信號與系統實驗報告實驗三 連續(xù)時間LTI系統的頻域分析

實驗三 連續(xù)時間LTI系統的頻域分一、實驗目的1、掌握系統頻率響應特性的概念及其物理意義；2的濾波器對信號的濾波作用；3、學習和掌握幅度特性、相位特性以及群延時的物理意義；4、掌握用MATLAB語言進行系統頻響特性分析的方法?；疽螅赫莆誏TI連續(xù)和離散時間系統的頻域數學模型和頻域數學模型的MATLAB描述方法，深刻理解LTIMATLAB計算和繪制LTI系統頻率響應特性曲線中的編程。二、實驗原理及方法LTI系統的頻率響應（Frequencyrespons，是指系統在位隨頻率的變化情況兩個方面。x(x(t)X(j)LTI系統h(t)H(j)y(t)Y(j)連續(xù)時間LTI系統的時域及頻域分析圖上圖中x(t)、y(t)分別為系統的時域激勵信號和響應信號，h(t)y(t)x(t)*h(t，由傅里葉變換的時域卷積定理可得到：Y(j)X(j)H(j)

3.1或者： H(j)

Y(j)X(j) 3.2H(j)為系統的頻域數學模型，它實際上就是系統的單位沖激響應h(t)的傅里葉變換。即H(j)

h(t)edt 3.3PAGEPAGE13由于H(j)實際上是系統單位沖激響應h(t)的傅里葉變換，如果h(t)是收斂的，或者說是絕對可積（Absolutlyintegrabel）的話，那么H(j)一定存在，而且H(j)通常是復數，因此，也可以表示成復數的不同表達形式。在研究系統的頻率響應時，更多的是把它表示成極坐標形式：H(j)H(j)ej() 3.4上式中，H(稱為幅度頻率相（Magnituderesponse，反映信號經過系統之后，信號頻率分量的幅度發(fā)生變化的情況，)稱為（Phaseresponse，反映信號經過系統后，信號各頻率分量在相位上發(fā)生變換的情況。H(j)和()都是頻的函數。對于一個系統，其頻率響應為H(j)，其幅度響應和相位響應分別為H(j)和()，x(t)e，則其響應信號為y(t)H(j

)ej

H(

)ej(

)ejt H(

)ej(t())3.5

0 0 0 0 00 0 03.6

若輸入信號為正弦信號，即x(t)=sin(0t)，則系統響應為y(t)H(j)sin(t)|H(j)|sin(t())0 0 0 0 0可見，系統對某一頻率分量的影響表現為兩個方面，一是信號的幅度要被H(j)加權，二是信號的相位要被()移相。由于H(j)和()都是頻的函數所以系統對不同頻率的頻率分量造成的幅度和相位上的影響是不同的。LTI系統的群延時從信號頻譜的觀點看，信號是由無窮多個不同頻率的正弦信號的加權和（Weighted所組成。正如剛才所述，信號經過LTI系統傳輸與處理時，系統將會對信號中的所有頻率分量造（Phaseshiftin（Timedela群延時Groupdela映系統對不同頻率分量造成的延時。LTI系統的群延時定義為：()d() 3.7d群延時的物理意義：群延時描述的是信號中某一頻率分量經過線性時不變系統傳輸處理后產生的響應信號在時間上造成的延時的時間。如果系統的相位頻率響應特性是線性的，則群延時為常數，也就是說，該系統對于所有的頻率分量造成的延時時間都是一樣的Phasedistortio。反之，若系統的相位頻率響應特性不是線性的，則該系統對于不同頻率的頻率分量造成的延時時間是不同的，因此，當信號經過系統后，必將產生相位失真。MATLAB計算系統頻率響應在本實驗中，表示系統的方法仍然是用系統函數分子和分母多項式系數行向量來表示。實驗中用到的MATLAB函數如下：[H,w]=freqs(b,a)：b,a分別為連續(xù)時間LTI系統的微分方程右邊的和左邊的系數向量（Coefficientsvecto，返回的頻率響應在各頻率點的樣點值（復數）存放在H樣點數目200點；Hm=abs(H)：求模數，即進行HmH運算，求得系統的幅度頻率響應，返回值存于Hm之中。real(H)：求H的實部；imag(H)：求Hphi=atan(-imag(H)./(real(H)+eps))：求相位頻率相應特性，atan()用來計算反正切值；或者phi=angle(H)：求相位頻率相應特性；tao=grpdelay(num,den,w)：計算系統的相位頻率響應所對應的群延時。計算頻率響應的函數freqs()的另一種形式是：H=freqs(b,a,w)：在指定的頻率范圍內計算系統的頻率響應特性。在使用這種形式的freqs/freqz函數時，要在前面先指定頻率變量w的范圍。例如在語句H=freqs(b,a,w)之前加上語句：w=0:2*pi/256:2*pi。下面舉例說明如何利用上述函數計算并繪制系統頻率響應特性曲線的編程方法。假設給定一個連續(xù)時間LTI系統，下面的微分方程描述其輸入輸出之間的關系d2y(t)dt2

