軸，對稱面，滑移面或者其交點(diǎn)處。70編輯版ppt3.4空間群的原點(diǎn)選取原則70編輯版ppt71編輯版ppt71編輯版ppt65個(gè)蛋白質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)空間群與11個(gè)反型空間群（表）晶系個(gè)數(shù)第二類空間群（括弧所列為反型空間群，11對）三斜1P1單斜3P2P21C2正交9P222P2221P21212P212121C2221C222F222I222I212121四方16

P4（P41P43）P42I41I4P422P4212（P4122P4322）（P41212P43212）P4222P42212F422F4122

三方11P31(P31P32)R3P312P321(P3112P3212）（P3121P3221)R32

六方12

P6（P61P65）P62P64P63P622(P6122P6522)(P6222P6422)P6322立方13P23F23I23P213I213P432P4232F432F4132、I432（P4332P4132）I4132

72編輯版ppt65個(gè)蛋白質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)空間群與11個(gè)反型空間群（表）晶系個(gè)數(shù)第４幾個(gè)重要空間群

以下我們將討論幾個(gè)重要的空間群。在空間群的描述中需要闡明幾個(gè)問題：空間群的符號表示、相對于指定原點(diǎn)全部對稱元素及其相互位置、一般等效位置的坐標(biāo)表示。空間群的符號如同點(diǎn)群的符號表示一樣，通常可采用Sch?nflish符號與國際符號。

Sch?nflish符號是由其相應(yīng)點(diǎn)群符號和上角標(biāo)數(shù)字組成，它的優(yōu)點(diǎn)是直觀表明空間群所屬的點(diǎn)群而且這一表示不因坐標(biāo)系的選取而變，但它不能導(dǎo)出全部對稱元素和一般等效位置；國際符號則可充分描述空間群中的全部特征。它是由兩部分組成：第一個(gè)位置以字母（P，A，B，C，I，F(xiàn)，R）表示該空間群的獨(dú)立平移對稱元素；第二個(gè)位置列出相應(yīng)于在指定取向原則下，該群的基本對稱元素。由這兩個(gè)部分的對稱元素的組合就可得到該空間群中的其余的非基本對稱元素。故晶體學(xué)上常用此符號描述晶體結(jié)構(gòu)中的對稱特征。如：空間群P1（C11）；空間群P-1（Ci1）；空間群P2（C２１）；空間群P21（C22）；空間群C2（C23）；空間群P21/c（C2h5）；空間群P212121（D24）73編輯版ppt４幾個(gè)重要空間群73編輯版ppt５非標(biāo)準(zhǔn)取向的空間群表示在晶體學(xué)的對稱變換中，除去上述由對稱操作引出的實(shí)空間的坐標(biāo)變換外（其行列式的值為±1），還有由7個(gè)晶系中坐標(biāo)系的取向而產(chǎn)生的坐標(biāo)變換，以及由不正確取向而造成的贗Bravais晶胞的坐標(biāo)變換。下面以后兩個(gè)類型的坐標(biāo)變換為例說明。74編輯版ppt５非標(biāo)準(zhǔn)取向的空間群表示74編輯版ppt5.1非標(biāo)準(zhǔn)取向的空間群表示空間群的測定通常是用X衍射方法實(shí)現(xiàn)的。通過確定衍射對稱型(勞厄型)及衍射系統(tǒng)消光規(guī)律先確定X衍射群（或稱X光群）與可能的空間群。這一過程的基礎(chǔ)是正確的衍射數(shù)據(jù)。在確定晶胞參數(shù)時(shí)，通常是按從小到大，或從大到小排列a，b，c的順序。但在如此選定的取向上所依附的空間群基本對稱元素不一定與國際表中的取向一致，尤其是在有機(jī)分子經(jīng)常出現(xiàn)的正交晶系中，此問題尤為突出。比如空間群Cmc2（或?qū)憺镃bn21），依a，b，c不同取向尚可寫為A21ma，Bb21m，Bm21b，Ccm21，A21am等5種。它們之間的關(guān)系是坐標(biāo)系的取向造成的。75編輯版ppt5.1非標(biāo)準(zhǔn)取向的空間群表示75編輯版ppt5.2非標(biāo)準(zhǔn)Bravais點(diǎn)陣的空間群表示

