因子定價(jià)模型課件

數(shù)學(xué)建模方法之概率統(tǒng)計(jì)分析法主成分分析因子模型馬氏鏈模型統(tǒng)計(jì)回歸模型排隊(duì)論模型概率模型第一篇主成分分析在實(shí)際經(jīng)濟(jì)工作中，我們經(jīng)常碰到多變量或多指標(biāo)問題，例如，企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的評(píng)價(jià)，地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況比較。由于變量或指標(biāo)較多，且變量或指標(biāo)之間存在一定的相關(guān)性，人們自然希望用較少的變量或指標(biāo)代替原來較多的變量或指標(biāo)，而且可盡量保存原有信息，利用這種降維的思想產(chǎn)生了主成分分析方法例：對(duì)我國(guó)上市公司的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)判。

上市公司資金利稅率x1產(chǎn)值利稅率x2百元銷售成本利潤(rùn)x3百元銷售收入利稅x4流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)次數(shù)x5主營(yíng)利潤(rùn)增長(zhǎng)率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hualian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13主成分分析步驟：1.將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣仍記X陣。2.求矩陣X的相關(guān)系數(shù)陣3.求R的全部特征根i及相應(yīng)的特征向量()。4.根據(jù)前k個(gè)主分量累計(jì)貢獻(xiàn)率大?。ā疲_定主成分（因子）個(gè)數(shù)。根據(jù)具體指標(biāo)內(nèi)容和指標(biāo)變量系數(shù)大小解釋主成分含義。用每個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率作權(quán)數(shù)，給出多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)值。EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative14.047670163.037348020.67460.674621.010322140.302483690.16840.843030.707838450.553001900.11800.961040.154836550.100373280.02580.986850.054463270.029593850.00910.995960.024869420.00411.0000用于系統(tǒng)評(píng)估的方法：關(guān)鍵問題是如何科學(xué)的客觀地將一個(gè)多指標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單指標(biāo)問題第一種方法：用第一主成分得分y=F1.必須要求：所有系數(shù)均為正第二種方法：將主成分F1,F2,Fm進(jìn)行線性組合,系數(shù)為方差貢獻(xiàn)率統(tǒng)計(jì)軟件SAS(關(guān)于主成分分析）數(shù)據(jù)的輸入（介紹兩種方法）data數(shù)據(jù)名（haimen);inputname$x1x2x3x4x5x6;card;qinghua50122run;外部文件轉(zhuǎn)化為SAS數(shù)據(jù)集：已知c盤根目錄下文件名test.dat為的數(shù)據(jù)文件張三男82956478data數(shù)據(jù)名（chengji);infile‘c:\test.dat’;inputname$sex$chinesemathsenglishchemisty;run;

數(shù)據(jù)預(yù)處理一致性處理：越大越差、越大越好歸一化處理（去量綱）：(x-max(xi))/極差，x/max(xi),標(biāo)準(zhǔn)化處理（x-均值）/方差第二篇因子模型因子分析是統(tǒng)計(jì)中一種重要的分析方法，他的主要特點(diǎn)在于能探索不易觀測(cè)或不能觀察的潛在因素。它在社會(huì)調(diào)查、氣象、地質(zhì)等方面有廣泛應(yīng)用。若有n個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生考五門課，考試成績(jī)反映了學(xué)生的素質(zhì)和能力，理解能力，邏輯能力，記憶能力，對(duì)文字符號(hào)概念的反應(yīng)速度，能否從學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)ふ页龇从尺@些能力的量。因子模型為:其中：為原指標(biāo),稱為的公共因子或潛因子,為的特殊因子可將上式寫成矩陣表示形式：稱為因子載荷陣

因子分析步驟：前四步驟與主成分步驟相同，在此略。5.求初始因子載荷陣A。6.若公因子的含義不清楚，不便于實(shí)際解釋時(shí)，將初始因子陣作旋轉(zhuǎn)處理，直到達(dá)到要求。7.根據(jù)因子載荷大小說明因子具體含義。將因子表示成原指標(biāo)變量線性組合，估計(jì)因子得分。用每個(gè)因子的貢獻(xiàn)率作權(quán)數(shù)，給出多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)值。變量共同度因子載荷矩陣中第i行元素之平方和記為，即，稱為變量的共同度。它是全部公共因子對(duì)的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量的影響。越大表明對(duì)于F的每一分量的共同依賴程度大。