3dy(t)dt

2y(t)x(t)編寫的MATLAB范例程序，繪制系統的幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實部和頻率響應的虛部。程序如下：%Program3_1%ThisProgramisusedtocomputeanddrawtheplotsofthefrequencyresponse%ofacontinuous-timesystemb=[1]; %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa=[132]; %Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation[H,w]=freqs(b,a); %ComputethefrequencyresponseHHm=abs(H); %ComputethemagnituderesponseHmphai=angle(H); %ComputethephaseresponsephaiHr=real(H); %ComputetherealpartofthefrequencyresponseHi=imag(H); %Computetheimaginarypartofthefrequencyresponsesubplot(221)plot(w,Hm),gridon, title('Magnituderesponse'), xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(223)plot(w,phai),gridon, title('Phaseresponse'), xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(222)plot(w,Hr),gridon, title('Realpartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(224)plot(w,Hi),gridon, title('Imaginarypartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')三、實驗內容及步驟MATLAB例程序所完成的工作，進一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。實驗前，一定要針對下面的實驗項目做好相應的實驗準備工作，包括事先編寫好相應的實驗程序等事項。給定三個連續(xù)時間LTI系統，它們的微分方程分別為系統1：

d2y(t)

1dy(t)

25y(t)

dx(t)

Eq.3.1dt2 dt dt系統2：

dy(t)

y(t)

dx(t)

x(t) Eq.3.2dt dt系統3：d6y(t)

10d5y(t)

48d4y(t)

148d3y(t)

306d2y(t)401dy(t)

262y(t)262x(t)dt6

dt5

dt4

dt3

dt2

Eq.3.3Q3-1修改程序Program3_1，并以Q3_1存盤，使之能夠能夠接受鍵盤方式輸入的微分方程系數向量。并利用該程序計算并繪制由微分方程Eq.3.1、Eq.3.2和Eq.3.3描述的系統的幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實部和頻率響應的虛部曲線圖。抄寫程Q3_1如下：% Q3_1b=請輸入右邊向量系'); %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa=請輸入左邊向量系數'); %Thecoefficientvectoroftheleftsideofthedifferentialequation[H,w]=freqs(b,a); %ComputethefrequencyresponseHHm=abs(H); %ComputethemagnituderesponseHmphai=angle(H); %ComputethephaseresponsephaiHr=real(H); %ComputetherealpartofthefrequencyresponseHi=imag(H); %Computetheimaginarypartofthefrequencyresponsesubplot(221)plot(w,Hm),gridon,title('Magnituderesponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(223)plot(w,phai),gridon,title('Phaseresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(222)plot(w,Hr),gridon,title('Realpartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')subplot(224)plot(w,Hi),gridon,title('Imaginarypartoffrequencyresponse'),xlabel('Frequencyinrad/sec')執(zhí)行程序Q3_1，繪制的系統1的頻率響應特性曲線如下：Magnituderesponse Realpartoffrequency0.4 0.30.3 0.20.2 0.10.1 0-0.10 5 10 0 5 10-0.10 5 10 0 5 10Frequencyinrad/secFrequencyinrad/secPhaseresponse Imaginarypartoffrequency0 0-1-0.1-2-0.2-34 -0.30 5 10 0 5 104 -0.30 5 10 0 5 10Frequencyinrad/secFrequencyinrad/sec從11、、、答：執(zhí)行程序Q3_1，繪制的系統2的頻率響應特性曲線如下：Magnituderesponse Realpartoffrequency1 10.5101-0.5-10 5 10 0 5 10-10 5 10 0 5 10Frequencyinrad/secFrequencyinrad/secPhaseresponse Imaginarypartoffrequency4 132 0.5100 5 10 0 5 1000 5 10 0 5 10Frequencyinrad/secFrequencyinrad/sec從22、、、答：執(zhí)行程序Q3_1，繪制的系統3的頻率響應特性曲線如下：Magnituderesponse1 0.50.5