在晶體結(jié)構(gòu)分析的衍射實(shí)驗(yàn)階段尚會出現(xiàn)因選軸不符合Braviais的情況。在單斜晶系中，正確的Bravais點(diǎn)陣只有P，C兩種。但有時(shí)候衍射實(shí)驗(yàn)的選軸中，會出現(xiàn)B，I，F(xiàn)點(diǎn)陣。5.3菱面體的取向

出現(xiàn)在三方晶系的R晶胞中，在計(jì)算中時(shí)常采用六方晶系的P坐標(biāo)系，因此要進(jìn)行由三方R坐標(biāo)系變換為六方P（H）坐標(biāo)系。76編輯版ppt5.2非標(biāo)準(zhǔn)Bravais點(diǎn)陣的空間群表示76編輯版p77編輯版ppt77編輯版ppt八結(jié)語

綜上所述，結(jié)晶狀態(tài)下的原子（離子、分子）在空間的分布遵循著嚴(yán)格確定的幾何規(guī)律，形成一幅具有點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的圖像。X射線通過晶體時(shí)所產(chǎn)生的衍射效應(yīng)揭示了晶體結(jié)構(gòu)的這一特點(diǎn)。晶體學(xué)家利用這一效應(yīng)獲得了晶體的微觀結(jié)構(gòu)。在測定晶體結(jié)構(gòu)中首先要解決的問題就是確定晶體的對稱性，即獲得晶體的宏觀對稱群（點(diǎn)群），微觀對稱群(空間群)，晶胞參數(shù)（a，b，c，α，β，γ）晶胞中的分子數(shù)（Z），晶體密度計(jì)算值，估算分子量，非晶體學(xué)對稱性等。為此需要掌握結(jié)晶狀態(tài)下的原子（離子，分子）的對稱分布規(guī)律，它們怎樣反映到衍射圖譜中？其間的關(guān)系是什么？這將是衍射空間對稱性中要介紹的內(nèi)容。

78編輯版ppt八結(jié)語78編輯版ppt●對稱是晶體結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容，它將貫穿始終。從衍射數(shù)據(jù)|F(hkl)|，I(hkl)，結(jié)構(gòu)計(jì)算F(hkl)，(hkl)，P(uvw)直至最后的結(jié)構(gòu)描述，均要涉及到一個(gè)對稱性問題，其基礎(chǔ)則為幾何晶體學(xué)?！窬w結(jié)構(gòu)中的贗對稱性是個(gè)普通的問題，有來自分子結(jié)構(gòu)中的贗對稱，來自分子排列中的贗對稱，涉及溶劑分子排列的贗對稱等，如何判定與解析一直是晶體結(jié)構(gòu)分析中的困難問題?！窀呔S空間的對稱性與準(zhǔn)晶體的對稱性的存在，伴隨具有有生物活性與物理、化學(xué)活性的新材料研究的飛速發(fā)展，晶體學(xué)家的視野也將從傳統(tǒng)的三維走向高維。79編輯版ppt●對稱是晶體結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容，它將貫穿始終。從衍射數(shù)據(jù)|F？……！80編輯版ppt？……！80編輯版ppt謝謝！81編輯版ppt謝謝！81編輯版ppt幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)

82編輯版ppt幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)

1編輯版ppt

目錄

一圖形移置二圖形對稱三晶體中的對稱元素

1晶體與非晶體

2晶體的特征對稱元素

3晶體的宏觀對稱元素

4晶體的微觀對稱元素83編輯版ppt目錄2編輯版ppt四有限圖形與無限圖形的對稱元素組合定理

1概述

2基本組合定理

3對稱群及其表示(幾何學(xué)，代數(shù)學(xué))五32點(diǎn)群與47單形六14平移群與14平移點(diǎn)陣七230空間群八結(jié)語84編輯版ppt四有限圖形與無限圖形的對稱元素組合定理3編輯版ppt一、圖形移置

