經(jīng)典必修二立體幾何總結(jié)

必修二立體幾何總結(jié)第一章空間幾何體（1）棱柱：①定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱側(cè)棱不垂直于底面斜棱柱側(cè)棱垂直于底面直棱柱底面是正多邊形正棱柱；側(cè)棱不垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌娴酌媸钦噙呅嗡睦庵酌媸瞧叫兴倪呅纹叫辛骟w側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長方體底面是正方形正四棱柱棱長都相等正方體。底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長都相等②性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形；Ⅱ、兩底面是全等多邊形；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形；Ⅳ、長方體一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和。③面積：（是底周長，是高）④體積：（為底面積，為高，為已知側(cè)面與它對(duì)棱的距離）（2）棱錐：①定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐；正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；②性質(zhì)：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的邊長和底面的對(duì)應(yīng)邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過四個(gè)直角三角形，，，實(shí)現(xiàn)邊，高，斜高間的換算ABCDPOH③面積：ABCDPOH④體積：（為底面積，為高）（3）正四面體：對(duì)于棱長為正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長為的正方體問題。對(duì)棱間的距離為（正方體的邊長）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為（）外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）內(nèi)切球的半徑為（是正四面體中心到四個(gè)面的距離，則半徑）（4）球（組合體問題轉(zhuǎn)化為平面問題即過球心的截面）（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。②球體：球面所圍成的幾何體。（2）性質(zhì)：①任意截面是圓面（經(jīng)過球心的平面，截得的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小圓）兩點(diǎn)的球面距離，是指經(jīng)過球面上這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長。②球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且，其中為球半徑，為截面半徑，為球心的到截面的距離。（3）面積公式：（為球半徑）；（4）體積公式：（為球半徑）第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面基本公理：公理1、已知直線及平面，若點(diǎn)，且則；（作用：證明一條直線在一個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)）公理2、不共線的三點(diǎn)可唯一確定一個(gè)平面。其有如下三個(gè)推論：推論1、經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2、經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3、經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；（公理2及推論的作用：①空間中確定平面的依據(jù)；②為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法）．公理3、若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且僅有一條過的公共直線；（作用：①判定兩平面相交；②判斷點(diǎn)在直線上，證明若干點(diǎn)共線的依據(jù)）公理4、（平行公理）平行于同一直線的兩直線平行，即且；等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等圖9-2-4三垂線定理(如圖9-2-4圖9-2-4=1\*GB3①三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和斜線在平面上的射影垂直，則直線與垂直；其逆命題也成立，即：=2\*GB3②三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和平面的斜線垂直，則直線與在平面上的射影垂直．位置關(guān)系（位置關(guān)系的判定多借助于長方體模型）（1）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；①從公共點(diǎn)角度：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)——相交；沒有公共點(diǎn)——平行或異面；②從共面與否的角度：在同一個(gè)平面內(nèi)——相交或平行；不同在任何一個(gè)平面——異面（2）直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，記為；（3）平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；平行與垂直的判定與性質(zhì)（空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題）平行公理平行公理線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻（1）線線平行的判斷：⑴平行于同一直線的兩直線平行。⑶如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。⑹如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。⑿垂直于同一平面的兩直線平行。（2）線線垂直的判斷：⑺在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。⑻在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。（3）線面平行的判斷：⑵如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。⑸兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。（4）線面垂直的判斷：⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個(gè)平面。（5）面面平行的判斷：⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（6）面面垂直的判斷：⒂一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。四、空間角的求法：（步驟：1作2.證。3.求所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：；（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為；②線面垂直：線面所成的角為；③斜線與平面所成的角