Realpartoffrequencyresponse00 5Frequencyinrad/sec

-0.5-110

5 10Frequencyinrad/secPhaseresponseImaginarypartoffrequencyresponse4120.500-2-0.5-40 5 Frequencyinrad/sec

-10 5 10Frequencyinrad/sec從33是、、、答：這三個系統的幅度頻率響應、相位頻率相應、頻率響應的實部以及頻率響應的虛部分別具有何種對稱關系？請根據傅里葉變換的性質說明為什么會具有這些對稱關系？答：Q3-2編寫程序Q3_2，使之能夠能夠接受鍵盤方式輸入的輸入信號x(t)的數學表達式，系統微分方程的系數向量，計算輸入信號的幅度頻譜，系統的幅度頻率響應，系統輸出信號y(t)的幅度頻譜，系統的單位沖激響應h(t)，并按照下面的圖Q3-2的布局，繪制出各個信號的時域和頻域圖形。你編寫的程序Q3_2抄寫如下：%Q3_2

圖Q3-2b=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation ：'); %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferentialequation：'); %Thecoefficientoftheleftsideofthedifferentialequationw=-10:0.01:10;H=freqs(b,a,w); %ComputethefrequencyresponseHHm=abs(H); %ComputethemagnituderesponseHmphai=angle(H); %ComputethephaseresponsephaiHr=real(H); %ComputetherealpartofthefrequencyresponseHi=imag(H); %Computetheimaginarypartofthefrequencyresponsesubplot(221);plot(w,Hm);gridon, title('Magnituderesponse'), xlabel('Frequencyinrad/sec');subplot(223);plot(w,phai);gridon, title('Phaseresponse'), xlabel('Frequencyinrad/sec');subplot(222);plot(w,Hr);gridon, title('Realpartoffrequencyresponse');xlabel('Frequencyinrad/sec');subplot(224);plot(w,Hi);gridon, title('Imaginarypartoffrequencyresponse');xlabel('Frequencyinrad/sec');執(zhí)行程序Q3_2，輸入信號x(t)=sin(t)+sin(8t)，輸入由Eq.3.3描述的系統。得到的圖形如下：此處粘帖執(zhí)行程序Q3_2所得到的圖形Magnituderesponse15105

21.510.5

Realpartoffrequencyresponse0-10 -5

5

0-10 -5

5 10Frequencyinrad/secPhaseresponseFrequencyinrad/secImaginarypartoffrequencyresponse2101500-1-5-2-10 -5

5

-10-10 -5

5 10Frequencyinrad/sec Frequencyinrad/sec請手工繪制出信號x(t)=sin(t)+sin(8t)的幅度頻譜圖如下：你手工繪制的信號x(t)=sin(t)+sin(8t)的幅度頻譜圖與執(zhí)行程序Q3_2得到的x(t)=sin(t)+sin(8t)的幅度頻譜圖是否相同？如不同，是何原因造成的？答：執(zhí)行程序Q3_2得到的x(t)=sin(t)+sin(8t)的幅度頻譜圖實際上是另外一個信號x1(t)的幅度譜，這個信號的時域數學表達式為 x1(t)=請利用傅里葉變換的相關性質計算并繪制信號x1(t)的幅度頻譜圖。計算過程：手工繪制的x1(t)的幅度頻譜圖如下：結合所學的有關濾波的知識，根據上面所得到的信號的時域和頻域圖形，請從時域和頻域兩個方面解釋濾波的概念。答：Q3-3編寫程序Q3_3系統的群延時曲線圖。抄寫程序Q3_3如下：%Q3_3b1=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：'); %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa1=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferential%Thecoefficientoftheleftsideofthedifferentialequationb2=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：'); %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa2=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferential%Thecoefficientoftheleftsideofthedifferentialequationb3=input('Typeintherightcoefficientvectorofdifferentialequation：'); %Thecoefficientvectoroftherightsideofthedifferentialequationa3=input('Typeintheleftcoefficientvectorofdifferential%Thecoefficientoftheleftsideofthedifferentialequationw=-10:0.01:10;H1=freqs(b1,a1,w); %Computethefrequencyresponsephi1=angle(H1);H2=freqs(b2,a2,w); %Computethefrequencyresponsephi2=angle(H2);H3=freqs(b3,a3,w); %Computethefrequencyresponsephi3=angle(H3);tao1=grpdelay(b1,a1,w);tao2=grpdelay(b2,a2,w);tao3=grpdelay(b3,a3,w);subplot(321);plot(w,phi1);gridon, title('Phaseresponseofsubplot(323);plot(w,phi2);gridon, title('Phaseresponseofs