移置系指研究相等圖形之間的相互位置的問題。如果相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)相等圖形有相同的定向，則稱迭合相等；如果相互關(guān)聯(lián)的兩相等圖形有相反定向，則稱對映相等。在三維空間的幾何圖形移置總共含有以下八種類型：85編輯版ppt一、圖形移置移置系指研究相等圖形之間的相互位置的問題。1平面反映若移置圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線垂直于平面并被平分，且互為對映鏡像，稱為平面反映移置，由它聯(lián)系的兩個(gè)圖形互為對映相等(圖)，此類移置稱為第二類移置。如圖中的定向四面體：86編輯版ppt1平面反映5編輯版ppt2點(diǎn)反射(倒反)

被移置圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被一點(diǎn)(反射點(diǎn))平分，二圖形互呈對映鏡像(圖)，為第二類移置。87編輯版ppt2點(diǎn)反射(倒反)6編輯版ppt3旋轉(zhuǎn)相等圖形(A與A′)中的對應(yīng)點(diǎn)連線垂直于旋轉(zhuǎn)軸(N)且與軸呈相等距離，處于同一平面內(nèi)，稱為第一類移置。呈迭合相等圖形。88編輯版ppt3旋轉(zhuǎn)7編輯版ppt4.1旋轉(zhuǎn)反映

圖形移置包含兩個(gè)步驟：先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2/N)，然后再以垂直于N軸的平面進(jìn)行反映(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反映。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對映相等，屬第二類移置。89編輯版ppt4.1旋轉(zhuǎn)反映8編輯版ppt4.2旋轉(zhuǎn)反射

圖形移置包括兩個(gè)步驟，先進(jìn)行以N為軸的旋轉(zhuǎn)(2/N)，然后再以軸上的一點(diǎn)倒反(圖)，該移置稱為旋轉(zhuǎn)反射。由此關(guān)聯(lián)的圖形呈對映相等，屬第二類移置。且所有連接對應(yīng)點(diǎn)的線段均被倒反中心平分。90編輯版ppt4.2旋轉(zhuǎn)反射9編輯版ppt5平移圖形從起始位置按給定周期移置，該移置稱為平移，相關(guān)聯(lián)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。91編輯版ppt5平移10編輯版ppt6滑移反映

移置含有兩個(gè)步驟:圖形先經(jīng)平面反映，相繼進(jìn)行平行于平面的平移，該移置稱為滑移反映移置。相等圖形互呈對映相等，屬第二類移置。92編輯版ppt6滑移反映11編輯版ppt7螺旋旋轉(zhuǎn)包含兩個(gè)移置步驟：先繞N軸旋轉(zhuǎn)2/N，然后在沿N軸方向平移t/N(t為整數(shù)，等于(N-1)/N)，該移置稱為螺旋旋轉(zhuǎn)移置，相關(guān)的圖形為疊合相等，屬第一類移置。93編輯版ppt7螺旋旋轉(zhuǎn)12編輯版ppt8恒等(不動)移置

為繞N軸旋轉(zhuǎn)2(即不動)的移置。顯見為第一類移置。

第一類移置：包含平移，旋轉(zhuǎn)(含恒等)，螺旋旋轉(zhuǎn)，圖形為迭合相等；第二類移置：倒反，平面反映，旋轉(zhuǎn)反映，旋轉(zhuǎn)反射，滑移反映，圖形為對映相等。94編輯版ppt8恒等(不動)移置13編輯版ppt二圖形的對稱1圖形的對稱特征任何一個(gè)對稱圖形可分為若干個(gè)相等部分；而且在圖形移置中包含有至少一個(gè)不動的幾何元素(點(diǎn)、線、面)。則對應(yīng)的幾何元素定義為：倒反(對稱中心)、對稱面(反映面)、對稱軸、反軸、平移、螺旋軸、滑移面共七類。95編輯版ppt二圖形的對稱1圖形的對稱特征14編輯版ppt2對稱是圖形移置的特例系指移置后的圖形是其自身重復(fù)。對稱是圖形移置的特例。雖然上述描述僅僅是從幾何學(xué)入手的一種方法，但具有直觀、形象、幾何關(guān)系清晰等特點(diǎn)。如果把實(shí)現(xiàn)圖形對稱變換過程中不動幾何元素視為基本元(要)素，那么這些對稱元素就能組合成一定的集合－群。96編輯版ppt2對稱是圖形移置的特例15編輯版ppt