公共因子的方差貢獻(xiàn)將因子載荷矩陣的第j列的各元素的平方和記為，即，稱為公共因子對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。就表示第j個(gè)公共因子對(duì)于的每一分量所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。越大，表明公共因子對(duì)x的貢獻(xiàn)越大,如果將因子載荷矩陣的所有都計(jì)算出來，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析。如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，我們就可以利用因子載荷陣的不唯一性這一特點(diǎn)對(duì)得到的因子模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)使得變換后的公共因子和載荷陣有明顯的實(shí)際意義。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax)。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。接近于1的表明公因子與的相關(guān)性很強(qiáng)，在很大的程度上解釋了的變化；接近于0的表明與的相關(guān)性很弱。。例：對(duì)我國(guó)上市公司的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行因子分析Procfactormethod=principaln=2rotate=varinmaxall;Varx1-x6;Run;馬氏鏈模型：系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的，且這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)按照一定的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并且下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)只取決于這個(gè)時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率，與以前無(wú)關(guān)，此稱為馬氏性或無(wú)后效性。具有此種性質(zhì)的隨機(jī)序列稱為馬氏鏈。

馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、遺傳學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛地應(yīng)用。設(shè)隨機(jī)序列{X(n),n=0,1,2,···}的離散狀態(tài)空間E為{1,2,···}，下面定義馬爾科夫鏈。定義1設(shè)隨機(jī)序列{X(n),n=0,1,2,···}的離散狀態(tài)空間為E，若對(duì)于任意m個(gè)非負(fù)整數(shù)和任意自然數(shù)k，以及任意，滿足=

則稱{X(n),n=0,1,2,···}為馬爾科夫鏈。第二節(jié)：鋼琴銷售的存儲(chǔ)策略一家商店根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，知道平均每周只能售出1架鋼琴，先在經(jīng)理制定的存儲(chǔ)策略為：每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才定購(gòu)三架鋼琴以供下周銷售；否則，不定購(gòu)。試估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少？第三節(jié)基因遺傳生物的外部表征是由生物體內(nèi)相應(yīng)的基因決定，基因分優(yōu)勢(shì)基因和劣勢(shì)基因兩種，分別用d和r表示，則有三種基因類型，即D(dd)H(dr)R(rr)優(yōu)種混種劣種生物繁殖時(shí)，一個(gè)后代隨機(jī)的繼承父親兩個(gè)基因中的一個(gè)，母親兩個(gè)基因中的一個(gè)，形成自己的基因

所以父母的基因類型就以一定的概率決定了每一后代的基因類型。父母基因后代基因DDRRDHDRHHHRD10?0?000?1??0100??HR

隨機(jī)交配、近親繁殖

假設(shè)在某一生物群體中雄性與雌性的比例是相等的，且在雄性中D,H,R的比例與在雌性中D,H,R的比例相等。隨機(jī)交配：對(duì)每一個(gè)雌性（或雄性）個(gè)體，都以D,H,R的數(shù)量比例為概率，與一個(gè)雄性（或雌性）個(gè)體交配，后代按照前述規(guī)則形成他的基因類型設(shè)D(dd)：H(dr)：R(rr)=a:2b:c且a+2b+c=1記p=a+b,q=b+c,則群體中優(yōu)勢(shì)基因d與劣勢(shì)基因r的數(shù)量比例為d:r=p:q且p+q=1

轉(zhuǎn)移矩陣第四節(jié)等級(jí)結(jié)構(gòu)

在社會(huì)系統(tǒng)中常常按照人們的職務(wù)或地位劃出許多等級(jí)。例如：大學(xué)教師分為教授、講師、助教。我們希望建立一個(gè)模型來描述等級(jí)結(jié)構(gòu)的變化狀況，并根據(jù)已知條件和當(dāng)前的結(jié)構(gòu)預(yù)報(bào)未來的結(jié)構(gòu)，以及尋求為了達(dá)到某個(gè)理想的等級(jí)結(jié)構(gòu)而應(yīng)采取的措施。引起等級(jí)結(jié)構(gòu)變化的因素有兩種：系統(tǒng)內(nèi)部等級(jí)間的轉(zhuǎn)移提升或降級(jí)；系統(tǒng)內(nèi)外的交流，即調(diào)入或退出基本量：成員按等級(jí)的分布向量：其中為第t年屬于等級(jí)i的人數(shù)，為系統(tǒng)第t年的總?cè)藬?shù)成員按等級(jí)的比例分布向量：其中，，

成員按等級(jí)的分布向量其中為第t年屬于等級(jí)i的人數(shù)

轉(zhuǎn)移矩陣，其中表示每年從等級(jí)i轉(zhuǎn)移到等級(jí)j的成員在等級(jí)i中占的比例，退出比例向量，表示每年從等級(jí)i退出系統(tǒng)的成員在等級(jí)i中占的比例，，，調(diào)入比例向量：其中表示每年調(diào)入等級(jí)i的人數(shù)在總調(diào)入人口中占的比例，記第t年調(diào)入人口總數(shù)，則第t年調(diào)入等級(jí)i為的人數(shù)為：其中，

，基本方程：總?cè)藬?shù)：

每個(gè)等