對稱是物質(zhì)世界的基本幾何屬性，它是在一定的測量精度范圍內(nèi)的一種相對規(guī)律。比如平移對稱元素就是這一相對規(guī)律的最好例證。晶體對稱性是在晶體這種特定的物質(zhì)圖形上的具體反映。這是從幾何學(xué)角度認(rèn)識圖形對稱性質(zhì)的方法。

97編輯版ppt對稱是物質(zhì)世界的基本幾何屬性，它是在一定的測量精度范

若一個(gè)圖形可分為若干個(gè)相等部分，經(jīng)移置后能自身重復(fù)，同時(shí)圖形中含有不動的幾何元素(點(diǎn)、線、面)，則稱該圖形具有對稱性。不動的幾何元素就稱為對稱元素。在傳統(tǒng)的幾何晶體中可概括為：對稱軸N、對稱面m、反軸-N、對稱中心-1、平移T、螺旋軸Nt與滑移面mt，字母所示為相應(yīng)的國際通用符號。98編輯版ppt若一個(gè)圖形可分為若干個(gè)相等部分，經(jīng)移置后能自身重復(fù)，同3.1對稱操作

如圖所示(正三角形、正方形)幾何圖形經(jīng)過某一對稱元素操作后，圖形自身重復(fù)，此操作稱為對稱操作。在完成幾何圖形的對稱操作過程中，圖形中任意兩點(diǎn)間的距離不變。如果幾何圖形在移置中至少有一點(diǎn)不動，則稱為點(diǎn)操作；否則稱為空間對稱操作。3對稱操作與對稱變換99編輯版ppt3.1對稱操作3對稱操作與對稱變換18編輯版ppt3.2對稱變換

如果將圖形抽象為一個(gè)幾何點(diǎn)，并且引入一個(gè)參考系(坐標(biāo)系)，使坐標(biāo)軸(系)與對稱元素形成一定的聯(lián)系。如包含3(或6)次軸的坐標(biāo)系，要求3(或6)次軸平行于坐標(biāo)系的Z軸。此時(shí)一個(gè)幾何圖形的對稱操作(幾何學(xué))就表現(xiàn)為在OXYZ坐標(biāo)系中，諸點(diǎn)間(A→A′→A′′→A′′′)的變換，這一變換的特點(diǎn)不是以圖形表示而是以他們在坐標(biāo)系中的點(diǎn)位置(xyz)，(x′y′z′)來形成一個(gè)點(diǎn)系，并以符號的形式記錄下這一對稱操作過程，稱之為對稱變換。它是實(shí)正交變換中的一個(gè)重要內(nèi)容。相應(yīng)于圖形(晶體)對稱操作的點(diǎn)系對稱變換是掌握實(shí)正交變換的一個(gè)經(jīng)典實(shí)例。100編輯版ppt3.2對稱變換19編輯版ppt三晶體中的對稱元素1晶體與非晶體

自然界中的各種元素以及由它們形成的各類化合物，通常以三種聚集態(tài)出現(xiàn)：固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)。以固態(tài)形式存在的物質(zhì)是由原子(或離子、分子)在三維空間的堆積形成。如果原子(或離子、分子)是按照一種確定的方式在三維空間做嚴(yán)格的周期性的排列，即相隔一定的距離(即周期)重復(fù)出現(xiàn)，這樣的物質(zhì)稱為單晶體，如：食鹽、糖、水晶等，一般稱之為晶體；如果原子(或離子、分子)在空間的分布不具備這種嚴(yán)格的周期規(guī)律就稱為非晶體，如：玻璃、塑料、松香、陶瓷等。101編輯版ppt三晶體中的對稱元素1晶體與非晶體20編輯版ppt

如果一個(gè)晶體是由許多具有隨機(jī)取向的單晶體組成，稱之為多晶體或粉晶；如果一個(gè)晶體是由兩個(gè)單晶體按照特定的取向生長結(jié)合在一起的就稱之為孿晶。有機(jī)分子的晶體一般都是從溶液中通過結(jié)晶過程(一種準(zhǔn)平衡態(tài)現(xiàn)象)獲得的。按照不同的結(jié)晶條件有時(shí)可以得到多晶、孿晶或單晶體。102編輯版ppt如果一個(gè)晶體是由許多具有隨機(jī)取向的單晶體組成，稱之為晶體的周期結(jié)構(gòu)使它具備下述這些性質(zhì)：(1)確定的熔點(diǎn)。(2)在合適的結(jié)晶條件下可以形成結(jié)晶多面體。例如食鹽晶體具有立方體外形，各種天然有機(jī)分子的結(jié)晶常表現(xiàn)為針(柱)狀，片狀或塊狀甚至是多面體形式，這表明在微觀狀態(tài)的原子(離子、分子)的規(guī)律排列與在宏觀狀態(tài)下的晶體外形的相容性。象其他的一些幾何圖形一樣，晶體具有確定的幾何性質(zhì)-對稱性質(zhì)，它是晶體的一種基本屬性。(3)各向異性。即在晶體的不同方向上可以表現(xiàn)出不同的物理性質(zhì)，如光學(xué)、力學(xué)、磁學(xué)性質(zhì)等。(4)均勻性。同一塊晶體，其各部分的宏觀性質(zhì)相同。103編輯版ppt晶體的周期結(jié)構(gòu)使它具備下述這些性質(zhì)：22編輯版ppt2晶體的特征對稱元素-平移晶體，作為一種幾何圖形，一方面它將表現(xiàn)出一般幾何圖形所具有的對稱元素，另一方面也將具有其特殊的對稱元素。

1784年阿羽依在研究方解石性質(zhì)時(shí)曾認(rèn)為：晶體可能是由一些“微?！敝貜?fù)排列而成。1912年勞厄的X射線衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了晶體是由原子按照嚴(yán)格的周期排列規(guī)律而成。104編輯版ppt2晶體的特征對稱元素-平移23編輯版ppt

假定以不在一個(gè)平面上的3個(gè)矢量t1t2t3作為描述圖像周期排列特征的量，那么在晶體結(jié)構(gòu)上存在的周期性含義是：若以M表示晶體的某一狀態(tài)(幾何的、物理的)，r表示晶體內(nèi)某一點(diǎn)的位置，則有：

M(r)＝M[r+(m1t1+m2t2+m3t3)]

式中m1、m2、m3為整數(shù)。上式表示在r處與在r+(m1t1+m2t2+m3t3)處的狀態(tài)是相同的(即對稱的)。因此，反映物質(zhì)圖像周期性這一對稱性質(zhì)可以用t1

t2

t3

3個(gè)矢量組成的一個(gè)平行六面體來描述。這些平移矢量就是晶體的特征對稱元素，簡稱平移，記為T。在晶體中允許出現(xiàn)的平移矢量有七種：t1、t2、t3、(t1+t2)/2、(t2+t3)/2、(t1+t3)/2、(t1+t2+t3)/2105編輯版ppt假定以不在一個(gè)平面上的3個(gè)矢量t1t2t3作為描

按對稱的定義，在平移對稱元素的作用下晶體的微觀圖形應(yīng)該是自身重復(fù)的。若沿t1，t2，t3方向平移，圖形將重復(fù)，這意味著周期排列的原子分布圖像應(yīng)該是一個(gè)無限的點(diǎn)陣形式，通常引入“空間點(diǎn)陣”這一幾何形象來描述晶體的平移對稱特征。平移對稱元素是晶體的特征對稱元素，所謂晶體系指其原子(離子、分子)間存在著嚴(yán)格確定的平移對稱元素。由于它的存在限制了在晶體中(結(jié)晶多面體與微觀結(jié)構(gòu))允許存在的對稱元素的形式。近年來發(fā)現(xiàn)的“準(zhǔn)晶體”則是不具有“平移對稱元素”的另一種固體存在形式。

106編輯版ppt按對稱的定義，在平移對稱元素的作用下晶體的微觀圖形應(yīng)該3晶體的宏觀對稱元素

在晶體的宏觀觀察(目測或顯微鏡)中所表現(xiàn)的對稱性稱為宏觀對稱性或外形對稱性。顯然，晶體的外形是一幅有限的閉合的幾何圖形，并以晶面、晶棱、頂點(diǎn)這些幾何要素描述它的形態(tài)特征。晶體的宏觀對稱中允許存在的對稱元素僅有對稱軸、對稱面、對稱中心、反軸四類，統(tǒng)稱為宏觀(或閉合性)對稱元素。反映在晶體外形上的對稱性質(zhì)與其在微觀結(jié)構(gòu)上的對稱性質(zhì)彼此應(yīng)該是相容的，并且也是互相制約的。晶體的特征對稱元素—平移的存在限制了在晶體中可以出現(xiàn)的對稱軸次僅有1、2、3、4、6等五種，這就是晶體學(xué)中的“對稱定律”。107編輯版ppt3晶體的宏觀對稱元素26編輯版ppt3.1對稱軸N(1、2、3、4、6)3.2對稱面m

對稱面是晶體中的一個(gè)平面，它使得處于該面相反兩側(cè)的兩部分圖形互呈對映相等關(guān)系。其國際符號為m，圖示符號為－(垂直于平面)或┑(平行于平面)。3.3對稱中心(-1)

晶體內(nèi)的某一點(diǎn)，如果在該點(diǎn)的相反兩側(cè)晶面成對出現(xiàn)，每對晶面的大小相等且相互平行，且距該點(diǎn)等遠(yuǎn)，稱該點(diǎn)為對稱中心或倒反中心。國際符號為-1，圖示為о108編輯版ppt3.1對稱軸N(1、2、3、4、6)3.2對稱面m

3.4反軸-N（-3,-4,-6）

反軸是這樣的軸，首先圍繞該軸旋轉(zhuǎn)(2/Ｎ)，并通過軸上的一個(gè)點(diǎn)倒反，下表為各次反軸的國際符號、圖示符號及對稱操作。因?yàn)橐淮畏摧S為對稱中心，二次反軸為對稱面，所以在晶體學(xué)中存在的獨(dú)立反軸只有-3、-4、-6三個(gè)。由圖可見：-3包含了一個(gè)三次對稱軸和一個(gè)對稱中心[記為-3(3＋-1)]，-6包含了一個(gè)3次軸和垂直于它的對稱面[記為-6(3/m)]，-3、-6兩個(gè)反軸又稱為復(fù)合對稱元素，而-4則為單一對稱元素。

109編輯版ppt3.4反軸-N（-3,-4,-6）28編輯版ppt4晶體微觀對稱元素

在晶體的微觀結(jié)構(gòu)中所表現(xiàn)出的對稱性稱為微觀對稱。其對稱元素包括前面敘述過的對稱軸、對稱面、對稱中心、反軸(它們自然也存在于微觀結(jié)構(gòu)中)，稱為閉合性對稱元素；尚存在平移以及與平移對稱元素相關(guān)的新的對稱元素－滑移面與螺旋軸。稱為開放性對稱元素，表明微觀對稱圖形是不閉合的。110編輯版ppt4晶體微觀對稱元素29編輯版ppt4.1滑移面m(a、b、c、n、d)

為敘述方便，我們將組成晶體微觀結(jié)構(gòu)對稱圖形的諸相等部分，用一組等效的點(diǎn)來取代。滑移面是這樣的一個(gè)對稱元素，它包括兩步操作—反映與平行于反映面的平移。點(diǎn)A首先通過反映操作至虛擬點(diǎn)A1處，再沿某一方向滑移(平移)距離t到達(dá)A′點(diǎn)，聯(lián)系A(chǔ)與A′的對稱元素稱為滑移面。由于晶體宏觀對稱元素的限制，滑移分量t僅取特定的數(shù)值。表列為存在于晶體微觀結(jié)構(gòu)中的a、b、c、n、d五種滑移面的符號。晶態(tài)下的有機(jī)分子，通常出現(xiàn)的滑移面為a、b、c、n，但有時(shí)也出現(xiàn)d滑移面。111編輯版ppt4.1滑移面m(a、b、c、n、d)30編輯版ppt4.2螺旋軸Nt(21;31,32;41,43,42;61,65,62,64,63)

螺旋軸是這樣的一類對稱元素，它包括有兩步對稱操作—繞軸的旋轉(zhuǎn)和沿軸方向上的平移(圖)，點(diǎn)A繞軸旋轉(zhuǎn)(2/n)角度后到達(dá)虛擬點(diǎn)A′處，依次沿軸方向移動距離t到達(dá)點(diǎn)A′′，聯(lián)系A(chǔ)與A′′的對稱元素稱為螺旋軸。同樣由于晶體宏觀對稱元素的限制，螺旋軸所含的平移分量t僅能取特定的值。表列為晶體中存在的螺旋軸。如圖所示為通關(guān)分子間存在的二次軸。

112編輯版ppt4.2螺旋軸Nt(21;31,32;41,43,42;113編輯版ppt32編輯版ppt四有限圖形(宏觀)的對稱元素組合定理

每種晶體都具有確定的對稱性，其原子(離子、分子)在空間的分布都與確定的對稱元素相聯(lián)系，那么這些有限種類的對稱元素在為數(shù)眾多的晶體中是如何分布的呢？是否存在有確定數(shù)目的對稱元素的組合方式呢？對稱元素的組合定理將回答這一問題。在如下所示的長方體中(這是一個(gè)典型的幾何圖形)，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)它包含有3個(gè)對稱面，3個(gè)對稱軸和1個(gè)對稱中心，總計(jì)為7個(gè)對稱元素。這些對稱元素的分布不是隨意的而是有確定的規(guī)律。比如，3個(gè)對稱面與3個(gè)對稱軸交于一點(diǎn)—對稱中心。同樣，在其他晶體中，原子、分子間存在的對稱元素也是以類似的方式分布的。114編輯版ppt四有限圖形(宏觀)的對稱元素組合定理以下我們首先介紹點(diǎn)對稱元素的組合定理。

115編輯版ppt以下我們首先介紹點(diǎn)對稱元素的組合定理。34編輯版ppt1有限圖形中所有的對稱元素彼此構(gòu)成對稱配置

在有限圖形中所含的對稱元素，點(diǎn)、線、面均是圖形中的一個(gè)幾何實(shí)體。按照對稱定義，在完成對稱操作后，這些幾何對稱元素均應(yīng)符合有限圖形的“自身重復(fù)”原則(即構(gòu)成對稱的配置)。如圖所示的長方體，分別以對稱中心、二次軸與對稱面進(jìn)行對稱操作后，全部對稱元素在對稱操作中均“自身重復(fù)”；再如四方柱中，在進(jìn)行四次對稱軸、對稱面、二次軸的對稱操作時(shí)，圖中對稱元素之間的關(guān)系，均可由相應(yīng)的對稱操作實(shí)現(xiàn)，并由此完成有限圖形的閉合性質(zhì)。116編輯版ppt1有限圖形中所有的對稱元素彼此構(gòu)成對稱配置35編輯版pp2有限圖形的對稱元素至少相交于一點(diǎn)有限圖形中的閉合性必然表現(xiàn)為所含對稱元素至少相交于一點(diǎn)。否則就破壞了圖形的閉合性質(zhì)。3相交的兩個(gè)對稱軸N1、N2(旋轉(zhuǎn)角為α、β)，其交點(diǎn)處必產(chǎn)生第三個(gè)對稱軸N3(旋轉(zhuǎn)角為γ)

即：

(N1*N2)=N3

117編輯版ppt2有限圖形的對稱元素至少相交于一點(diǎn)36編輯版ppt

如上所示，由此得到6種對稱軸的組合關(guān)系。

2U＝αw2v=βu2w=γv222180°90°180°